Theorem tgpconcomp 21114

Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 20436) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconcomp.x	|- X = ( Base ` G )
tgpconcomp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tgpconcomp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpconcomp.s	|- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }

Assertion

Ref	Expression
tgpconcomp	|- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, J   x, G   x, X

Allowed substitution hint:   S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpconcomp.s	. . . . 5 |- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
2		ssrab2 3546	. . . . . 6 |- { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X
3		sspwuni 4385	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X <-> U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X )
4	2, 3	mpbi 211	. . . . 5 |- U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X
5	1, 4	eqsstri 3494	. . . 4 |- S C_ X
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S C_ X )
7		tgpconcomp.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` G )
8		tgpconcomp.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
9	7, 8	tgptopon 21084	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
10		tgpgrp 21080	. . . . . 6 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
11		tgpconcomp.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
12	8, 11	grpidcl 16682	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. X )
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. X )
14	1	concompid 20433	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> .0. e. S )
15	9, 13, 14	syl2anc 665	. . . 4 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. S )
16		ne0i 3767	. . . 4 |- ( .0. e. S -> S =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S =/= (/) )
18		df-ima 4863	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S )
19		resmpt 5170	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ X -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
20	5, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
21	20	rneqi 5077	. . . . . . . 8 |- ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
22	18, 21	eqtri 2451	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
23		imassrn 5195	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
24	10	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> G e. Grp )
25	24	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> G e. Grp )
26	6	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. X )
27	26	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> y e. X )
28		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> z e. X )
29		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
30	8, 29	grpsubcl 16722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
31	25, 27, 28, 30	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
32		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
33	31, 32	fmptd 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X )
34		frn 5749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
36	23, 35	syl5ss 3475	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X )
37	8, 11, 29	grpsubid 16726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
38	24, 26, 37	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
39		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. S )
40		ovex 6330	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ( -g ` G ) y ) e. _V
41		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
42		oveq2 6310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( -g ` G ) y ) )
43	41, 42	elrnmpt1s 5098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. S /\ ( y ( -g ` G ) y ) e. _V ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
44	39, 40, 43	sylancl 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
45	38, 44	eqeltrrd 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
46	45, 22	syl6eleqr 2521	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) )
47		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
48		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
49		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
50	8, 48, 49, 29	grpsubval 16697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
51	26, 50	sylan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
52	51	mpteq2dva 4507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
53	8, 49	grpinvcl 16699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
54	24, 53	sylan 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
55	8, 49	grpinvf 16698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) : X --> X )
56	10, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) : X --> X )
57	56	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) : X --> X )
58	57	feqmptd 5931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) = ( z e. X |-> ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
59		eqidd 2423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) )
60		oveq2 6310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( y ( +g ` G ) w ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
61	54, 58, 59, 60	fmptco 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
62	52, 61	eqtr4d 2466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) )
63	7, 49	grpinvhmeo 21088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
64	63	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
65		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) )
66	65, 8, 48, 7	tgplacthmeo 21105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. X ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
67	26, 66	syldan 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
68		hmeoco 20774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) /\ ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
70	62, 69	eqeltrd 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) )
71		hmeocn 20762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
73		toponuni 19929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
74	9, 73	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. TopGrp -> X = U. J )
75	74	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> X = U. J )
76	5, 75	syl5sseq 3512	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> S C_ U. J )
77	1	concompcon 20434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
78	9, 13, 77	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. TopGrp -> ( J ↾t S ) e. Con )
79	78	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
80	47, 72, 76, 79	conima 20427	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con )
81	1	concompss 20435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X /\ .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) /\ ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
82	36, 46, 80, 81	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
83	22, 82	syl5eqssr 3509	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
84		ovex 6330	. . . . . . . 8 |- ( y ( -g ` G ) z ) e. _V
85	84, 41	fnmpti 5721	. . . . . . 7 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S
86		df-f 5602	. . . . . . 7 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S /\ ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S ) )
87	85, 86	mpbiran 926	. . . . . 6 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
88	83, 87	sylibr 215	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
89	41	fmpt 6055	. . . . 5 |- ( A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S <-> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
90	88, 89	sylibr 215	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
91	90	ralrimiva 2839	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
92	8, 29	issubg4 16824	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
93	10, 92	syl 17	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
94	6, 17, 91, 93	mpbir3and 1188	. 2 |- ( G e. TopGrp -> S e. (SubGrp ` G ) )
95	10	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> G e. Grp )
96		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- (oppg ` G ) = (oppg ` G )
97	96, 49	oppginv 16998	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) = ( invg ` (oppg ` G ) ) )
98	95, 97	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( invg ` G ) = ( invg ` (oppg ` G ) ) )
99	98	fveq1d 5880	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
100		simprll 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> y e. X )
101	8, 49	grpinvinv 16709	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
102	95, 100, 101	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
103	99, 102	eqtr3d 2465	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
104	103	oveq1d 6317	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) )
105		eqid 2422	. . . . . . 7 |- ( +g ` (oppg ` G ) ) = ( +g ` (oppg ` G ) )
106	48, 96, 105	oppgplus 16988	. . . . . 6 |- ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y )
107	104, 106	syl6eq 2479	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) )
108	8, 49	grpinvcl 16699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
109	95, 100, 108	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
110		simprlr 771	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> z e. X )
111	102	oveq1d 6317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
112		simprr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
113	111, 112	eqeltrd 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S )
114		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ~QG S ) = ( G ~QG S )
115	8, 49, 48, 114	eqgval 16854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
116	95, 5, 115	sylancl 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
117	109, 110, 113, 116	mpbir3and 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
118	8, 11, 7, 1, 114	tgpconcompeqg 21113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
119	109, 118	syldan 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
120	96	oppgtgp 21100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
121	120	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
122	96, 8	oppgbas 16990	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( Base ` (oppg ` G ) )
123	96, 11	oppgid 16995	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. = ( 0g ` (oppg ` G ) )
124	96, 7	oppgtopn 16992	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( TopOpen ` (oppg ` G ) )
125		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (oppg ` G ) ~QG S ) = ( (oppg ` G ) ~QG S )
126	122, 123, 124, 1, 125	tgpconcompeqg 21113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
127	121, 109, 126	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
128	119, 127	eqtr4d 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) )
129	128	eleq2d 2492	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) ) )
130		vex 3084	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
131		fvex 5888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( invg ` G ) ` y ) e. _V
132	130, 131	elec 7408	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
133	130, 131	elec 7408	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
134	129, 132, 133	3bitr3g 290	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z ) )
135	117, 134	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
136		eqid 2422	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` (oppg ` G ) ) = ( invg ` (oppg ` G ) )
137	122, 136, 105, 125	eqgval 16854	. . . . . . . 8 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ S C_ X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
138	121, 5, 137	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
139	135, 138	mpbid 213	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) )
140	139	simp3d 1019	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S )
141	107, 140	eqeltrrd 2511	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S )
142	141	expr 618	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
143	142	ralrimivva 2846	. 2 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
144	8, 48	isnsg2 16835	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
145	94, 143, 144	sylanbrc 668	1 |- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   {crab 2779   _Vcvv 3081   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   ran crn 4851   |` cres 4852   "cima 4853   o. ccom 4854   Fn wfn 5593   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   [cec 7366   Basecbs 15109   +g cplusg 15178   ↾_t crest 15307   TopOpenctopn 15308   0gc0g 15326   Grpcgrp 16657   invgcminusg 16658   -gcsg 16659  SubGrpcsubg 16799  NrmSGrpcnsg 16800   ~_QG cqg 16801  opp_gcoppg 16984  TopOnctopon 19905   Cn ccn 20227   Conccon 20413   Homeochmeo 20755   TopGrpctgp 21073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7928  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-tset 15197  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-topgen 15330  df-plusf 16475  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-subg 16802  df-nsg 16803  df-eqg 16804  df-oppg 16985  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-con 20414  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-tmd 21074  df-tgp 21075

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