MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconcompss Structured version   Unicode version

Theorem tgpconcompss 19659
Description: The identity component is a subset of any open subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
tgpconcompss  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  S  C_  T
)
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    S( x)    T( x)

Proof of Theorem tgpconcompss
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tgpconcomp.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
31, 2tgptopon 19628 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
433ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 simp3 990 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  J )
61opnsubg 19653 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  ( Clsd `  J )
)
75, 6elind 3535 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )
8 tgpconcomp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
98subg0cl 15680 . . 3  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  T )
1093ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  .0.  e.  T )
11 tgpconcomp.s . . 3  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
1211concompclo 19014 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  /\  .0.  e.  T
)  ->  S  C_  T
)
134, 7, 10, 12syl3anc 1218 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  S  C_  T
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714    i^i cin 3322    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   ↾t crest 14351   TopOpenctopn 14352   0gc0g 14370  SubGrpcsubg 15666  TopOnctopon 18474   Clsdccld 18595   Conccon 18990   TopGrpctgp 19617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-rest 14353  df-0g 14372  df-topgen 14374  df-mnd 15407  df-plusf 15408  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-subg 15669  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-con 18991  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-tmd 19618  df-tgp 19619
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator