Theorem tgpconcomp 20736

Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 20060) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconcomp.x	|- X = ( Base ` G )
tgpconcomp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tgpconcomp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpconcomp.s	|- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }

Assertion

Ref	Expression
tgpconcomp	|- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, J   x, G   x, X

Allowed substitution hint:   S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpconcomp.s	. . . . 5 |- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
2		ssrab2 3581	. . . . . 6 |- { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X
3		sspwuni 4421	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X <-> U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X )
4	2, 3	mpbi 208	. . . . 5 |- U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X
5	1, 4	eqsstri 3529	. . . 4 |- S C_ X
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S C_ X )
7		tgpconcomp.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` G )
8		tgpconcomp.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
9	7, 8	tgptopon 20706	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
10		tgpgrp 20702	. . . . . 6 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
11		tgpconcomp.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
12	8, 11	grpidcl 16204	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. X )
13	10, 12	syl 16	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. X )
14	1	concompid 20057	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> .0. e. S )
15	9, 13, 14	syl2anc 661	. . . 4 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. S )
16		ne0i 3799	. . . 4 |- ( .0. e. S -> S =/= (/) )
17	15, 16	syl 16	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S =/= (/) )
18		df-ima 5021	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S )
19		resmpt 5333	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ X -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
20	5, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
21	20	rneqi 5239	. . . . . . . 8 |- ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
22	18, 21	eqtri 2486	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
23		imassrn 5358	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
24	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> G e. Grp )
25	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> G e. Grp )
26	6	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. X )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> y e. X )
28		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> z e. X )
29		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
30	8, 29	grpsubcl 16244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
31	25, 27, 28, 30	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
32		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
33	31, 32	fmptd 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X )
34		frn 5743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
36	23, 35	syl5ss 3510	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X )
37	8, 11, 29	grpsubid 16248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
38	24, 26, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
39		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. S )
40		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ( -g ` G ) y ) e. _V
41		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
42		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( -g ` G ) y ) )
43	41, 42	elrnmpt1s 5260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. S /\ ( y ( -g ` G ) y ) e. _V ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
44	39, 40, 43	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
45	38, 44	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
46	45, 22	syl6eleqr 2556	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) )
47		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
48		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
49		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
50	8, 48, 49, 29	grpsubval 16219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
51	26, 50	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
52	51	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
53	8, 49	grpinvcl 16221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
54	24, 53	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
55	8, 49	grpinvf 16220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) : X --> X )
56	10, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) : X --> X )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) : X --> X )
58	57	feqmptd 5926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) = ( z e. X |-> ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
59		eqidd 2458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) )
60		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( y ( +g ` G ) w ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
61	54, 58, 59, 60	fmptco 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
62	52, 61	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) )
63	7, 49	grpinvhmeo 20710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
65		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) )
66	65, 8, 48, 7	tgplacthmeo 20727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. X ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
67	26, 66	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
68		hmeoco 20398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) /\ ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
70	62, 69	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) )
71		hmeocn 20386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
73		toponuni 19554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
74	9, 73	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. TopGrp -> X = U. J )
75	74	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> X = U. J )
76	5, 75	syl5sseq 3547	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> S C_ U. J )
77	1	concompcon 20058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
78	9, 13, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. TopGrp -> ( J ↾t S ) e. Con )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
80	47, 72, 76, 79	conima 20051	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con )
81	1	concompss 20059	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X /\ .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) /\ ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
82	36, 46, 80, 81	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
83	22, 82	syl5eqssr 3544	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
84		ovex 6324	. . . . . . . 8 |- ( y ( -g ` G ) z ) e. _V
85	84, 41	fnmpti 5715	. . . . . . 7 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S
86		df-f 5598	. . . . . . 7 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S /\ ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S ) )
87	85, 86	mpbiran 918	. . . . . 6 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
88	83, 87	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
89	41	fmpt 6053	. . . . 5 |- ( A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S <-> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
90	88, 89	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
91	90	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
92	8, 29	issubg4 16346	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
93	10, 92	syl 16	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
94	6, 17, 91, 93	mpbir3and 1179	. 2 |- ( G e. TopGrp -> S e. (SubGrp ` G ) )
95	10	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> G e. Grp )
96		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- (oppg ` G ) = (oppg ` G )
97	96, 49	oppginv 16520	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) = ( invg ` (oppg ` G ) ) )
98	95, 97	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( invg ` G ) = ( invg ` (oppg ` G ) ) )
99	98	fveq1d 5874	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
100		simprll 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> y e. X )
101	8, 49	grpinvinv 16231	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
102	95, 100, 101	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
103	99, 102	eqtr3d 2500	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
104	103	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) )
105		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( +g ` (oppg ` G ) ) = ( +g ` (oppg ` G ) )
106	48, 96, 105	oppgplus 16510	. . . . . 6 |- ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y )
107	104, 106	syl6eq 2514	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) )
108	8, 49	grpinvcl 16221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
109	95, 100, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
110		simprlr 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> z e. X )
111	102	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
112		simprr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
113	111, 112	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S )
114		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ~QG S ) = ( G ~QG S )
115	8, 49, 48, 114	eqgval 16376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
116	95, 5, 115	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
117	109, 110, 113, 116	mpbir3and 1179	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
118	8, 11, 7, 1, 114	tgpconcompeqg 20735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
119	109, 118	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
120	96	oppgtgp 20722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
121	120	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
122	96, 8	oppgbas 16512	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( Base ` (oppg ` G ) )
123	96, 11	oppgid 16517	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. = ( 0g ` (oppg ` G ) )
124	96, 7	oppgtopn 16514	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( TopOpen ` (oppg ` G ) )
125		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (oppg ` G ) ~QG S ) = ( (oppg ` G ) ~QG S )
126	122, 123, 124, 1, 125	tgpconcompeqg 20735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
127	121, 109, 126	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
128	119, 127	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) )
129	128	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) ) )
130		vex 3112	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
131		fvex 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( invg ` G ) ` y ) e. _V
132	130, 131	elec 7369	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
133	130, 131	elec 7369	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
134	129, 132, 133	3bitr3g 287	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z ) )
135	117, 134	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
136		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` (oppg ` G ) ) = ( invg ` (oppg ` G ) )
137	122, 136, 105, 125	eqgval 16376	. . . . . . . 8 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ S C_ X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
138	121, 5, 137	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
139	135, 138	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) )
140	139	simp3d 1010	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S )
141	107, 140	eqeltrrd 2546	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S )
142	141	expr 615	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
143	142	ralrimivva 2878	. 2 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
144	8, 48	isnsg2 16357	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
145	94, 143, 144	sylanbrc 664	1 |- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   |` cres 5010   "cima 5011   o. ccom 5012   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   [cec 7327   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   ↾_t crest 14837   TopOpenctopn 14838   0gc0g 14856   Grpcgrp 16179   invgcminusg 16180   -gcsg 16181  SubGrpcsubg 16321  NrmSGrpcnsg 16322   ~_QG cqg 16323  opp_gcoppg 16506  TopOnctopon 19521   Cn ccn 19851   Conccon 20037   Homeochmeo 20379   TopGrpctgp 20695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-tset 14730  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-topgen 14860  df-plusf 15997  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-nsg 16325  df-eqg 16326  df-oppg 16507  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-con 20038  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-tmd 20696  df-tgp 20697

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