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Theorem tgpconcompeqg 21138
Description: The connected component containing  A is the left coset of the identity component containing  A. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
tgpconcompeqg.r  |-  .~  =  ( G ~QG  S )
Assertion
Ref Expression
tgpconcompeqg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, A    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    .~ ( x)    S( x)

Proof of Theorem tgpconcompeqg
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfec2 7371 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  [ A ]  .~  =  { z  |  A  .~  z } )
21adantl 468 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  { z  |  A  .~  z } )
3 tgpconcomp.s . . . . . . . . 9  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
4 ssrab2 3516 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
5 sspwuni 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
64, 5mpbi 212 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  X
73, 6eqsstri 3464 . . . . . . . 8  |-  S  C_  X
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  S  C_  X )
9 tgpconcomp.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
10 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
11 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
12 tgpconcompeqg.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  S )
139, 10, 11, 12eqgval 16878 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  C_  X )  ->  ( A  .~  z  <->  ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
148, 13syldan 473 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  z  <->  ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
15 simp2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A ) ( +g  `  G ) z )  e.  S
)  ->  z  e.  X )
1614, 15syl6bi 232 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  z  ->  z  e.  X ) )
1716abssdv 3505 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  { z  |  A  .~  z }  C_  X )
182, 17eqsstrd 3468 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  C_  X )
19 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
20 tgpgrp 21105 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
21 tgpconcomp.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
229, 11, 21, 10grplinv 16724 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 A ) ( +g  `  G ) A )  =  .0.  )
2320, 22sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  =  .0.  )
24 tgpconcomp.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2524, 9tgptopon 21109 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2625adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2720adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
289, 21grpidcl 16706 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  .0.  e.  X )
303concompid 20458 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
3126, 29, 30syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
3223, 31eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S )
339, 10, 11, 12eqgval 16878 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  C_  X )  ->  ( A  .~  A  <->  ( A  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S ) ) )
348, 33syldan 473 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  A  <->  ( A  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S ) ) )
3519, 19, 32, 34mpbir3and 1192 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  .~  A )
36 elecg 7407 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
3719, 19, 36syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
3835, 37mpbird 236 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  [ A ]  .~  )
399, 12, 11eqglact 16880 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
407, 39mp3an2 1354 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
4120, 40sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
4241oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  [ A ]  .~  )  =  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) ) )
43 eqid 2453 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
44 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )
4544, 9, 11, 24tgplacthmeo 21130 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
46 hmeocn 20787 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J )  ->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
4745, 46syl 17 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
48 toponuni 19954 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
4926, 48syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  X  =  U. J )
507, 49syl5sseq 3482 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
513concompcon 20459 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
5226, 29, 51syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
5343, 47, 50, 52conima 20452 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )  e. 
Con )
5442, 53eqeltrd 2531 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  [ A ]  .~  )  e.  Con )
55 eqid 2453 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
5655concompss 20460 . . 3  |-  ( ( [ A ]  .~  C_  X  /\  A  e. 
[ A ]  .~  /\  ( Jt  [ A ]  .~  )  e.  Con )  ->  [ A ]  .~  C_ 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
5718, 38, 54, 56syl3anc 1269 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  C_  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
58 elpwi 3962 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
5944mptpreima 5331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " y )  =  { z  e.  X  |  ( A ( +g  `  G
) z )  e.  y }
60 ssrab2 3516 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  ( A ( +g  `  G
) z )  e.  y }  C_  X
6159, 60eqsstri 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " y ) 
C_  X
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  X
)
6329adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  .0.  e.  X )
649, 11, 21grprid 16709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +g  `  G )  .0.  )  =  A )
6520, 64sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  =  A )
6665adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  =  A )
67 simprrl 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  A  e.  y )
6866, 67eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  e.  y )
69 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  .0.  ->  ( A ( +g  `  G
) z )  =  ( A ( +g  `  G )  .0.  )
)
7069eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  .0.  ->  (
( A ( +g  `  G ) z )  e.  y  <->  ( A
( +g  `  G )  .0.  )  e.  y ) )
7170, 59elrab2 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .0. 
e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  <->  (  .0.  e.  X  /\  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  e.  y ) )
7263, 68, 71sylanbrc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  .0.  e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y ) )
73 hmeocnvcn 20788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J )  ->  `' (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7445, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7574adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
76 simprl 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_  X )
7749adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  X  =  U. J )
7876, 77sseqtrd 3470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
U. J )
79 simprrr 776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( Jt  y )  e.  Con )
8043, 75, 78, 79conima 20452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( Jt  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y ) )  e. 
Con )
813concompss 20460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  X  /\  .0.  e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  /\  ( Jt  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y ) )  e. 
Con )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  S
)
8262, 72, 80, 81syl3anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  S
)
83 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) )
8483, 9, 11, 10grplactcnv 16766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  A ) : X -1-1-onto-> X  /\  `' ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  ( ( invg `  G
) `  A )
) ) )
8520, 84sylan 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `
 A ) : X -1-1-onto-> X  /\  `' ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  ( ( invg `  G
) `  A )
) ) )
8685simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
) : X -1-1-onto-> X )
8783, 9grplactfval 16764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  X  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) )
8887adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) )
89 f1oeq1 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  ->  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  A ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `
 A ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
9186, 90mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
9291adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
93 f1ocnv 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  `' (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
94 f1ofun 5821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
96 f1odm 5823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  =  X )
9792, 93, 963syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  =  X )
9876, 97sseqtr4d 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
99 funimass3 6003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  /\  y  C_  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )  ->  (
( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  S 
<->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) ) )
10095, 98, 99syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  (
( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  S 
<->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) ) )
10182, 100mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
10241adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
103 imacnvcnv 5303 . . . . . . . . 9  |-  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S )  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S )
104102, 103syl6eqr 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  [ A ]  .~  =  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
105101, 104sseqtr4d 3471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  )
106105expr 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  y  C_  X
)  ->  ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  ) )
10758, 106sylan2 477 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )  -> 
y  C_  [ A ]  .~  ) )
108107ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  ) )
109 eleq2 2520 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
110 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  y ) )
111110eleq1d 2515 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  y )  e.  Con ) )
112109, 111anbi12d 718 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) 
<->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
113112ralrab 3202 . . . 4  |-  ( A. y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  <->  A. y  e.  ~P  X ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )  ->  y  C_  [ A ]  .~  ) )
114108, 113sylibr 216 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  )
115 unissb 4232 . . 3  |-  ( U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  [ A ]  .~  <->  A. y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  )
116114, 115sylibr 216 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  [ A ]  .~  )
11757, 116eqssd 3451 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   {cab 2439   A.wral 2739   {crab 2743    C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   U.cuni 4201   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   Fun wfun 5579   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   [cec 7366   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   ↾t crest 15331   TopOpenctopn 15332   0gc0g 15350   Grpcgrp 16681   invgcminusg 16682   ~QG cqg 16825  TopOnctopon 19930    Cn ccn 20252   Conccon 20438   Homeochmeo 20780   TopGrpctgp 21098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-map 7479  df-en 7575  df-fin 7578  df-fi 7930  df-rest 15333  df-0g 15352  df-topgen 15354  df-plusf 16499  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-eqg 16828  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-con 20439  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-tmd 21099  df-tgp 21100
This theorem is referenced by:  tgpconcomp  21139
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