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Theorem tgpt0 19689
Description: Hausdorff and T0 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgpt0  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Kol2 )
)

Proof of Theorem tgpt0
Dummy variables  w  a  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpt1.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
21tgpt1 19688 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)
3 t1t0 18952 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
4 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  z ) )
5 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  z ) )
64, 5imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  e.  w  ->  y  e.  w )  <-> 
( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
76rspccva 3072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  /\  z  e.  J
)  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) )
87adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z ) )
9 tgpgrp 19649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  G  e.  Grp )
11 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )
1211simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
13 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
14 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
15 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
1613, 14, 15grpsubid 15610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
1710, 12, 16syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
1817oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x )  =  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) x ) )
1911simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  x  e.  ( Base `  G ) )
20 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2113, 20, 14grplid 15568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) x )  =  x )
2210, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) x )  =  x )
2318, 22eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x )  =  x )
24 tgptmd 19650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  G  e. TopMnd )
261, 13tgptopon 19653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2827, 27, 12cnmptc 19235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
2927cnmptid 19234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  a )  e.  ( J  Cn  J ) )
301, 15tgpsubcn 19661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3130ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( -g `  G )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
3227, 28, 29, 31cnmpt12f 19239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( y ( -g `  G ) a ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
3327, 27, 19cnmptc 19235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
341, 20, 25, 27, 32, 33cnmpt1plusg 19658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
35 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
z  e.  J )
36 cnima 18869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  e.  J
)
3734, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  e.  J
)
38 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w ) )
3913, 20, 15grpnpcan 15617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) x )  =  y )
4010, 12, 19, 39syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x )  =  y )
41 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
y  e.  z )
4240, 41eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z )
43 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  x  ->  (
y ( -g `  G
) a )  =  ( y ( -g `  G ) x ) )
4443oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  x  ->  (
( y ( -g `  G ) a ) ( +g  `  G
) x )  =  ( ( y (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x ) )
4544eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x )  e.  z  <->  ( (
y ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
46 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) )  =  ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) )
4746mptpreima 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z )  =  { a  e.  ( Base `  G
)  |  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x )  e.  z }
4845, 47elrab2 3119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
y ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
4919, 42, 48sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  x  e.  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z ) )
50 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) )
51 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) )
5250, 51imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
( x  e.  w  ->  y  e.  w )  <-> 
( x  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) ) )
5352rspcv 3069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  e.  J  ->  ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  (
x  e.  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) ) )
5437, 38, 49, 53syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
y  e.  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z ) )
55 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  y  ->  (
y ( -g `  G
) a )  =  ( y ( -g `  G ) y ) )
5655oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
( y ( -g `  G ) a ) ( +g  `  G
) x )  =  ( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x ) )
5756eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  (
( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x )  e.  z  <->  ( (
y ( -g `  G
) y ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
5857, 47elrab2 3119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  <->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
y ( -g `  G
) y ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
5958simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
( y ( -g `  G ) y ) ( +g  `  G
) x )  e.  z )
6054, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x )  e.  z )
6123, 60eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  x  e.  z )
6261expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
y  e.  z  ->  x  e.  z )
)
638, 62impbid 191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6463ralrimiva 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  /\  A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w ) )  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6564ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z ) ) )
6665imim1d 75 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
6766anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
6867ralimdva 2794 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  A. y  e.  (
Base `  G )
( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
6968ralimdva 2794 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
70 ist0-2 18948 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( J  e. 
Kol2 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )
) )
7126, 70syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Kol2 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )
) )
72 ist1-2 18951 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( J  e. 
Fre 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
7326, 72syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
7469, 71, 733imtr4d 268 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Kol2  ->  J  e.  Fre ) )
753, 74impbid2 204 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre 
<->  J  e.  Kol2 )
)
762, 75bitrd 253 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Kol2 )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   "cima 4843   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   TopOpenctopn 14360   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   -gcsg 15413  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828   Kol2ct0 18910   Frect1 18911   Hauscha 18912    tX ctx 19133  TopMndctmd 19641   TopGrpctgp 19642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-map 7216  df-0g 14380  df-topgen 14382  df-mnd 15415  df-plusf 15416  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-t0 18917  df-t1 18918  df-haus 18919  df-tx 19135  df-tmd 19643  df-tgp 19644
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