MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpmulg Structured version   Unicode version

Theorem tgpmulg 20327
Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpmulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
tgpmulg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tgpmulg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, J    x,  .x.    x, N

Proof of Theorem tgpmulg
StepHypRef Expression
1 tgptmd 20313 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2 tgpmulg.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 tgpmulg.t . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 tgpmulg.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
52, 3, 4tmdmulg 20326 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
61, 5sylan 471 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
76adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
8 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  N  e.  ZZ )
98zcnd 10963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  N  e.  CC )
109negnegd 9917 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  -u -u N  =  N )
1110oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  ( -u -u N  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
12 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
134, 3, 12mulgnegnn 15952 . . . . . . 7  |-  ( (
-u N  e.  NN  /\  x  e.  B )  ->  ( -u -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) )
1413adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  ( -u -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) )
1511, 14eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  ( N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) )
1615mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) ) )
172, 4tgptopon 20316 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
1817ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
191adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  G  e. TopMnd )
20 nnnn0 10798 . . . . . 6  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  NN0 )
212, 3, 4tmdmulg 20326 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  (
-u N  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
2219, 20, 21syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( -u N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
232, 12tgpinv 20319 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( invg `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
2423ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( invg `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
2518, 22, 24cnmpt11f 19900 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( invg `  G ) `
 ( -u N  .x.  x ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
2616, 25eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
2726adantrl 715 . 2  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )  -> 
( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
28 simpr 461 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
29 elznn0nn 10874 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
3028, 29sylib 196 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
317, 27, 30mpjaodan 784 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   -ucneg 9802   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   Basecbs 14486   TopOpenctopn 14673   invgcminusg 15724  .gcmg 15727  TopOnctopon 19162    Cn ccn 19491  TopMndctmd 20304   TopGrpctgp 20305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-seq 12072  df-0g 14693  df-topgen 14695  df-mnd 15728  df-plusf 15729  df-mulg 15861  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-tmd 20306  df-tgp 20307
This theorem is referenced by:  tgpmulg2  20328
  Copyright terms: Public domain W3C validator