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Theorem tgpconcompeqg 19687
Description: The connected component containing  A is the left coset of the identity component containing  A. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
tgpconcompeqg.r  |-  .~  =  ( G ~QG  S )
Assertion
Ref Expression
tgpconcompeqg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, A    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    .~ ( x)    S( x)

Proof of Theorem tgpconcompeqg
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfec2 7109 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  [ A ]  .~  =  { z  |  A  .~  z } )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  { z  |  A  .~  z } )
3 tgpconcomp.s . . . . . . . . 9  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
4 ssrab2 3442 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
5 sspwuni 4261 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
64, 5mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  X
73, 6eqsstri 3391 . . . . . . . 8  |-  S  C_  X
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  S  C_  X )
9 tgpconcomp.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
10 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
12 tgpconcompeqg.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  S )
139, 10, 11, 12eqgval 15735 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  C_  X )  ->  ( A  .~  z  <->  ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
148, 13syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  z  <->  ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
15 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A ) ( +g  `  G ) z )  e.  S
)  ->  z  e.  X )
1614, 15syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  z  ->  z  e.  X ) )
1716abssdv 3431 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  { z  |  A  .~  z }  C_  X )
182, 17eqsstrd 3395 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  C_  X )
19 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
20 tgpgrp 19654 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
21 tgpconcomp.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
229, 11, 21, 10grplinv 15589 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 A ) ( +g  `  G ) A )  =  .0.  )
2320, 22sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  =  .0.  )
24 tgpconcomp.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2524, 9tgptopon 19658 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2625adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2720adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
289, 21grpidcl 15571 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  .0.  e.  X )
303concompid 19040 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
3126, 29, 30syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
3223, 31eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S )
339, 10, 11, 12eqgval 15735 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  C_  X )  ->  ( A  .~  A  <->  ( A  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S ) ) )
348, 33syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  A  <->  ( A  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S ) ) )
3519, 19, 32, 34mpbir3and 1171 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  .~  A )
36 elecg 7144 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
3719, 19, 36syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
3835, 37mpbird 232 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  [ A ]  .~  )
399, 12, 11eqglact 15737 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
407, 39mp3an2 1302 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
4120, 40sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
4241oveq2d 6112 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  [ A ]  .~  )  =  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) ) )
43 eqid 2443 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
44 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )
4544, 9, 11, 24tgplacthmeo 19679 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
46 hmeocn 19338 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J )  ->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
48 toponuni 18537 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
4926, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  X  =  U. J )
507, 49syl5sseq 3409 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
513concompcon 19041 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
5226, 29, 51syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
5343, 47, 50, 52conima 19034 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )  e. 
Con )
5442, 53eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  [ A ]  .~  )  e.  Con )
55 eqid 2443 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
5655concompss 19042 . . 3  |-  ( ( [ A ]  .~  C_  X  /\  A  e. 
[ A ]  .~  /\  ( Jt  [ A ]  .~  )  e.  Con )  ->  [ A ]  .~  C_ 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
5718, 38, 54, 56syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  C_  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
58 elpwi 3874 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
5944mptpreima 5336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " y )  =  { z  e.  X  |  ( A ( +g  `  G
) z )  e.  y }
60 ssrab2 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  ( A ( +g  `  G
) z )  e.  y }  C_  X
6159, 60eqsstri 3391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " y ) 
C_  X
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  X
)
6329adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  .0.  e.  X )
649, 11, 21grprid 15574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +g  `  G )  .0.  )  =  A )
6520, 64sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  =  A )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  =  A )
67 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  A  e.  y )
6866, 67eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  e.  y )
69 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  .0.  ->  ( A ( +g  `  G
) z )  =  ( A ( +g  `  G )  .0.  )
)
7069eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  .0.  ->  (
( A ( +g  `  G ) z )  e.  y  <->  ( A
( +g  `  G )  .0.  )  e.  y ) )
7170, 59elrab2 3124 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .0. 
e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  <->  (  .0.  e.  X  /\  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  e.  y ) )
7263, 68, 71sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  .0.  e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y ) )
73 hmeocnvcn 19339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J )  ->  `' (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7445, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
76 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_  X )
7749adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  X  =  U. J )
7876, 77sseqtrd 3397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
U. J )
79 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( Jt  y )  e.  Con )
8043, 75, 78, 79conima 19034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( Jt  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y ) )  e. 
Con )
813concompss 19042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  X  /\  .0.  e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  /\  ( Jt  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y ) )  e. 
Con )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  S
)
8262, 72, 80, 81syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  S
)
83 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) )
8483, 9, 11, 10grplactcnv 15629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  A ) : X -1-1-onto-> X  /\  `' ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  ( ( invg `  G
) `  A )
) ) )
8520, 84sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `
 A ) : X -1-1-onto-> X  /\  `' ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  ( ( invg `  G
) `  A )
) ) )
8685simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
) : X -1-1-onto-> X )
8783, 9grplactfval 15627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  X  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) )
8887adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) )
89 f1oeq1 5637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  ->  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  A ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `
 A ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
9186, 90mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
93 f1ocnv 5658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  `' (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
94 f1ofun 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
9592, 93, 943syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
96 f1odm 5650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  =  X )
9792, 93, 963syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  =  X )
9876, 97sseqtr4d 3398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
99 funimass3 5824 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  /\  y  C_  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )  ->  (
( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  S 
<->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) ) )
10095, 98, 99syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  (
( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  S 
<->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) ) )
10182, 100mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
10241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
103 imacnvcnv 5308 . . . . . . . . 9  |-  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S )  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S )
104102, 103syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  [ A ]  .~  =  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
105101, 104sseqtr4d 3398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  )
106105expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  y  C_  X
)  ->  ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  ) )
10758, 106sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )  -> 
y  C_  [ A ]  .~  ) )
108107ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  ) )
109 eleq2 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
110 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  y ) )
111110eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  y )  e.  Con ) )
112109, 111anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) 
<->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
113112ralrab 3126 . . . 4  |-  ( A. y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  <->  A. y  e.  ~P  X ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )  ->  y  C_  [ A ]  .~  ) )
114108, 113sylibr 212 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  )
115 unissb 4128 . . 3  |-  ( U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  [ A ]  .~  <->  A. y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  )
116114, 115sylibr 212 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  [ A ]  .~  )
11757, 116eqssd 3378 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   {crab 2724    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   "cima 4848   Fun wfun 5417   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   [cec 7104   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   ↾t crest 14364   TopOpenctopn 14365   0gc0g 14383   Grpcgrp 15415   invgcminusg 15416   ~QG cqg 15682  TopOnctopon 18504    Cn ccn 18833   Conccon 19020   Homeochmeo 19331   TopGrpctgp 19647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-map 7221  df-en 7316  df-fin 7319  df-fi 7666  df-rest 14366  df-0g 14385  df-topgen 14387  df-mnd 15420  df-plusf 15421  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-eqg 15685  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-con 19021  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-tmd 19648  df-tgp 19649
This theorem is referenced by:  tgpconcomp  19688
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