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Theorem tgpt0 18101
Description: Hausdorff and T0 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgpt0  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Kol2 )
)

Proof of Theorem tgpt0
Dummy variables  w  a  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpt1.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
21tgpt1 18100 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)
3 t1t0 17366 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
4 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  z ) )
5 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  z ) )
64, 5imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  e.  w  ->  y  e.  w )  <-> 
( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
76rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  /\  z  e.  J
)  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) )
87adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z ) )
9 tgpgrp 18061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
109ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  G  e.  Grp )
11 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )
1211simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
14 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
15 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
1613, 14, 15grpsubid 14828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
1710, 12, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
1817oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x )  =  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) x ) )
1911simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  x  e.  ( Base `  G ) )
20 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2113, 20, 14grplid 14790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) x )  =  x )
2210, 19, 21syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) x )  =  x )
2318, 22eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x )  =  x )
24 tgptmd 18062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2524ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  G  e. TopMnd )
261, 13tgptopon 18065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
2726ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2827, 27, 12cnmptc 17647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
2927cnmptid 17646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  a )  e.  ( J  Cn  J ) )
301, 15tgpsubcn 18073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3130ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( -g `  G )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
3227, 28, 29, 31cnmpt12f 17651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( y ( -g `  G ) a ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
3327, 27, 19cnmptc 17647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
341, 20, 25, 27, 32, 33cnmpt1plusg 18070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
35 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
z  e.  J )
36 cnima 17283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  e.  J
)
3734, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  e.  J
)
38 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w ) )
3913, 20, 15grpnpcan 14835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) x )  =  y )
4010, 12, 19, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x )  =  y )
41 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
y  e.  z )
4240, 41eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z )
43 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  x  ->  (
y ( -g `  G
) a )  =  ( y ( -g `  G ) x ) )
4443oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  x  ->  (
( y ( -g `  G ) a ) ( +g  `  G
) x )  =  ( ( y (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x ) )
4544eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x )  e.  z  <->  ( (
y ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
46 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) )  =  ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) )
4746mptpreima 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z )  =  { a  e.  ( Base `  G
)  |  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x )  e.  z }
4845, 47elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
y ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
4919, 42, 48sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  x  e.  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z ) )
50 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) )
51 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) )
5250, 51imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
( x  e.  w  ->  y  e.  w )  <-> 
( x  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) ) )
5352rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  e.  J  ->  ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  (
x  e.  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) ) )
5437, 38, 49, 53syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
y  e.  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z ) )
55 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  y  ->  (
y ( -g `  G
) a )  =  ( y ( -g `  G ) y ) )
5655oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
( y ( -g `  G ) a ) ( +g  `  G
) x )  =  ( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x ) )
5756eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  (
( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x )  e.  z  <->  ( (
y ( -g `  G
) y ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
5857, 47elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  <->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
y ( -g `  G
) y ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
5958simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
( y ( -g `  G ) y ) ( +g  `  G
) x )  e.  z )
6054, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x )  e.  z )
6123, 60eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  x  e.  z )
6261expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
y  e.  z  ->  x  e.  z )
)
638, 62impbid 184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6463ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  /\  A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w ) )  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6564ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z ) ) )
6665imim1d 71 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
6766anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
6867ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  A. y  e.  (
Base `  G )
( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
6968ralimdva 2744 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
70 ist0-2 17362 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( J  e. 
Kol2 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )
) )
7126, 70syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Kol2 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )
) )
72 ist1-2 17365 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( J  e. 
Fre 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
7326, 72syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
7469, 71, 733imtr4d 260 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Kol2  ->  J  e.  Fre ) )
753, 74impbid2 196 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre 
<->  J  e.  Kol2 )
)
762, 75bitrd 245 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Kol2 )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   TopOpenctopn 13604   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   -gcsg 14643  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242   Kol2ct0 17324   Frect1 17325   Hauscha 17326    tX ctx 17545  TopMndctmd 18053   TopGrpctgp 18054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-map 6979  df-topgen 13622  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-t0 17331  df-t1 17332  df-haus 17333  df-tx 17547  df-tmd 18055  df-tgp 18056
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