Theorem tgpconcompss 19819

Description: The identity component is a subset of any open subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconcomp.x	|- X = ( Base ` G )
tgpconcomp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tgpconcomp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpconcomp.s	|- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }

Assertion

Ref	Expression
tgpconcompss	|- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> S C_ T )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, J   x, G   x, X

Allowed substitution hints:   S( x)   T( x)

Proof of Theorem tgpconcompss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpconcomp.j	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` G )
2		tgpconcomp.x	. . . 4 |- X = ( Base ` G )
3	1, 2	tgptopon 19788	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
4	3	3ad2ant1 1009	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5		simp3 990	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> T e. J )
6	1	opnsubg 19813	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> T e. ( Clsd ` J ) )
7	5, 6	elind 3651	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> T e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) )
8		tgpconcomp.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
9	8	subg0cl 15811	. . 3 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. T )
10	9	3ad2ant2 1010	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> .0. e. T )
11		tgpconcomp.s	. . 3 |- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
12	11	concompclo 19174	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ T e. ( J i^i ( Clsd ` J ) ) /\ .0. e. T ) -> S C_ T )
13	4, 7, 10, 12	syl3anc 1219	1 |- ( ( G e. TopGrp /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ T e. J ) -> S C_ T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {crab 2803   i^i cin 3438   C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   U.cuni 4202   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   ↾_t crest 14481   TopOpenctopn 14482   0gc0g 14500  SubGrpcsubg 15797  TopOnctopon 18634   Clsdccld 18755   Conccon 19150   TopGrpctgp 19777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7775  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-rest 14483  df-0g 14502  df-topgen 14504  df-mnd 15537  df-plusf 15538  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-subg 15800  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-con 19151  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-tmd 19778  df-tgp 19779

This theorem is referenced by: (None)