MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptopon Structured version   Unicode version

Theorem tgptopon 19788
Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgptopon.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tgptopon  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem tgptopon
StepHypRef Expression
1 tgptps 19786 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
2 tgptopon.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 tgpcn.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 18676 . 2  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51, 4sylib 196 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529   Basecbs 14295   TopOpenctopn 14482  TopOnctopon 18634   TopSpctps 18636   TopGrpctgp 19777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-ov 6206  df-top 18638  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-tmd 19778  df-tgp 19779
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  19796  tgpmulg  19799  tgpmulg2  19800  subgtgp  19811  subgntr  19812  opnsubg  19813  clssubg  19814  clsnsg  19815  cldsubg  19816  tgpconcompeqg  19817  tgpconcomp  19818  tgpconcompss  19819  snclseqg  19821  tgphaus  19822  tgpt1  19823  tgpt0  19824  divstgpopn  19825  divstgplem  19826  divstgphaus  19828  prdstgpd  19830  tgptsmscld  19860  tsmsxplem1  19862  pl1cn  26550
  Copyright terms: Public domain W3C validator