MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptmd Unicode version

Theorem tgptmd 18062
Description: A topological group is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgptmd  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )

Proof of Theorem tgptmd
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
2 eqid 2404 . . 3  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
31, 2istgp 18060 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
43simp2bi 973 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   TopOpenctopn 13604   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641    Cn ccn 17242  TopMndctmd 18053   TopGrpctgp 18054
This theorem is referenced by:  tgptps  18063  tgpcn  18067  tgpsubcn  18073  tgpmulg  18076  oppgtgp  18081  tgplacthmeo  18086  subgtgp  18088  clsnsg  18092  tgpt0  18101  prdstgpd  18107  tsmssub  18131  tsmsxp  18137  trgtmd2  18151  nlmtlm  18682  qqhcn  24328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-nul 4298
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043  df-tgp 18056
  Copyright terms: Public domain W3C validator