Theorem tgpconcomp 21127

Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 20449) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconcomp.x	|- X = ( Base ` G )
tgpconcomp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tgpconcomp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpconcomp.s	|- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }

Assertion

Ref	Expression
tgpconcomp	|- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, J   x, G   x, X

Allowed substitution hint:   S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpconcomp.s	. . . . 5 |- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
2		ssrab2 3514	. . . . . 6 |- { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X
3		sspwuni 4367	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X <-> U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X )
4	2, 3	mpbi 212	. . . . 5 |- U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X
5	1, 4	eqsstri 3462	. . . 4 |- S C_ X
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S C_ X )
7		tgpconcomp.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` G )
8		tgpconcomp.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
9	7, 8	tgptopon 21097	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
10		tgpgrp 21093	. . . . . 6 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
11		tgpconcomp.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
12	8, 11	grpidcl 16694	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. X )
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. X )
14	1	concompid 20446	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> .0. e. S )
15	9, 13, 14	syl2anc 667	. . . 4 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. S )
16		ne0i 3737	. . . 4 |- ( .0. e. S -> S =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S =/= (/) )
18		df-ima 4847	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S )
19		resmpt 5154	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ X -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
20	5, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
21	20	rneqi 5061	. . . . . . . 8 |- ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
22	18, 21	eqtri 2473	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
23		imassrn 5179	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
24	10	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> G e. Grp )
25	24	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> G e. Grp )
26	6	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. X )
27	26	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> y e. X )
28		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> z e. X )
29		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
30	8, 29	grpsubcl 16734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
31	25, 27, 28, 30	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
32		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
33	31, 32	fmptd 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X )
34		frn 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
36	23, 35	syl5ss 3443	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X )
37	8, 11, 29	grpsubid 16738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
38	24, 26, 37	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
39		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. S )
40		ovex 6318	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ( -g ` G ) y ) e. _V
41		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
42		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( -g ` G ) y ) )
43	41, 42	elrnmpt1s 5082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. S /\ ( y ( -g ` G ) y ) e. _V ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
44	39, 40, 43	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
45	38, 44	eqeltrrd 2530	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
46	45, 22	syl6eleqr 2540	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) )
47		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
48		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
49		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
50	8, 48, 49, 29	grpsubval 16709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
51	26, 50	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
52	51	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
53	8, 49	grpinvcl 16711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
54	24, 53	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
55	8, 49	grpinvf 16710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) : X --> X )
56	10, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) : X --> X )
57	56	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) : X --> X )
58	57	feqmptd 5918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) = ( z e. X |-> ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
59		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) )
60		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( y ( +g ` G ) w ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
61	54, 58, 59, 60	fmptco 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
62	52, 61	eqtr4d 2488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) )
63	7, 49	grpinvhmeo 21101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
64	63	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
65		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) )
66	65, 8, 48, 7	tgplacthmeo 21118	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. X ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
67	26, 66	syldan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
68		hmeoco 20787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) /\ ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
70	62, 69	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) )
71		hmeocn 20775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
73		toponuni 19942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
74	9, 73	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. TopGrp -> X = U. J )
75	74	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> X = U. J )
76	5, 75	syl5sseq 3480	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> S C_ U. J )
77	1	concompcon 20447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
78	9, 13, 77	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. TopGrp -> ( J ↾t S ) e. Con )
79	78	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
80	47, 72, 76, 79	conima 20440	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con )
81	1	concompss 20448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X /\ .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) /\ ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
82	36, 46, 80, 81	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
83	22, 82	syl5eqssr 3477	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
84		ovex 6318	. . . . . . . 8 |- ( y ( -g ` G ) z ) e. _V
85	84, 41	fnmpti 5706	. . . . . . 7 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S
86		df-f 5586	. . . . . . 7 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S /\ ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S ) )
87	85, 86	mpbiran 929	. . . . . 6 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
88	83, 87	sylibr 216	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
89	41	fmpt 6043	. . . . 5 |- ( A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S <-> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
90	88, 89	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
91	90	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
92	8, 29	issubg4 16836	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
93	10, 92	syl 17	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
94	6, 17, 91, 93	mpbir3and 1191	. 2 |- ( G e. TopGrp -> S e. (SubGrp ` G ) )
95	10	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> G e. Grp )
96		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- (oppg ` G ) = (oppg ` G )
97	96, 49	oppginv 17010	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) = ( invg ` (oppg ` G ) ) )
98	95, 97	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( invg ` G ) = ( invg ` (oppg ` G ) ) )
99	98	fveq1d 5867	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
100		simprll 772	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> y e. X )
101	8, 49	grpinvinv 16721	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
102	95, 100, 101	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
103	99, 102	eqtr3d 2487	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
104	103	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) )
105		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( +g ` (oppg ` G ) ) = ( +g ` (oppg ` G ) )
106	48, 96, 105	oppgplus 17000	. . . . . 6 |- ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y )
107	104, 106	syl6eq 2501	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) )
108	8, 49	grpinvcl 16711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
109	95, 100, 108	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
110		simprlr 773	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> z e. X )
111	102	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
112		simprr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
113	111, 112	eqeltrd 2529	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S )
114		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ~QG S ) = ( G ~QG S )
115	8, 49, 48, 114	eqgval 16866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
116	95, 5, 115	sylancl 668	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
117	109, 110, 113, 116	mpbir3and 1191	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
118	8, 11, 7, 1, 114	tgpconcompeqg 21126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
119	109, 118	syldan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
120	96	oppgtgp 21113	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
121	120	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
122	96, 8	oppgbas 17002	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( Base ` (oppg ` G ) )
123	96, 11	oppgid 17007	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. = ( 0g ` (oppg ` G ) )
124	96, 7	oppgtopn 17004	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( TopOpen ` (oppg ` G ) )
125		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (oppg ` G ) ~QG S ) = ( (oppg ` G ) ~QG S )
126	122, 123, 124, 1, 125	tgpconcompeqg 21126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
127	121, 109, 126	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
128	119, 127	eqtr4d 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) )
129	128	eleq2d 2514	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) ) )
130		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
131		fvex 5875	. . . . . . . . . 10 |- ( ( invg ` G ) ` y ) e. _V
132	130, 131	elec 7403	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
133	130, 131	elec 7403	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
134	129, 132, 133	3bitr3g 291	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z ) )
135	117, 134	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
136		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` (oppg ` G ) ) = ( invg ` (oppg ` G ) )
137	122, 136, 105, 125	eqgval 16866	. . . . . . . 8 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ S C_ X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
138	121, 5, 137	sylancl 668	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
139	135, 138	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) )
140	139	simp3d 1022	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S )
141	107, 140	eqeltrrd 2530	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S )
142	141	expr 620	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
143	142	ralrimivva 2809	. 2 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
144	8, 48	isnsg2 16847	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
145	94, 143, 144	sylanbrc 670	1 |- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ran crn 4835   |` cres 4836   "cima 4837   o. ccom 4838   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   [cec 7361   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   ↾_t crest 15319   TopOpenctopn 15320   0gc0g 15338   Grpcgrp 16669   invgcminusg 16670   -gcsg 16671  SubGrpcsubg 16811  NrmSGrpcnsg 16812   ~_QG cqg 16813  opp_gcoppg 16996  TopOnctopon 19918   Cn ccn 20240   Conccon 20426   Homeochmeo 20768   TopGrpctgp 21086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-ec 7365  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-tset 15209  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-plusf 16487  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-nsg 16815  df-eqg 16816  df-oppg 16997  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-con 20427  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-tmd 21087  df-tgp 21088

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