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Theorem tgpconcomp 18095
Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 17450) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
tgpconcomp  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.s . . . . 5  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
2 ssrab2 3388 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
3 sspwuni 4136 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
42, 3mpbi 200 . . . . 5  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  X
51, 4eqsstri 3338 . . . 4  |-  S  C_  X
65a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  C_  X
)
7 tgpconcomp.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
8 tgpconcomp.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
97, 8tgptopon 18065 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
10 tgpgrp 18061 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
11 tgpconcomp.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
128, 11grpidcl 14788 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  X
)
141concompid 17447 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
159, 13, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  S
)
16 ne0i 3594 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  =/=  (/) )
18 df-ima 4850 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )
19 resmpt 5150 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  X  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
205, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  |`  S )  =  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
2120rneqi 5055 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  |`  S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
2218, 21eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  =  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
23 imassrn 5175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  C_  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )
2410adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
266sselda 3308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  X )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  y  e.  X )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  X )
29 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
308, 29grpsubcl 14824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  e.  X )
3125, 27, 28, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  e.  X
)
32 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
3331, 32fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X )
34 frn 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : X --> X  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  X )
3623, 35syl5ss 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  X )
378, 11, 29grpsubid 14828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) y )  =  .0.  )
3824, 26, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  =  .0.  )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
40 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y ( -g `  G
) y )  e. 
_V
41 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) )
42 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
y ( -g `  G
) z )  =  ( y ( -g `  G ) y ) )
4341, 42elrnmpt1s 5077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  S  /\  ( y ( -g `  G ) y )  e.  _V )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) )
4439, 40, 43sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
y ( -g `  G
) y )  e. 
ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4538, 44eqeltrrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ran  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) )
4645, 22syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )
47 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
48 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
49 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
508, 48, 49, 29grpsubval 14803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )
5126, 50sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( -g `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) )
5251mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )
538, 49grpinvcl 14805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
5424, 53sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X )
558, 49grpinvf 14804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : X --> X )
5610, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G ) : X --> X )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( inv g `  G ) : X --> X )
5857feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( inv g `  G )  =  ( z  e.  X  |->  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) )
59 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) ) )
60 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( y ( +g  `  G ) w )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )
6154, 58, 59, 60fmptco 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( inv g `  G ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) ) )
6252, 61eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  =  ( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  o.  ( inv g `  G ) ) )
637, 49grpinvhmeo 18069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J )
)
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J ) )
65 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )
6665, 8, 48, 7tgplacthmeo 18086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  X )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
6726, 66syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G
) w ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
68 hmeoco 17757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( inv g `  G )  e.  ( J  Homeo  J )  /\  ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )  -> 
( ( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( inv g `  G ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
6964, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( w  e.  X  |->  ( y ( +g  `  G ) w ) )  o.  ( inv g `  G ) )  e.  ( J 
Homeo  J ) )
7062, 69eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
71 hmeocn 17745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
73 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
749, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  X  =  U. J )
7574adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  X  =  U. J )
765, 75syl5sseq 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  S  C_ 
U. J )
771concompcon 17448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
789, 13, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
7978adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
8047, 72, 76, 79conima 17441 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S ) )  e. 
Con )
811concompss 17449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  X  /\  .0.  e.  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S )  /\  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )
" S ) )  e.  Con )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) " S )  C_  S
)
8236, 46, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
( z  e.  X  |->  ( y ( -g `  G ) z ) ) " S ) 
C_  S )
8322, 82syl5eqssr 3353 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
84 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( y ( -g `  G
) z )  e. 
_V
8584, 41fnmpti 5532 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S
86 df-f 5417 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ( (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) )  Fn  S  /\  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G ) z ) )  C_  S )
)
8785, 86mpbiran 885 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S  <->  ran  ( z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) 
C_  S )
8883, 87sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  (
z  e.  S  |->  ( y ( -g `  G
) z ) ) : S --> S )
8941fmpt 5849 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S  <->  ( z  e.  S  |->  ( y (
-g `  G )
z ) ) : S --> S )
9088, 89sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  y  e.  S )  ->  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
)
9190ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( -g `  G ) z )  e.  S )
928, 29issubg4 14916 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  (
y ( -g `  G
) z )  e.  S ) ) )
9310, 92syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  X  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y
( -g `  G ) z )  e.  S
) ) )
946, 17, 91, 93mpbir3and 1137 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
9510adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  G  e.  Grp )
96 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
9796, 49oppginv 15110 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  (oppg
`  G ) ) )
9895, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  (oppg
`  G ) ) )
9998fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( ( inv g `  (oppg `  G ) ) `  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )
100 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  y  e.  X )
1018, 49grpinvinv 14813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  y )
10295, 100, 101syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) )  =  y )
10399, 102eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  (oppg `  G ) ) `  ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  y )
104103oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z ) )
105 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
10648, 96, 105oppgplus 15100 . . . . . 6  |-  ( y ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y )
107104, 106syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  =  ( z ( +g  `  G ) y ) )
1088, 49grpinvcl 14805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
10995, 100, 108syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )
110 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  z  e.  X )
111102oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
112 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S )
113111, 112eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S )
114 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G ~QG  S )  =  ( G ~QG  S )
1158, 49, 48, 114eqgval 14944 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( G ~QG  S ) z  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
11695, 5, 115sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  G ) z )  e.  S ) ) )
117109, 110, 113, 116mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
1188, 11, 7, 1, 114tgpconcompeqg 18094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X )  ->  [ ( ( inv g `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
119109, 118syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
12096oppgtgp 18081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
121120adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
12296, 8oppgbas 15102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
12396, 11oppgid 15107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .0.  =  ( 0g `  (oppg `  G
) )
12496, 7oppgtopn 15104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
125 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  ( (oppg
`  G ) ~QG  S )
126122, 123, 124, 1, 125tgpconcompeqg 18094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  X )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
127121, 109, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S )  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
128119, 127eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  =  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) )
129128eleq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z  e.  [ ( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( G ~QG  S )  <->  z  e.  [
( ( inv g `  G ) `  y
) ] ( (oppg `  G ) ~QG  S ) ) )
130 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
131 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  _V
132130, 131elec 6903 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( inv g `  G
) `  y ) ] ( G ~QG  S )  <-> 
( ( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z )
133130, 131elec 6903 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  [ ( ( inv g `  G
) `  y ) ] ( (oppg `  G
) ~QG 
S )  <->  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z )
134129, 132, 1333bitr3g 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( G ~QG  S ) z  <->  ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( (oppg
`  G ) ~QG  S ) z ) )
135117, 134mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z )
136 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( inv g `  (oppg `  G
) )  =  ( inv g `  (oppg `  G
) )
137122, 136, 105, 125eqgval 14944 . . . . . . . 8  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  (oppg `  G
) ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
138121, 5, 137sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( (oppg `  G
) ~QG 
S ) z  <->  ( (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  (oppg `  G
) ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) ) )
139135, 138mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  (oppg `  G
) ) `  (
( inv g `  G ) `  y
) ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) z )  e.  S
) )
140139simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
( ( inv g `  (oppg
`  G ) ) `
 ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) z )  e.  S )
141107, 140eqeltrrd 2479 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X
)  /\  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )  ->  (
z ( +g  `  G
) y )  e.  S )
142141expr 599 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  ->  ( z
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
143142ralrimivva 2758 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) )
1448, 48isnsg2 14925 . 2  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  ->  ( z ( +g  `  G ) y )  e.  S ) ) )
14594, 143, 144sylanbrc 646 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   [cec 6862   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641   -gcsg 14643  SubGrpcsubg 14893  NrmSGrpcnsg 14894   ~QG cqg 14895  oppgcoppg 15096  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242   Conccon 17427    Homeo chmeo 17738   TopGrpctgp 18054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-tset 13503  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-oppg 15097  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-con 17428  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-tmd 18055  df-tgp 18056
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