MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscld Structured version   Unicode version

Theorem tgptsmscld 19684
Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tgptsmscls.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgptsmscls.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tgptsmscls.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tgptsmscls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tgptsmscls.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
tgptsmscld  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem tgptsmscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
2 tgptsmscls.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 tgptsmscls.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
42, 3tgptopon 19612 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 topontop 18490 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 0cld 18601 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( Clsd `  J ) )
10 eleq1 2501 . . 3  |-  ( ( G tsums  F )  =  (/)  ->  ( ( G tsums 
F )  e.  (
Clsd `  J )  <->  (/)  e.  ( Clsd `  J
) ) )
119, 10syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G tsums  F
)  =  (/)  ->  ( G tsums  F )  e.  (
Clsd `  J )
) )
12 n0 3643 . . 3  |-  ( ( G tsums  F )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( G tsums  F ) )
13 tgptsmscls.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
1413adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  G  e. CMnd )
151adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  G  e.  TopGrp )
16 tgptsmscls.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
1716adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  A  e.  V
)
18 tgptsmscls.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
1918adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  F : A --> B )
20 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  x  e.  ( G tsums  F ) )
213, 2, 14, 15, 17, 19, 20tgptsmscls 19683 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  =  ( ( cls `  J ) `
 { x }
) )
227adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  J  e.  Top )
23 tgptps 19610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
241, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
253, 13, 24, 16, 18tsmscl 19664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  B )
26 toponuni 18491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
275, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
2825, 27sseqtrd 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  U. J )
2928sselda 3353 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  x  e.  U. J )
3029snssd 4015 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  { x }  C_ 
U. J )
31 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
3231clscld 18610 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { x } )  e.  ( Clsd `  J
) )
3322, 30, 32syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  {
x } )  e.  ( Clsd `  J
) )
3421, 33eqeltrd 2515 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3534ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  -> 
( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3635exlimdv 1695 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  x  e.  ( G tsums  F
)  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J ) ) )
3712, 36syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G tsums  F
)  =/=  (/)  ->  ( G tsums  F )  e.  (
Clsd `  J )
) )
3811, 37pm2.61dne 2686 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   TopOpenctopn 14356  CMndccmn 16270   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   TopSpctps 18460   Clsdccld 18579   clsccl 18581   TopGrpctgp 19601   tsums ctsu 19655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-mnd 15411  df-plusf 15412  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-tmd 19602  df-tgp 19603  df-tsms 19656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator