Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconcomp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tgpconcomp 21127
 Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 20449) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x
tgpconcomp.z
tgpconcomp.j
tgpconcomp.s t
Assertion
Ref Expression
tgpconcomp NrmSGrp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tgpconcomp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.s . . . . 5 t
2 ssrab2 3514 . . . . . 6 t
3 sspwuni 4367 . . . . . 6 t t
42, 3mpbi 212 . . . . 5 t
51, 4eqsstri 3462 . . . 4
65a1i 11 . . 3
7 tgpconcomp.j . . . . . 6
8 tgpconcomp.x . . . . . 6
97, 8tgptopon 21097 . . . . 5 TopOn
10 tgpgrp 21093 . . . . . 6
11 tgpconcomp.z . . . . . . 7
128, 11grpidcl 16694 . . . . . 6
1310, 12syl 17 . . . . 5
141concompid 20446 . . . . 5 TopOn
159, 13, 14syl2anc 667 . . . 4
16 ne0i 3737 . . . 4
1715, 16syl 17 . . 3
18 df-ima 4847 . . . . . . . 8
19 resmpt 5154 . . . . . . . . . 10
205, 19ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2120rneqi 5061 . . . . . . . 8
2218, 21eqtri 2473 . . . . . . 7
23 imassrn 5179 . . . . . . . . 9
2410adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
2524adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
266sselda 3432 . . . . . . . . . . . . 13
2726adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
28 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
29 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
308, 29grpsubcl 16734 . . . . . . . . . . . 12
3125, 27, 28, 30syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11
32 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
3331, 32fmptd 6046 . . . . . . . . . 10
34 frn 5735 . . . . . . . . . 10
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9
3623, 35syl5ss 3443 . . . . . . . 8
378, 11, 29grpsubid 16738 . . . . . . . . . . 11
3824, 26, 37syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
39 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
40 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11
41 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12
42 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42elrnmpt1s 5082 . . . . . . . . . . 11
4439, 40, 43sylancl 668 . . . . . . . . . 10
4538, 44eqeltrrd 2530 . . . . . . . . 9
4645, 22syl6eleqr 2540 . . . . . . . 8
47 eqid 2451 . . . . . . . . 9
48 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15
508, 48, 49, 29grpsubval 16709 . . . . . . . . . . . . . 14
5126, 50sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13
5251mpteq2dva 4489 . . . . . . . . . . . 12
538, 49grpinvcl 16711 . . . . . . . . . . . . . 14
5424, 53sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13
558, 49grpinvf 16710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5610, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14
5857feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . 13
59 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13
60 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . 13
6154, 58, 59, 60fmptco 6056 . . . . . . . . . . . 12
6252, 61eqtr4d 2488 . . . . . . . . . . 11
637, 49grpinvhmeo 21101 . . . . . . . . . . . . 13
6463adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
65 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14
6665, 8, 48, 7tgplacthmeo 21118 . . . . . . . . . . . . 13
6726, 66syldan 473 . . . . . . . . . . . 12
68 hmeoco 20787 . . . . . . . . . . . 12
6964, 67, 68syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11
7062, 69eqeltrd 2529 . . . . . . . . . 10
71 hmeocn 20775 . . . . . . . . . 10
7270, 71syl 17 . . . . . . . . 9
73 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
749, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11
7574adantr 467 . . . . . . . . . 10
765, 75syl5sseq 3480 . . . . . . . . 9
771concompcon 20447 . . . . . . . . . . 11 TopOn t
789, 13, 77syl2anc 667 . . . . . . . . . 10 t
7978adantr 467 . . . . . . . . 9 t
8047, 72, 76, 79conima 20440 . . . . . . . 8 t
811concompss 20448 . . . . . . . 8 t
8236, 46, 80, 81syl3anc 1268 . . . . . . 7
8322, 82syl5eqssr 3477 . . . . . 6
84 ovex 6318 . . . . . . . 8
8584, 41fnmpti 5706 . . . . . . 7
86 df-f 5586 . . . . . . 7
8785, 86mpbiran 929 . . . . . 6
8883, 87sylibr 216 . . . . 5
8941fmpt 6043 . . . . 5
9088, 89sylibr 216 . . . 4
9190ralrimiva 2802 . . 3
928, 29issubg4 16836 . . . 4 SubGrp
9310, 92syl 17 . . 3 SubGrp
946, 17, 91, 93mpbir3and 1191 . 2 SubGrp
9510adantr 467 . . . . . . . . . 10
96 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 oppg oppg
9796, 49oppginv 17010 . . . . . . . . . 10 oppg
9895, 97syl 17 . . . . . . . . 9 oppg
9998fveq1d 5867 . . . . . . . 8 oppg
100 simprll 772 . . . . . . . . 9
1018, 49grpinvinv 16721 . . . . . . . . 9
10295, 100, 101syl2anc 667 . . . . . . . 8
10399, 102eqtr3d 2487 . . . . . . 7 oppg
104103oveq1d 6305 . . . . . 6 oppg oppg oppg
105 eqid 2451 . . . . . . 7 oppg oppg
10648, 96, 105oppgplus 17000 . . . . . 6 oppg
107104, 106syl6eq 2501 . . . . 5 oppg oppg
1088, 49grpinvcl 16711 . . . . . . . . . 10
10995, 100, 108syl2anc 667 . . . . . . . . 9
110 simprlr 773 . . . . . . . . 9
111102oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10
112 simprr 766 . . . . . . . . . 10
113111, 112eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9
114 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 ~QG ~QG
1158, 49, 48, 114eqgval 16866 . . . . . . . . . 10 ~QG
11695, 5, 115sylancl 668 . . . . . . . . 9 ~QG
117109, 110, 113, 116mpbir3and 1191 . . . . . . . 8 ~QG
1188, 11, 7, 1, 114tgpconcompeqg 21126 . . . . . . . . . . . 12 ~QG t
119109, 118syldan 473 . . . . . . . . . . 11 ~QG t
12096oppgtgp 21113 . . . . . . . . . . . . 13 oppg
121120adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 oppg
12296, 8oppgbas 17002 . . . . . . . . . . . . 13 oppg
12396, 11oppgid 17007 . . . . . . . . . . . . 13 oppg
12496, 7oppgtopn 17004 . . . . . . . . . . . . 13 oppg
125 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13 oppg ~QG oppg ~QG
126122, 123, 124, 1, 125tgpconcompeqg 21126 . . . . . . . . . . . 12 oppg oppg ~QG t
127121, 109, 126syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11 oppg ~QG t
128119, 127eqtr4d 2488 . . . . . . . . . 10 ~QG oppg ~QG
129128eleq2d 2514 . . . . . . . . 9 ~QG oppg ~QG
130 vex 3048 . . . . . . . . . 10
131 fvex 5875 . . . . . . . . . 10
132130, 131elec 7403 . . . . . . . . 9 ~QG ~QG
133130, 131elec 7403 . . . . . . . . 9 oppg ~QG oppg ~QG
134129, 132, 1333bitr3g 291 . . . . . . . 8 ~QG oppg ~QG
135117, 134mpbid 214 . . . . . . 7 oppg ~QG
136 eqid 2451 . . . . . . . . 9 oppg oppg
137122, 136, 105, 125eqgval 16866 . . . . . . . 8 oppg oppg ~QG oppg oppg
138121, 5, 137sylancl 668 . . . . . . 7 oppg ~QG oppg oppg
139135, 138mpbid 214 . . . . . 6 oppg oppg
140139simp3d 1022 . . . . 5 oppg oppg
141107, 140eqeltrrd 2530 . . . 4
142141expr 620 . . 3
143142ralrimivva 2809 . 2
1448, 48isnsg2 16847 . 2 NrmSGrp SubGrp
14594, 143, 144sylanbrc 670 1 NrmSGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  crab 2741  cvv 3045   wss 3404  c0 3731  cpw 3951  cuni 4198   class class class wbr 4402   cmpt 4461   crn 4835   cres 4836  cima 4837   ccom 4838   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cec 7361  cbs 15121   cplusg 15190   ↾t crest 15319  ctopn 15320  c0g 15338  cgrp 16669  cminusg 16670  csg 16671  SubGrpcsubg 16811  NrmSGrpcnsg 16812   ~QG cqg 16813  oppgcoppg 16996  TopOnctopon 19918   ccn 20240  ccon 20426  chmeo 20768  ctgp 21086 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186  df-er 7363  df-ec 7365  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-tset 15209  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-plusf 16487  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-nsg 16815  df-eqg 16816  df-oppg 16997  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-con 20427  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-tmd 21087  df-tgp 21088 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator