Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscld Structured version   Unicode version

Theorem tgptsmscld 20521
 Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b
tgptsmscls.j
tgptsmscls.1 CMnd
tgptsmscls.2
tgptsmscls.a
tgptsmscls.f
Assertion
Ref Expression
tgptsmscld tsums

Proof of Theorem tgptsmscld
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . 6
2 tgptsmscls.j . . . . . . 7
3 tgptsmscls.b . . . . . . 7
42, 3tgptopon 20449 . . . . . 6 TopOn
51, 4syl 16 . . . . 5 TopOn
6 topontop 19296 . . . . 5 TopOn
75, 6syl 16 . . . 4
8 0cld 19407 . . . 4
97, 8syl 16 . . 3
10 eleq1 2539 . . 3 tsums tsums
119, 10syl5ibrcom 222 . 2 tsums tsums
12 n0 3799 . . 3 tsums tsums
13 tgptsmscls.1 . . . . . . . 8 CMnd
1413adantr 465 . . . . . . 7 tsums CMnd
151adantr 465 . . . . . . 7 tsums
16 tgptsmscls.a . . . . . . . 8
1716adantr 465 . . . . . . 7 tsums
18 tgptsmscls.f . . . . . . . 8
1918adantr 465 . . . . . . 7 tsums
20 simpr 461 . . . . . . 7 tsums tsums
213, 2, 14, 15, 17, 19, 20tgptsmscls 20520 . . . . . 6 tsums tsums
227adantr 465 . . . . . . 7 tsums
23 tgptps 20447 . . . . . . . . . . . 12
241, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11
253, 13, 24, 16, 18tsmscl 20501 . . . . . . . . . 10 tsums
26 toponuni 19297 . . . . . . . . . . 11 TopOn
275, 26syl 16 . . . . . . . . . 10
2825, 27sseqtrd 3545 . . . . . . . . 9 tsums
2928sselda 3509 . . . . . . . 8 tsums
3029snssd 4178 . . . . . . 7 tsums
31 eqid 2467 . . . . . . . 8
3231clscld 19416 . . . . . . 7
3322, 30, 32syl2anc 661 . . . . . 6 tsums
3421, 33eqeltrd 2555 . . . . 5 tsums tsums
3534ex 434 . . . 4 tsums tsums
3635exlimdv 1700 . . 3 tsums tsums
3712, 36syl5bi 217 . 2 tsums tsums
3811, 37pm2.61dne 2784 1 tsums
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767   wne 2662   wss 3481  c0 3790  csn 4033  cuni 4251  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507  ctopn 14694  CMndccmn 16671  ctop 19263  TopOnctopon 19264  ctps 19266  ccld 19385  ccl 19387  ctgp 20438   tsums ctsu 20492 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-plusf 15745  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-eqg 16072  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tmd 20439  df-tgp 20440  df-tsms 20493 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator