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Theorem tgpconcomp 19642
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 18997) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
tgpconcomp  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.s . . . . 5  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2 ssrab2 3434 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
3 sspwuni 4253 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
42, 3mpbi 208 . . . . 5  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  X
51, 4eqsstri 3383 . . . 4  |-  S  C_  X
65a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  C_  X
)
7 tgpconcomp.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
8 tgpconcomp.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
97, 8tgptopon 19612 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
10 tgpgrp 19608 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
11 tgpconcomp.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
128, 11grpidcl 15559 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  X
)
141concompid 18994 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
159, 13, 14syl2anc 656 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  S
)
16 ne0i 3640 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  =/=  (/) )
18 df-ima 4849 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )
19 resmpt 5153 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
205, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
2120rneqi 5062 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
2218, 21eqtri 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
23 imassrn 5177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  C_  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )
2410adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
2524adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
266sselda 3353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  X )
2726adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  y  e.  X )
28 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  X )
29 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
308, 29grpsubcl 15599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  e.  X )
3125, 27, 28, 30syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  e.  X
)
32 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
3331, 32fmptd 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X )
34 frn 5562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3623, 35syl5ss 3364 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  X )
378, 11, 29grpsubid 15603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) y )  =  .0.  )
3824, 26, 37syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  =  .0.  )
39 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
40 ovex 6115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( -g `  G
) y )  e. 
_V
41 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
42 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
y ( -g `  G
) z )  =  ( y ( -g `  G ) y ) )
4341, 42elrnmpt1s 5083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  S  /\  ( y ( -g `  G ) y )  e.  _V )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) )
4439, 40, 43sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  e. 
ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4538, 44eqeltrrd 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4645, 22syl6eleqr 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )
47 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
48 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
49 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
508, 48, 49, 29grpsubval 15574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  z
) ) )
5126, 50sylan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 z ) ) )
5251mpteq2dva 4375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) )
538, 49grpinvcl 15576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X )
5424, 53sylan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  X )
558, 49grpinvf 15575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G ) : X --> X )
5610, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( invg `  G ) : X --> X )
5756adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( invg `  G ) : X --> X )
5857feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( invg `  G )  =  ( z  e.  X  |->  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) )
59 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) ) )
60 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  -> 
( y ( +g  `  G ) w )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  z
) ) )
6154, 58, 59, 60fmptco 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( invg `  G ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 z ) ) ) )
6252, 61eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  o.  ( invg `  G ) ) )
637, 49grpinvhmeo 19616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( invg `  G )  e.  ( J Homeo J ) )
6463adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( invg `  G )  e.  ( J Homeo J ) )
65 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )
6665, 8, 48, 7tgplacthmeo 19633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J Homeo J ) )
6726, 66syldan 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J Homeo J ) )
68 hmeoco 19304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( invg `  G )  e.  ( J Homeo J )  /\  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  e.  ( J
Homeo J ) )  -> 
( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( invg `  G ) )  e.  ( J Homeo J ) )
6964, 67, 68syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( invg `  G ) )  e.  ( J
Homeo J ) )
7062, 69eqeltrd 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
71 hmeocn 19292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J )  ->  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
73 toponuni 18491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
749, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  X  =  U. J )
7574adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  X  =  U. J )
765, 75syl5sseq 3401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  S  C_ 
U. J )
771concompcon 18995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
789, 13, 77syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
7978adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
8047, 72, 76, 79conima 18988 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )  e. 
Con )
811concompss 18996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  X  /\  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  /\  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S ) )  e.  Con )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  S
)
8236, 46, 80, 81syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  S )
8322, 82syl5eqssr 3398 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
84 ovex 6115 . . . . . . . 8  |-  ( y ( -g `  G
) z )  e. 
_V
8584, 41fnmpti 5536 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S
86 df-f 5419 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ( (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S  /\  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
)
8785, 86mpbiran 904 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) 
C_  S )
8883, 87sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S )
8941fmpt 5861 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S  <->  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) : S --> S )
9088, 89sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
)
9190ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( -g `  G ) z )  e.  S )
928, 29issubg4 15693 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S ) ) )
9310, 92syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
) ) )
946, 17, 91, 93mpbir3and 1166 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
9510adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
96 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
9796, 49oppginv 15867 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G )  =  ( invg `  (oppg
`  G ) ) )
9895, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  ( invg `  G )  =  ( invg `  (oppg
`  G ) ) )
9998fveq1d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) )  =  ( ( invg `  (oppg `  G ) ) `  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )
100 simprll 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  y  e.  X )
1018, 49grpinvinv 15586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) )  =  y )
10295, 100, 101syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) )  =  y )
10399, 102eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  (oppg `  G ) ) `  ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  y )
104103oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z ) )
105 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
10648, 96, 105oppgplus 15857 . . . . . 6  |-  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y )
107104, 106syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y ) )
1088, 49grpinvcl 15576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
10995, 100, 108syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
110 simprlr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  z  e.  X )
111102oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
112 simprr 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S )
113111, 112eqeltrd 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S )
114 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ~QG  S )  =  ( G ~QG  S )
1158, 49, 48, 114eqgval 15723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( G ~QG  S ) z  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
11695, 5, 115sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( ( invg `  G
) `  y )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S ) ) )
117109, 110, 113, 116mpbir3and 1166 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
1188, 11, 7, 1, 114tgpconcompeqg 19641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X )  ->  [ ( ( invg `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
119109, 118syldan 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( ( ( invg `  G
) `  y )  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
12096oppgtgp 19628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
121120adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
12296, 8oppgbas 15859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
12396, 11oppgid 15864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  (oppg `  G
) )
12496, 7oppgtopn 15861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
125 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  ( (oppg
`  G ) ~QG  S )
126122, 123, 124, 1, 125tgpconcompeqg 19641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  X )  ->  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
127121, 109, 126syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
128119, 127eqtr4d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) )
129128eleq2d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z  e.  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  <->  z  e.  [
( ( invg `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) ) )
130 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
131 fvex 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( invg `  G
) `  y )  e.  _V
132130, 131elec 7136 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( invg `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  <-> 
( ( invg `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
133130, 131elec 7136 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( invg `  G
) `  y ) ] ( (oppg `  G
) ~QG 
S )  <->  ( ( invg `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z )
134129, 132, 1333bitr3g 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( invg `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z ) )
135117, 134mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z )
136 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  (oppg `  G
) )  =  ( invg `  (oppg `  G
) )
137122, 136, 105, 125eqgval 15723 . . . . . . . 8  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  (oppg `  G
) ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
138121, 5, 137sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  (oppg `  G
) ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
139135, 138mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  (oppg `  G
) ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) )
140139simp3d 997 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  e.  S )
141107, 140eqeltrrd 2516 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z ( +g  `  G
) y )  e.  S )
142141expr 612 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  ->  ( z
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
143142ralrimivva 2806 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) )
1448, 48isnsg2 15704 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) ) )
14594, 143, 144sylanbrc 659 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ran crn 4837    |` cres 4838   "cima 4839    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   [cec 7095   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   -gcsg 15409  SubGrpcsubg 15668  NrmSGrpcnsg 15669   ~QG cqg 15670  oppgcoppg 15853  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787   Conccon 18974   Homeochmeo 19285   TopGrpctgp 19601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-tset 14253  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-mnd 15411  df-plusf 15412  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-oppg 15854  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-con 18975  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-tmd 19602  df-tgp 19603
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