Theorem tgpconcompss 20902

Description: The identity component is a subset of any open subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconcomp.x	|- X = ( Base ` G )
tgpconcomp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tgpconcomp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpconcomp.s	|- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }

Assertion

Ref	Expression
tgpconcompss	|- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> S C_ T )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, J   x, G   x, X

Allowed substitution hints:   S( x)   T( x)

Proof of Theorem tgpconcompss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpconcomp.j	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` G )
2		tgpconcomp.x	. . . 4 |- X = ( Base ` G )
3	1, 2	tgptopon 20871	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
4	3	3ad2ant1 1018	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5		simp3 999	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> T e. J )
6	1	opnsubg 20896	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> T e. ( Clsd ` J ) )
7	5, 6	elind 3626	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> T e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) )
8		tgpconcomp.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
9	8	subg0cl 16531	. . 3 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. T )
10	9	3ad2ant2 1019	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> .0. e. T )
11		tgpconcomp.s	. . 3 |- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
12	11	concompclo 20226	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ T e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) /\ .0. e. T ) -> S C_ T )
13	4, 7, 10, 12	syl3anc 1230	1 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> S C_ T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   {crab 2757   i^i cin 3412   C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   U.cuni 4190   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   ↾_t crest 15033   TopOpenctopn 15034   0gc0g 15052  SubGrpcsubg 16517  TopOnctopon 19685   Clsdccld 19807   Conccon 20202   TopGrpctgp 20860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-rest 15035  df-0g 15054  df-topgen 15056  df-plusf 16193  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-subg 16520  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-con 20203  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-tmd 20861  df-tgp 20862

This theorem is referenced by: (None)