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Theorem tgphaus 20907
Description: A topological group is Hausdorff iff the identity subgroup is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgphaus.1  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgphaus.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgphaus  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J )
) )

Proof of Theorem tgphaus
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 20869 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 tgphaus.1 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42, 3grpidcl 16402 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
51, 4syl 17 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
6 tgphaus.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
76, 2tgptopon 20873 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
8 toponuni 19720 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
105, 9eleqtrd 2492 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  U. J
)
11 eqid 2402 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1211sncld 20165 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  .0.  e.  U. J )  ->  {  .0.  }  e.  (
Clsd `  J )
)
1312expcom 433 . . 3  |-  (  .0. 
e.  U. J  ->  ( J  e.  Haus  ->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
1410, 13syl 17 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus  ->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
15 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
166, 15tgpsubcn 20881 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
17 cnclima 20062 . . . . . 6  |-  ( ( ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  {  .0.  }  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
)  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) )
1817ex 432 . . . . 5  |-  ( (
-g `  G )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) ) )
1916, 18syl 17 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
)  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) ) )
20 cnvimass 5177 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  C_  dom  ( -g `  G )
212, 15grpsubf 16441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
) : ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) --> ( Base `  G ) )
23 fdm 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-g `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
2520, 24syl5sseq 3490 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } ) 
C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) )
26 relxp 4931 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )
27 relss 4911 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  ->  ( Rel  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  ->  Rel  ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) ) )
2825, 26, 27mpisyl 21 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  Rel  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
) )
29 dfrel4v 5275 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } )  <->  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
)  =  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y } )
3028, 29sylib 196 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } )  =  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y } )
31 ffn 5714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-g `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  ( -g `  G )  Fn  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
3222, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  Fn  ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
33 elpreima 5985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-g `  G )  Fn  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } ) ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } ) ) )
35 opelxp 4853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )
3635anbi1i 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
( -g `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  {  .0.  } ) )
372, 3, 15grpsubeq0 16448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) y )  =  .0.  <->  x  =  y ) )
38373expb 1198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x ( -g `  G
) y )  =  .0.  <->  x  =  y
) )
391, 38sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y )  =  .0.  <->  x  =  y ) )
40 df-ov 6281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( -g `  G
) y )  =  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )
4140eleq1i 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e. 
{  .0.  }  <->  ( ( -g `  G ) `  <. x ,  y >.
)  e.  {  .0.  } )
42 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( -g `  G
) y )  e. 
_V
4342elsnc 3996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e. 
{  .0.  }  <->  ( x
( -g `  G ) y )  =  .0.  )
4441, 43bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  }  <->  ( x (
-g `  G )
y )  =  .0.  )
45 equcom 1818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
4639, 44, 453bitr4g 288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( -g `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  }  <->  y  =  x ) )
4746pm5.32da 639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
( -g `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  {  .0.  } )  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  /\  y  =  x ) ) )
4836, 47syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  =  x ) ) )
4934, 48bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  /\  y  =  x ) ) )
50 df-br 4396 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } ) )
51 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  <->  x  e.  ( Base `  G )
) )
5251biimparc 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
5352pm4.71i 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )
54 an32 799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  =  x )  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  =  x )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )
5553, 54bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  =  x ) )
5649, 50, 553bitr4g 288 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( x ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } ) y  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  =  x ) ) )
5756opabbidv 4458 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x ) } )
58 opabresid 5147 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  ( Base `  G ) )
5957, 58syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y }  =  (  _I  |`  ( Base `  G ) ) )
609reseq2d 5094 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (  _I  |`  ( Base `  G ) )  =  (  _I  |`  U. J
) )
6130, 59, 603eqtrd 2447 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } )  =  (  _I  |`  U. J
) )
6261eleq1d 2471 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) )  <->  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
6319, 62sylibd 214 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
64 topontop 19719 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
657, 64syl 17 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  Top )
6611hausdiag 20438 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
6766baib 904 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Haus  <->  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
6865, 67syl 17 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  (  _I  |`  U. J
)  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) ) )
6963, 68sylibrd 234 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Haus ) )
7014, 69impbid 190 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   {csn 3972   <.cop 3978   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   {copab 4452    _I cid 4733    X. cxp 4821   `'ccnv 4822   dom cdm 4823    |` cres 4825   "cima 4826   Rel wrel 4828    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   TopOpenctopn 15036   0gc0g 15054   Grpcgrp 16377   -gcsg 16379   Topctop 19686  TopOnctopon 19687   Clsdccld 19809    Cn ccn 20018   Hauscha 20102    tX ctx 20353   TopGrpctgp 20862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7459  df-0g 15056  df-topgen 15058  df-plusf 16195  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-cn 20021  df-t1 20108  df-haus 20109  df-tx 20355  df-tmd 20863  df-tgp 20864
This theorem is referenced by:  tgpt1  20908  qustgphaus  20913
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