MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Structured version   Unicode version

Theorem tgpt1 20344
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgpt1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 19612 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 tgpgrp 20305 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
3 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
53, 4grpidcl 15872 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  (
Base `  G )
)
7 tgpt1.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
87, 3tgptopon 20309 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
9 toponuni 19188 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
116, 10eleqtrd 2550 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  U. J )
12 eqid 2460 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1312t1sncld 19586 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  ( 0g `  G )  e.  U. J )  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
1413expcom 435 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  U. J  -> 
( J  e.  Fre  ->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1511, 14syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
164, 7tgphaus 20343 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1715, 16sylibrd 234 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  J  e.  Haus ) )
181, 17impbid2 204 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   {csn 4020   U.cuni 4238   ` cfv 5579   Basecbs 14479   TopOpenctopn 14666   0gc0g 14684   Grpcgrp 15716  TopOnctopon 19155   Clsdccld 19276   Frect1 19567   Hauscha 19568   TopGrpctgp 20298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-map 7412  df-0g 14686  df-topgen 14688  df-mnd 15721  df-plusf 15722  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-cn 19487  df-t1 19574  df-haus 19575  df-tx 19791  df-tmd 20299  df-tgp 20300
This theorem is referenced by:  tgpt0  20345
  Copyright terms: Public domain W3C validator