MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Structured version   Unicode version

Theorem tgpt1 20908
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgpt1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 20146 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 tgpgrp 20869 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
3 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
53, 4grpidcl 16402 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
62, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  (
Base `  G )
)
7 tgpt1.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
87, 3tgptopon 20873 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
9 toponuni 19720 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
116, 10eleqtrd 2492 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  U. J )
12 eqid 2402 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1312t1sncld 20120 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  ( 0g `  G )  e.  U. J )  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
1413expcom 433 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  U. J  -> 
( J  e.  Fre  ->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1511, 14syl 17 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
164, 7tgphaus 20907 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1715, 16sylibrd 234 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  J  e.  Haus ) )
181, 17impbid2 204 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842   {csn 3972   U.cuni 4191   ` cfv 5569   Basecbs 14841   TopOpenctopn 15036   0gc0g 15054   Grpcgrp 16377  TopOnctopon 19687   Clsdccld 19809   Frect1 20101   Hauscha 20102   TopGrpctgp 20862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7459  df-0g 15056  df-topgen 15058  df-plusf 16195  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-cn 20021  df-t1 20108  df-haus 20109  df-tx 20355  df-tmd 20863  df-tgp 20864
This theorem is referenced by:  tgpt0  20909
  Copyright terms: Public domain W3C validator