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Theorem tgpconcomp 19688
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 19043) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
tgpconcomp  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.s . . . . 5  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2 ssrab2 3442 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
3 sspwuni 4261 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
42, 3mpbi 208 . . . . 5  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  X
51, 4eqsstri 3391 . . . 4  |-  S  C_  X
65a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  C_  X
)
7 tgpconcomp.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
8 tgpconcomp.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
97, 8tgptopon 19658 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
10 tgpgrp 19654 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
11 tgpconcomp.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
128, 11grpidcl 15571 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  X
)
141concompid 19040 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
159, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  S
)
16 ne0i 3648 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  =/=  (/) )
18 df-ima 4858 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )
19 resmpt 5161 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
205, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
2120rneqi 5071 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
2218, 21eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
23 imassrn 5185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  C_  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )
2410adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
266sselda 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  X )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  y  e.  X )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  X )
29 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
308, 29grpsubcl 15611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  e.  X )
3125, 27, 28, 30syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  e.  X
)
32 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
3331, 32fmptd 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X )
34 frn 5570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3623, 35syl5ss 3372 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  X )
378, 11, 29grpsubid 15615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) y )  =  .0.  )
3824, 26, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  =  .0.  )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
40 ovex 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( -g `  G
) y )  e. 
_V
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
42 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
y ( -g `  G
) z )  =  ( y ( -g `  G ) y ) )
4341, 42elrnmpt1s 5092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  S  /\  ( y ( -g `  G ) y )  e.  _V )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) )
4439, 40, 43sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  e. 
ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4538, 44eqeltrrd 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4645, 22syl6eleqr 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )
47 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
48 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
49 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
508, 48, 49, 29grpsubval 15586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  z
) ) )
5126, 50sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 z ) ) )
5251mpteq2dva 4383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) )
538, 49grpinvcl 15588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X )
5424, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  X )
558, 49grpinvf 15587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G ) : X --> X )
5610, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( invg `  G ) : X --> X )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( invg `  G ) : X --> X )
5857feqmptd 5749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( invg `  G )  =  ( z  e.  X  |->  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) )
59 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) ) )
60 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  -> 
( y ( +g  `  G ) w )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  z
) ) )
6154, 58, 59, 60fmptco 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( invg `  G ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 z ) ) ) )
6252, 61eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  o.  ( invg `  G ) ) )
637, 49grpinvhmeo 19662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( invg `  G )  e.  ( J Homeo J ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( invg `  G )  e.  ( J Homeo J ) )
65 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )
6665, 8, 48, 7tgplacthmeo 19679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J Homeo J ) )
6726, 66syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J Homeo J ) )
68 hmeoco 19350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( invg `  G )  e.  ( J Homeo J )  /\  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  e.  ( J
Homeo J ) )  -> 
( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( invg `  G ) )  e.  ( J Homeo J ) )
6964, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( invg `  G ) )  e.  ( J
Homeo J ) )
7062, 69eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J ) )
71 hmeocn 19338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J Homeo J )  ->  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
73 toponuni 18537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
749, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  X  =  U. J )
7574adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  X  =  U. J )
765, 75syl5sseq 3409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  S  C_ 
U. J )
771concompcon 19041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
789, 13, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
7978adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
8047, 72, 76, 79conima 19034 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )  e. 
Con )
811concompss 19042 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  X  /\  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  /\  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S ) )  e.  Con )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  S
)
8236, 46, 80, 81syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  S )
8322, 82syl5eqssr 3406 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
84 ovex 6121 . . . . . . . 8  |-  ( y ( -g `  G
) z )  e. 
_V
8584, 41fnmpti 5544 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S
86 df-f 5427 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ( (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S  /\  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
)
8785, 86mpbiran 909 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) 
C_  S )
8883, 87sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S )
8941fmpt 5869 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S  <->  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) : S --> S )
9088, 89sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
)
9190ralrimiva 2804 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( -g `  G ) z )  e.  S )
928, 29issubg4 15705 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S ) ) )
9310, 92syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
) ) )
946, 17, 91, 93mpbir3and 1171 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
9510adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
96 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
9796, 49oppginv 15879 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G )  =  ( invg `  (oppg
`  G ) ) )
9895, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  ( invg `  G )  =  ( invg `  (oppg
`  G ) ) )
9998fveq1d 5698 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) )  =  ( ( invg `  (oppg `  G ) ) `  ( ( invg `  G ) `  y
) ) )
100 simprll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  y  e.  X )
1018, 49grpinvinv 15598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) )  =  y )
10295, 100, 101syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) )  =  y )
10399, 102eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  (oppg `  G ) ) `  ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  y )
104103oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z ) )
105 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
10648, 96, 105oppgplus 15869 . . . . . 6  |-  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y )
107104, 106syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y ) )
1088, 49grpinvcl 15588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
10995, 100, 108syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
110 simprlr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  z  e.  X )
111102oveq1d 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
112 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S )
113111, 112eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S )
114 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ~QG  S )  =  ( G ~QG  S )
1158, 49, 48, 114eqgval 15735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( G ~QG  S ) z  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
11695, 5, 115sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( ( invg `  G
) `  y )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S ) ) )
117109, 110, 113, 116mpbir3and 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
1188, 11, 7, 1, 114tgpconcompeqg 19687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X )  ->  [ ( ( invg `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
119109, 118syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( ( ( invg `  G
) `  y )  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
12096oppgtgp 19674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
121120adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
12296, 8oppgbas 15871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
12396, 11oppgid 15876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  (oppg `  G
) )
12496, 7oppgtopn 15873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
125 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  ( (oppg
`  G ) ~QG  S )
126122, 123, 124, 1, 125tgpconcompeqg 19687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  X )  ->  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
127121, 109, 126syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
128119, 127eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) )
129128eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z  e.  [ ( ( invg `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  <->  z  e.  [
( ( invg `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) ) )
130 vex 2980 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
131 fvex 5706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( invg `  G
) `  y )  e.  _V
132130, 131elec 7145 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( invg `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  <-> 
( ( invg `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
133130, 131elec 7145 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( invg `  G
) `  y ) ] ( (oppg `  G
) ~QG 
S )  <->  ( ( invg `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z )
134129, 132, 1333bitr3g 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( invg `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z ) )
135117, 134mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z )
136 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  (oppg `  G
) )  =  ( invg `  (oppg `  G
) )
137122, 136, 105, 125eqgval 15735 . . . . . . . 8  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  (oppg `  G
) ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
138121, 5, 137sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  (oppg `  G
) ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
139135, 138mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  (oppg `  G
) ) `  (
( invg `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) )
140139simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( invg `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  e.  S )
141107, 140eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z ( +g  `  G
) y )  e.  S )
142141expr 615 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  ->  ( z
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
143142ralrimivva 2813 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) )
1448, 48isnsg2 15716 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) ) )
14594, 143, 144sylanbrc 664 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848    o. ccom 4849    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   [cec 7104   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   ↾t crest 14364   TopOpenctopn 14365   0gc0g 14383   Grpcgrp 15415   invgcminusg 15416   -gcsg 15418  SubGrpcsubg 15680  NrmSGrpcnsg 15681   ~QG cqg 15682  oppgcoppg 15865  TopOnctopon 18504    Cn ccn 18833   Conccon 19020   Homeochmeo 19331   TopGrpctgp 19647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-tset 14262  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-topgen 14387  df-mnd 15420  df-plusf 15421  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-oppg 15866  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-con 19021  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-tmd 19648  df-tgp 19649
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