Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpsubcn Structured version   Unicode version

Theorem tgpsubcn 20352
 Description: In a topological group, the "subtraction" (or "division") is continuous. Axiom GT' of [BourbakiTop1] p. III.1 (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpsubcn.2
tgpsubcn.3
Assertion
Ref Expression
tgpsubcn

Proof of Theorem tgpsubcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3
2 eqid 2467 . . 3
3 eqid 2467 . . 3
4 tgpsubcn.3 . . 3
51, 2, 3, 4grpsubfval 15902 . 2
6 tgpsubcn.2 . . 3
7 tgptmd 20341 . . 3 TopMnd
86, 1tgptopon 20344 . . 3 TopOn
98, 8cnmpt1st 19932 . . 3
108, 8cnmpt2nd 19933 . . . 4
116, 3tgpinv 20347 . . . 4
128, 8, 10, 11cnmpt21f 19936 . . 3
136, 2, 7, 8, 8, 9, 12cnmpt2plusg 20350 . 2
145, 13syl5eqel 2559 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286  cbs 14490   cplusg 14555  ctopn 14677  cminusg 15728  csg 15730   ccn 19519   ctx 19824  ctgp 20333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-topgen 14699  df-plusf 15733  df-sbg 15869  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-tx 19826  df-tmd 20334  df-tgp 20335 This theorem is referenced by:  istgp2  20353  clssubg  20370  clsnsg  20371  tgphaus  20378  tgpt0  20380  divstgplem  20382
 Copyright terms: Public domain W3C validator