Theorem tgpconcompeqg 21138

Description: The connected component containing A is the left coset of the identity component containing A. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconcomp.x	|- X = ( Base ` G )
tgpconcomp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tgpconcomp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpconcomp.s	|- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
tgpconcompeqg.r	|- .~ = ( G ~QG S )

Assertion

Ref	Expression
tgpconcompeqg	|- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, A   x, J   x, G   x, X

Allowed substitution hints:   .~ ( x)   S( x)

Proof of Theorem tgpconcompeqg

Dummy variables y z g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfec2 7371	. . . . 5 |- ( A e. X -> [ A ] .~ = { z | A .~ z } )
2	1	adantl 468	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = { z | A .~ z } )
3		tgpconcomp.s	. . . . . . . . 9 |- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
4		ssrab2 3516	. . . . . . . . . 10 |- { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X
5		sspwuni 4370	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X <-> U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X )
6	4, 5	mpbi 212	. . . . . . . . 9 |- U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X
7	3, 6	eqsstri 3464	. . . . . . . 8 |- S C_ X
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> S C_ X )
9		tgpconcomp.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
10		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
11		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
12		tgpconcompeqg.r	. . . . . . . 8 |- .~ = ( G ~QG S )
13	9, 10, 11, 12	eqgval 16878	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ S C_ X ) -> ( A .~ z <-> ( A e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
14	8, 13	syldan 473	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A .~ z <-> ( A e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
15		simp2 1010	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) z ) e. S ) -> z e. X )
16	14, 15	syl6bi 232	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A .~ z -> z e. X ) )
17	16	abssdv 3505	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> { z | A .~ z } C_ X )
18	2, 17	eqsstrd 3468	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ C_ X )
19		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A e. X )
20		tgpgrp 21105	. . . . . . 7 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
21		tgpconcomp.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
22	9, 11, 21, 10	grplinv 16724	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) = .0. )
23	20, 22	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) = .0. )
24		tgpconcomp.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( TopOpen ` G )
25	24, 9	tgptopon 21109	. . . . . . . 8 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
26	25	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
27	20	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> G e. Grp )
28	9, 21	grpidcl 16706	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> .0. e. X )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> .0. e. X )
30	3	concompid 20458	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> .0. e. S )
31	26, 29, 30	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> .0. e. S )
32	23, 31	eqeltrd 2531	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) e. S )
33	9, 10, 11, 12	eqgval 16878	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ S C_ X ) -> ( A .~ A <-> ( A e. X /\ A e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) e. S ) ) )
34	8, 33	syldan 473	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A .~ A <-> ( A e. X /\ A e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` A ) ( +g ` G ) A ) e. S ) ) )
35	19, 19, 32, 34	mpbir3and 1192	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A .~ A )
36		elecg 7407	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ A e. X ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
37	19, 19, 36	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A e. [ A ] .~ <-> A .~ A ) )
38	35, 37	mpbird 236	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A e. [ A ] .~ )
39	9, 12, 11	eqglact 16880	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ X /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
40	7, 39	mp3an2 1354	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
41	20, 40	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
42	41	oveq2d 6311	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( J ↾t [ A ] .~ ) = ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) ) )
43		eqid 2453	. . . . 5 |- U. J = U. J
44		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) )
45	44, 9, 11, 24	tgplacthmeo 21130	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) )
46		hmeocn 20787	. . . . . 6 |- ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
48		toponuni 19954	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
49	26, 48	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> X = U. J )
50	7, 49	syl5sseq 3482	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> S C_ U. J )
51	3	concompcon 20459	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
52	26, 29, 51	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
53	43, 47, 50, 52	conima 20452	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con )
54	42, 53	eqeltrd 2531	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( J ↾t [ A ] .~ ) e. Con )
55		eqid 2453	. . . 4 |- U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } = U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
56	55	concompss 20460	. . 3 |- ( ( [ A ] .~ C_ X /\ A e. [ A ] .~ /\ ( J ↾t [ A ] .~ ) e. Con ) -> [ A ] .~ C_ U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
57	18, 38, 54, 56	syl3anc 1269	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ C_ U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
58		elpwi 3962	. . . . . 6 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
59	44	mptpreima 5331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) = { z e. X | ( A ( +g ` G ) z ) e. y }
60		ssrab2 3516	. . . . . . . . . . . 12 |- { z e. X | ( A ( +g ` G ) z ) e. y } C_ X
61	59, 60	eqsstri 3464	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ X
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ X )
63	29	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> .0. e. X )
64	9, 11, 21	grprid 16709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( A ( +g ` G ) .0. ) = A )
65	20, 64	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( A ( +g ` G ) .0. ) = A )
66	65	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> ( A ( +g ` G ) .0. ) = A )
67		simprrl 775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> A e. y )
68	66, 67	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> ( A ( +g ` G ) .0. ) e. y )
69		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = .0. -> ( A ( +g ` G ) z ) = ( A ( +g ` G ) .0. ) )
70	69	eleq1d 2515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = .0. -> ( ( A ( +g ` G ) z ) e. y <-> ( A ( +g ` G ) .0. ) e. y ) )
71	70, 59	elrab2 3200	. . . . . . . . . . 11 |- ( .0. e. ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) <-> ( .0. e. X /\ ( A ( +g ` G ) .0. ) e. y ) )
72	63, 68, 71	sylanbrc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> .0. e. ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) )
73		hmeocnvcn 20788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) -> `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
74	45, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
75	74	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
76		simprl 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> y C_ X )
77	49	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> X = U. J )
78	76, 77	sseqtrd 3470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> y C_ U. J )
79		simprrr 776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> ( J ↾t y ) e. Con )
80	43, 75, 78, 79	conima 20452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> ( J ↾t ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) ) e. Con )
81	3	concompss 20460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ X /\ .0. e. ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) /\ ( J ↾t ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) ) e. Con ) -> ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ S )
82	62, 72, 80, 81	syl3anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ S )
83		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) = ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) )
84	83, 9, 11, 10	grplactcnv 16766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X /\ `' ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` ( ( invg ` G ) ` A ) ) ) )
85	20, 84	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X /\ `' ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` ( ( invg ` G ) ` A ) ) ) )
86	85	simpld 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X )
87	83, 9	grplactfval 16764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. X -> ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
88	87	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
89		f1oeq1 5810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) = ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) -> ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X <-> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( ( ( g e. X |-> ( z e. X |-> ( g ( +g ` G ) z ) ) ) ` A ) : X -1-1-onto-> X <-> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
91	86, 90	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
92	91	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
93		f1ocnv 5831	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X -> `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
94		f1ofun 5821	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X -> Fun `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
95	92, 93, 94	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> Fun `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
96		f1odm 5823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X -> dom `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) = X )
97	92, 93, 96	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> dom `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) = X )
98	76, 97	sseqtr4d 3471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> y C_ dom `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) )
99		funimass3 6003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) /\ y C_ dom `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) ) -> ( ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ S <-> y C_ ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) ) )
100	95, 98, 99	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> ( ( `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " y ) C_ S <-> y C_ ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) ) )
101	82, 100	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> y C_ ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
102	41	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> [ A ] .~ = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
103		imacnvcnv 5303	. . . . . . . . 9 |- ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) = ( ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S )
104	102, 103	syl6eqr 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> [ A ] .~ = ( `' `' ( z e. X |-> ( A ( +g ` G ) z ) ) " S ) )
105	101, 104	sseqtr4d 3471	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ ( y C_ X /\ ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) ) -> y C_ [ A ] .~ )
106	105	expr 620	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ y C_ X ) -> ( ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) -> y C_ [ A ] .~ ) )
107	58, 106	sylan2 477	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) -> y C_ [ A ] .~ ) )
108	107	ralrimiva 2804	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) -> y C_ [ A ] .~ ) )
109		eleq2 2520	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
110		oveq2 6303	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( J ↾t x ) = ( J ↾t y ) )
111	110	eleq1d 2515	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( J ↾t x ) e. Con <-> ( J ↾t y ) e. Con ) )
112	109, 111	anbi12d 718	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) <-> ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) ) )
113	112	ralrab 3202	. . . 4 |- ( A. y e. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } y C_ [ A ] .~ <-> A. y e. ~P X ( ( A e. y /\ ( J ↾t y ) e. Con ) -> y C_ [ A ] .~ ) )
114	108, 113	sylibr 216	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> A. y e. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } y C_ [ A ] .~ )
115		unissb 4232	. . 3 |- ( U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ [ A ] .~ <-> A. y e. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } y C_ [ A ] .~ )
116	114, 115	sylibr 216	. 2 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ [ A ] .~ )
117	57, 116	eqssd 3451	1 |- ( ( G e. TopGrp /\ A e. X ) -> [ A ] .~ = U. { x e. ~P X | ( A e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   {cab 2439   A.wral 2739   {crab 2743   C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   "cima 4840   Fun wfun 5579   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   [cec 7366   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   ↾_t crest 15331   TopOpenctopn 15332   0gc0g 15350   Grpcgrp 16681   invgcminusg 16682   ~_QG cqg 16825  TopOnctopon 19930   Cn ccn 20252   Conccon 20438   Homeochmeo 20780   TopGrpctgp 21098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-map 7479  df-en 7575  df-fin 7578  df-fi 7930  df-rest 15333  df-0g 15352  df-topgen 15354  df-plusf 16499  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-eqg 16828  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-con 20439  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-tmd 21099  df-tgp 21100

This theorem is referenced by:  tgpconcomp  21139