MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptopon Structured version   Unicode version

Theorem tgptopon 20449
Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgptopon.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tgptopon  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem tgptopon
StepHypRef Expression
1 tgptps 20447 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
2 tgptopon.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 tgpcn.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 19306 . 2  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51, 4sylib 196 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594   Basecbs 14507   TopOpenctopn 14694  TopOnctopon 19264   TopSpctps 19266   TopGrpctgp 20438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-top 19268  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-tmd 20439  df-tgp 20440
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  20457  tgpmulg  20460  tgpmulg2  20461  subgtgp  20472  subgntr  20473  opnsubg  20474  clssubg  20475  clsnsg  20476  cldsubg  20477  tgpconcompeqg  20478  tgpconcomp  20479  tgpconcompss  20480  snclseqg  20482  tgphaus  20483  tgpt1  20484  tgpt0  20485  qustgpopn  20486  qustgplem  20487  qustgphaus  20489  prdstgpd  20491  tgptsmscld  20521  tsmsxplem1  20523  pl1cn  27753
  Copyright terms: Public domain W3C validator