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Theorem tgphaus 19662
Description: A topological group is Hausdorff iff the identity subgroup is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgphaus.1  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgphaus.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgphaus  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J )
) )

Proof of Theorem tgphaus
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 19624 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 tgphaus.1 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42, 3grpidcl 15557 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
51, 4syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
6 tgphaus.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
76, 2tgptopon 19628 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
8 toponuni 18507 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
105, 9eleqtrd 2514 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  U. J
)
11 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1211sncld 18950 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  .0.  e.  U. J )  ->  {  .0.  }  e.  (
Clsd `  J )
)
1312expcom 435 . . 3  |-  (  .0. 
e.  U. J  ->  ( J  e.  Haus  ->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
1410, 13syl 16 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus  ->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
15 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
166, 15tgpsubcn 19636 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
17 cnclima 18847 . . . . . 6  |-  ( ( ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  {  .0.  }  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
)  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) )
1817ex 434 . . . . 5  |-  ( (
-g `  G )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) ) )
1916, 18syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
)  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) ) )
20 cnvimass 5184 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  C_  dom  ( -g `  G )
212, 15grpsubf 15596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
221, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
) : ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) --> ( Base `  G ) )
23 fdm 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-g `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
2520, 24syl5sseq 3399 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } ) 
C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) )
26 relxp 4942 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )
27 relss 4922 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  ->  ( Rel  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  ->  Rel  ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) ) )
2825, 26, 27mpisyl 18 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  Rel  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
) )
29 dfrel4v 5284 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } )  <->  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
)  =  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y } )
3028, 29sylib 196 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } )  =  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y } )
31 ffn 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-g `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  ( -g `  G )  Fn  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
3222, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  Fn  ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
33 elpreima 5818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-g `  G )  Fn  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } ) ) )
35 opelxp 4864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )
3635anbi1i 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
( -g `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  {  .0.  } ) )
372, 3, 15grpsubeq0 15603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) y )  =  .0.  <->  x  =  y ) )
38373expb 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x ( -g `  G
) y )  =  .0.  <->  x  =  y
) )
391, 38sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y )  =  .0.  <->  x  =  y ) )
40 df-ov 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( -g `  G
) y )  =  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )
4140eleq1i 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e. 
{  .0.  }  <->  ( ( -g `  G ) `  <. x ,  y >.
)  e.  {  .0.  } )
42 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( -g `  G
) y )  e. 
_V
4342elsnc 3896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e. 
{  .0.  }  <->  ( x
( -g `  G ) y )  =  .0.  )
4441, 43bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  }  <->  ( x (
-g `  G )
y )  =  .0.  )
45 equcom 1732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
4639, 44, 453bitr4g 288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( -g `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  }  <->  y  =  x ) )
4746pm5.32da 641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
( -g `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  {  .0.  } )  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  /\  y  =  x ) ) )
4836, 47syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  =  x ) ) )
4934, 48bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  /\  y  =  x ) ) )
50 df-br 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } ) )
51 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  <->  x  e.  ( Base `  G )
) )
5251biimparc 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
5352pm4.71i 632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )
54 an32 796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  =  x )  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  =  x )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )
5553, 54bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  =  x ) )
5649, 50, 553bitr4g 288 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( x ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } ) y  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  =  x ) ) )
5756opabbidv 4350 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x ) } )
58 opabresid 5154 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  ( Base `  G ) )
5957, 58syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y }  =  (  _I  |`  ( Base `  G ) ) )
609reseq2d 5105 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (  _I  |`  ( Base `  G ) )  =  (  _I  |`  U. J
) )
6130, 59, 603eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } )  =  (  _I  |`  U. J
) )
6261eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) )  <->  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
6319, 62sylibd 214 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
64 topontop 18506 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
657, 64syl 16 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  Top )
6611hausdiag 19193 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
6766baib 896 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Haus  <->  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
6865, 67syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  (  _I  |`  U. J
)  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) ) )
6963, 68sylibrd 234 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Haus ) )
7014, 69impbid 191 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3323   {csn 3872   <.cop 3878   U.cuni 4086   class class class wbr 4287   {copab 4344    _I cid 4626    X. cxp 4833   `'ccnv 4834   dom cdm 4835    |` cres 4837   "cima 4838   Rel wrel 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   TopOpenctopn 14352   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   Clsdccld 18595    Cn ccn 18803   Hauscha 18887    tX ctx 19108   TopGrpctgp 19617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-map 7208  df-0g 14372  df-topgen 14374  df-mnd 15407  df-plusf 15408  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-cn 18806  df-t1 18893  df-haus 18894  df-tx 19110  df-tmd 19618  df-tgp 19619
This theorem is referenced by:  tgpt1  19663  divstgphaus  19668
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