MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconcompss Structured version   Unicode version

Theorem tgpconcompss 19819
Description: The identity component is a subset of any open subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
tgpconcompss  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  S  C_  T
)
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    S( x)    T( x)

Proof of Theorem tgpconcompss
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tgpconcomp.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
31, 2tgptopon 19788 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
433ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 simp3 990 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  J )
61opnsubg 19813 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  ( Clsd `  J )
)
75, 6elind 3651 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )
8 tgpconcomp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
98subg0cl 15811 . . 3  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  T )
1093ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  .0.  e.  T )
11 tgpconcomp.s . . 3  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
1211concompclo 19174 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  /\  .0.  e.  T
)  ->  S  C_  T
)
134, 7, 10, 12syl3anc 1219 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  S  C_  T
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803    i^i cin 3438    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   U.cuni 4202   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   ↾t crest 14481   TopOpenctopn 14482   0gc0g 14500  SubGrpcsubg 15797  TopOnctopon 18634   Clsdccld 18755   Conccon 19150   TopGrpctgp 19777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7775  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-rest 14483  df-0g 14502  df-topgen 14504  df-mnd 15537  df-plusf 15538  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-con 19151  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-tmd 19778  df-tgp 19779
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator