MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptopon Structured version   Unicode version

Theorem tgptopon 19628
Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgptopon.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tgptopon  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem tgptopon
StepHypRef Expression
1 tgptps 19626 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
2 tgptopon.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 tgpcn.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 18516 . 2  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51, 4sylib 196 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413   Basecbs 14166   TopOpenctopn 14352  TopOnctopon 18474   TopSpctps 18476   TopGrpctgp 19617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6089  df-top 18478  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-tmd 19618  df-tgp 19619
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  19636  tgpmulg  19639  tgpmulg2  19640  subgtgp  19651  subgntr  19652  opnsubg  19653  clssubg  19654  clsnsg  19655  cldsubg  19656  tgpconcompeqg  19657  tgpconcomp  19658  tgpconcompss  19659  snclseqg  19661  tgphaus  19662  tgpt1  19663  tgpt0  19664  divstgpopn  19665  divstgplem  19666  divstgphaus  19668  prdstgpd  19670  tgptsmscld  19700  tsmsxplem1  19702  pl1cn  26337
  Copyright terms: Public domain W3C validator