Theorem tgpconcomp 18095

Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 17450) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconcomp.x	|- X = ( Base ` G )
tgpconcomp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tgpconcomp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpconcomp.s	|- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }

Assertion

Ref	Expression
tgpconcomp	|- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, J   x, G   x, X

Allowed substitution hint:   S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpconcomp.s	. . . . 5 |- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
2		ssrab2 3388	. . . . . 6 |- { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X
3		sspwuni 4136	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X <-> U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X )
4	2, 3	mpbi 200	. . . . 5 |- U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X
5	1, 4	eqsstri 3338	. . . 4 |- S C_ X
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S C_ X )
7		tgpconcomp.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` G )
8		tgpconcomp.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
9	7, 8	tgptopon 18065	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
10		tgpgrp 18061	. . . . . 6 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
11		tgpconcomp.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
12	8, 11	grpidcl 14788	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. X )
13	10, 12	syl 16	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. X )
14	1	concompid 17447	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> .0. e. S )
15	9, 13, 14	syl2anc 643	. . . 4 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. S )
16		ne0i 3594	. . . 4 |- ( .0. e. S -> S =/= (/) )
17	15, 16	syl 16	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S =/= (/) )
18		df-ima 4850	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S )
19		resmpt 5150	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ X -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
20	5, 19	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
21	20	rneqi 5055	. . . . . . . 8 |- ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
22	18, 21	eqtri 2424	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
23		imassrn 5175	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
24	10	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> G e. Grp )
25	24	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> G e. Grp )
26	6	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. X )
27	26	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> y e. X )
28		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> z e. X )
29		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
30	8, 29	grpsubcl 14824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
31	25, 27, 28, 30	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
32		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
33	31, 32	fmptd 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X )
34		frn 5556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
36	23, 35	syl5ss 3319	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X )
37	8, 11, 29	grpsubid 14828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
38	24, 26, 37	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
39		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. S )
40		ovex 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ( -g ` G ) y ) e. _V
41		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
42		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( -g ` G ) y ) )
43	41, 42	elrnmpt1s 5077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. S /\ ( y ( -g ` G ) y ) e. _V ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
44	39, 40, 43	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
45	38, 44	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
46	45, 22	syl6eleqr 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) )
47		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
48		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
49		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( inv g ` G ) = ( inv g ` G )
50	8, 48, 49, 29	grpsubval 14803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( inv g ` G ) ` z ) ) )
51	26, 50	sylan 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( inv g ` G ) ` z ) ) )
52	51	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( inv g ` G ) ` z ) ) ) )
53	8, 49	grpinvcl 14805	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( inv g ` G ) ` z ) e. X )
54	24, 53	sylan 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( ( inv g ` G ) ` z ) e. X )
55	8, 49	grpinvf 14804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> ( inv g ` G ) : X --> X )
56	10, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. TopGrp -> ( inv g ` G ) : X --> X )
57	56	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( inv g ` G ) : X --> X )
58	57	feqmptd 5738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( inv g ` G ) = ( z e. X |-> ( ( inv g ` G ) ` z ) ) )
59		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) )
60		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( ( inv g ` G ) ` z ) -> ( y ( +g ` G ) w ) = ( y ( +g ` G ) ( ( inv g ` G ) ` z ) ) )
61	54, 58, 59, 60	fmptco 5860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( inv g ` G ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( inv g ` G ) ` z ) ) ) )
62	52, 61	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( inv g ` G ) ) )
63	7, 49	grpinvhmeo 18069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> ( inv g ` G ) e. ( J Homeo J ) )
64	63	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( inv g ` G ) e. ( J Homeo J ) )
65		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) )
66	65, 8, 48, 7	tgplacthmeo 18086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. X ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
67	26, 66	syldan 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
68		hmeoco 17757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( inv g ` G ) e. ( J Homeo J ) /\ ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( inv g ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( inv g ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
70	62, 69	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) )
71		hmeocn 17745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
73		toponuni 16947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
74	9, 73	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. TopGrp -> X = U. J )
75	74	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> X = U. J )
76	5, 75	syl5sseq 3356	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> S C_ U. J )
77	1	concompcon 17448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
78	9, 13, 77	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. TopGrp -> ( J ↾t S ) e. Con )
79	78	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
80	47, 72, 76, 79	conima 17441	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con )
81	1	concompss 17449	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X /\ .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) /\ ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
82	36, 46, 80, 81	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
83	22, 82	syl5eqssr 3353	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
84		ovex 6065	. . . . . . . 8 |- ( y ( -g ` G ) z ) e. _V
85	84, 41	fnmpti 5532	. . . . . . 7 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S
86		df-f 5417	. . . . . . 7 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S /\ ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S ) )
87	85, 86	mpbiran 885	. . . . . 6 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
88	83, 87	sylibr 204	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
89	41	fmpt 5849	. . . . 5 |- ( A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S <-> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
90	88, 89	sylibr 204	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
91	90	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
92	8, 29	issubg4 14916	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
93	10, 92	syl 16	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
94	6, 17, 91, 93	mpbir3and 1137	. 2 |- ( G e. TopGrp -> S e. (SubGrp ` G ) )
95	10	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> G e. Grp )
96		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- (oppg ` G ) = (oppg ` G )
97	96, 49	oppginv 15110	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> ( inv g ` G ) = ( inv g ` (oppg ` G ) ) )
98	95, 97	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( inv g ` G ) = ( inv g ` (oppg ` G ) ) )
99	98	fveq1d 5689	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( inv g ` G ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) = ( ( inv g ` (oppg ` G ) ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) )
100		simprll 739	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> y e. X )
101	8, 49	grpinvinv 14813	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( inv g ` G ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) = y )
102	95, 100, 101	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( inv g ` G ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) = y )
103	99, 102	eqtr3d 2438	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( inv g ` (oppg ` G ) ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) = y )
104	103	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( inv g ` (oppg ` G ) ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) )
105		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( +g ` (oppg ` G ) ) = ( +g ` (oppg ` G ) )
106	48, 96, 105	oppgplus 15100	. . . . . 6 |- ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y )
107	104, 106	syl6eq 2452	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( inv g ` (oppg ` G ) ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) )
108	8, 49	grpinvcl 14805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( inv g ` G ) ` y ) e. X )
109	95, 100, 108	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( inv g ` G ) ` y ) e. X )
110		simprlr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> z e. X )
111	102	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( inv g ` G ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
112		simprr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
113	111, 112	eqeltrd 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( inv g ` G ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S )
114		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ~QG S ) = ( G ~QG S )
115	8, 49, 48, 114	eqgval 14944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ X ) -> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( inv g ` G ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
116	95, 5, 115	sylancl 644	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( inv g ` G ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
117	109, 110, 113, 116	mpbir3and 1137	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( inv g ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
118	8, 11, 7, 1, 114	tgpconcompeqg 18094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( inv g ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( inv g ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
119	109, 118	syldan 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( inv g ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
120	96	oppgtgp 18081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
121	120	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
122	96, 8	oppgbas 15102	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( Base ` (oppg ` G ) )
123	96, 11	oppgid 15107	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. = ( 0g ` (oppg ` G ) )
124	96, 7	oppgtopn 15104	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( TopOpen ` (oppg ` G ) )
125		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (oppg ` G ) ~QG S ) = ( (oppg ` G ) ~QG S )
126	122, 123, 124, 1, 125	tgpconcompeqg 18094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ ( ( inv g ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( inv g ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
127	121, 109, 126	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( inv g ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
128	119, 127	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) )
129	128	eleq2d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z e. [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> z e. [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) ) )
130		vex 2919	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
131		fvex 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( inv g ` G ) ` y ) e. _V
132	130, 131	elec 6903	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> ( ( inv g ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
133	130, 131	elec 6903	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( inv g ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) <-> ( ( inv g ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
134	129, 132, 133	3bitr3g 279	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( inv g ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z ) )
135	117, 134	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( inv g ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
136		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( inv g ` (oppg ` G ) ) = ( inv g ` (oppg ` G ) )
137	122, 136, 105, 125	eqgval 14944	. . . . . . . 8 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ S C_ X ) -> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( inv g ` (oppg ` G ) ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
138	121, 5, 137	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( inv g ` (oppg ` G ) ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
139	135, 138	mpbid 202	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( inv g ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( inv g ` (oppg ` G ) ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) )
140	139	simp3d 971	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( inv g ` (oppg ` G ) ) ` ( ( inv g ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S )
141	107, 140	eqeltrrd 2479	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S )
142	141	expr 599	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
143	142	ralrimivva 2758	. 2 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
144	8, 48	isnsg2 14925	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
145	94, 143, 144	sylanbrc 646	1 |- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   o. ccom 4841   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   [cec 6862   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   ↾_t crest 13603   TopOpenctopn 13604   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641   -gcsg 14643  SubGrpcsubg 14893  NrmSGrpcnsg 14894   ~_QG cqg 14895  opp_gcoppg 15096  TopOnctopon 16914   Cn ccn 17242   Conccon 17427   Homeo chmeo 17738   TopGrpctgp 18054

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-tset 13503  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-oppg 15097  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-con 17428  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-tmd 18055  df-tgp 18056