MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpmulg Structured version   Unicode version

Theorem tgpmulg 20718
Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpmulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
tgpmulg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tgpmulg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, J    x,  .x.    x, N

Proof of Theorem tgpmulg
StepHypRef Expression
1 tgptmd 20704 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2 tgpmulg.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 tgpmulg.t . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 tgpmulg.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
52, 3, 4tmdmulg 20717 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
61, 5sylan 471 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
76adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
8 simpllr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  N  e.  ZZ )
98zcnd 10991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  N  e.  CC )
109negnegd 9941 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  -u -u N  =  N )
1110oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  ( -u -u N  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
12 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
134, 3, 12mulgnegnn 16279 . . . . . . 7  |-  ( (
-u N  e.  NN  /\  x  e.  B )  ->  ( -u -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) )
1413adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  ( -u -u N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) )
1511, 14eqtr3d 2500 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  ( N  .x.  x )  =  ( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) )
1615mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) ) )
172, 4tgptopon 20707 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
1817ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
191adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  G  e. TopMnd )
20 nnnn0 10823 . . . . . 6  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  NN0 )
212, 3, 4tmdmulg 20717 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  (
-u N  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
2219, 20, 21syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( -u N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
232, 12tgpinv 20710 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( invg `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
2423ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( invg `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
2518, 22, 24cnmpt11f 20291 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( invg `  G ) `
 ( -u N  .x.  x ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
2616, 25eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
2726adantrl 715 . 2  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )  -> 
( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
28 simpr 461 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
29 elznn0nn 10899 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
3028, 29sylib 196 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
317, 27, 30mpjaodan 786 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   -ucneg 9825   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   Basecbs 14644   TopOpenctopn 14839   invgcminusg 16181  .gcmg 16183  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852  TopMndctmd 20695   TopGrpctgp 20696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-seq 12111  df-0g 14859  df-topgen 14861  df-plusf 15998  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mulg 16187  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189  df-tmd 20697  df-tgp 20698
This theorem is referenced by:  tgpmulg2  20719
  Copyright terms: Public domain W3C validator