Theorem tgpconcomp 19688

Description: The identity component, the connected component containing the identity element, is a closed (concompcld 19043) normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpconcomp.x	|- X = ( Base ` G )
tgpconcomp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tgpconcomp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpconcomp.s	|- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }

Assertion

Ref	Expression
tgpconcomp	|- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, J   x, G   x, X

Allowed substitution hint:   S( x)

Proof of Theorem tgpconcomp

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpconcomp.s	. . . . 5 |- S = U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) }
2		ssrab2 3442	. . . . . 6 |- { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X
3		sspwuni 4261	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ ~P X <-> U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X )
4	2, 3	mpbi 208	. . . . 5 |- U. { x e. ~P X | ( .0. e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } C_ X
5	1, 4	eqsstri 3391	. . . 4 |- S C_ X
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S C_ X )
7		tgpconcomp.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` G )
8		tgpconcomp.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
9	7, 8	tgptopon 19658	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` X ) )
10		tgpgrp 19654	. . . . . 6 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
11		tgpconcomp.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
12	8, 11	grpidcl 15571	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> .0. e. X )
13	10, 12	syl 16	. . . . 5 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. X )
14	1	concompid 19040	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> .0. e. S )
15	9, 13, 14	syl2anc 661	. . . 4 |- ( G e. TopGrp -> .0. e. S )
16		ne0i 3648	. . . 4 |- ( .0. e. S -> S =/= (/) )
17	15, 16	syl 16	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> S =/= (/) )
18		df-ima 4858	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S )
19		resmpt 5161	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ X -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
20	5, 19	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
21	20	rneqi 5071	. . . . . . . 8 |- ran ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) |` S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
22	18, 21	eqtri 2463	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) = ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
23		imassrn 5185	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
24	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> G e. Grp )
25	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> G e. Grp )
26	6	sselda 3361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. X )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> y e. X )
28		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> z e. X )
29		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
30	8, 29	grpsubcl 15611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
31	25, 27, 28, 30	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) e. X )
32		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
33	31, 32	fmptd 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X )
34		frn 5570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : X --> X -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ X )
36	23, 35	syl5ss 3372	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X )
37	8, 11, 29	grpsubid 15615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
38	24, 26, 37	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) = .0. )
39		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> y e. S )
40		ovex 6121	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ( -g ` G ) y ) e. _V
41		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) )
42		oveq2 6104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( -g ` G ) y ) )
43	41, 42	elrnmpt1s 5092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. S /\ ( y ( -g ` G ) y ) e. _V ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
44	39, 40, 43	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( y ( -g ` G ) y ) e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
45	38, 44	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) )
46	45, 22	syl6eleqr 2534	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) )
47		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
48		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
49		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
50	8, 48, 49, 29	grpsubval 15586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. X /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
51	26, 50	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( y ( -g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
52	51	mpteq2dva 4383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
53	8, 49	grpinvcl 15588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
54	24, 53	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
55	8, 49	grpinvf 15587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) : X --> X )
56	10, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) : X --> X )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) : X --> X )
58	57	feqmptd 5749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) = ( z e. X |-> ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
59		eqidd 2444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) )
60		oveq2 6104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( y ( +g ` G ) w ) = ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
61	54, 58, 59, 60	fmptco 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) = ( z e. X |-> ( y ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
62	52, 61	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) = ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) )
63	7, 49	grpinvhmeo 19662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
65		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) = ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) )
66	65, 8, 48, 7	tgplacthmeo 19679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. X ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
67	26, 66	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) )
68		hmeoco 19350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) /\ ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) e. ( J Homeo J ) ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( w e. X |-> ( y ( +g ` G ) w ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
70	62, 69	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) )
71		hmeocn 19338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Homeo J ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) e. ( J Cn J ) )
73		toponuni 18537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
74	9, 73	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. TopGrp -> X = U. J )
75	74	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> X = U. J )
76	5, 75	syl5sseq 3409	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> S C_ U. J )
77	1	concompcon 19041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ .0. e. X ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
78	9, 13, 77	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. TopGrp -> ( J ↾t S ) e. Con )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t S ) e. Con )
80	47, 72, 76, 79	conima 19034	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con )
81	1	concompss 19042	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ X /\ .0. e. ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) /\ ( J ↾t ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) ) e. Con ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
82	36, 46, 80, 81	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( ( z e. X |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) " S ) C_ S )
83	22, 82	syl5eqssr 3406	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
84		ovex 6121	. . . . . . . 8 |- ( y ( -g ` G ) z ) e. _V
85	84, 41	fnmpti 5544	. . . . . . 7 |- ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S
86		df-f 5427	. . . . . . 7 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) Fn S /\ ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S ) )
87	85, 86	mpbiran 909	. . . . . 6 |- ( ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S <-> ran ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) C_ S )
88	83, 87	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
89	41	fmpt 5869	. . . . 5 |- ( A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S <-> ( z e. S |-> ( y ( -g ` G ) z ) ) : S --> S )
90	88, 89	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ y e. S ) -> A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
91	90	ralrimiva 2804	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S )
92	8, 29	issubg4 15705	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
93	10, 92	syl 16	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ A. y e. S A. z e. S ( y ( -g ` G ) z ) e. S ) ) )
94	6, 17, 91, 93	mpbir3and 1171	. 2 |- ( G e. TopGrp -> S e. (SubGrp ` G ) )
95	10	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> G e. Grp )
96		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- (oppg ` G ) = (oppg ` G )
97	96, 49	oppginv 15879	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) = ( invg ` (oppg ` G ) ) )
98	95, 97	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( invg ` G ) = ( invg ` (oppg ` G ) ) )
99	98	fveq1d 5698	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
100		simprll 761	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> y e. X )
101	8, 49	grpinvinv 15598	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
102	95, 100, 101	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
103	99, 102	eqtr3d 2477	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = y )
104	103	oveq1d 6111	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) )
105		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( +g ` (oppg ` G ) ) = ( +g ` (oppg ` G ) )
106	48, 96, 105	oppgplus 15869	. . . . . 6 |- ( y ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y )
107	104, 106	syl6eq 2491	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) = ( z ( +g ` G ) y ) )
108	8, 49	grpinvcl 15588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ y e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
109	95, 100, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. X )
110		simprlr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> z e. X )
111	102	oveq1d 6111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) = ( y ( +g ` G ) z ) )
112		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. S )
113	111, 112	eqeltrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S )
114		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ~QG S ) = ( G ~QG S )
115	8, 49, 48, 114	eqgval 15735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ S C_ X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
116	95, 5, 115	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` G ) z ) e. S ) ) )
117	109, 110, 113, 116	mpbir3and 1171	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
118	8, 11, 7, 1, 114	tgpconcompeqg 19687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
119	109, 118	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
120	96	oppgtgp 19674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
121	120	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> (oppg ` G ) e. TopGrp )
122	96, 8	oppgbas 15871	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( Base ` (oppg ` G ) )
123	96, 11	oppgid 15876	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. = ( 0g ` (oppg ` G ) )
124	96, 7	oppgtopn 15873	. . . . . . . . . . . . 13 |- J = ( TopOpen ` (oppg ` G ) )
125		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (oppg ` G ) ~QG S ) = ( (oppg ` G ) ~QG S )
126	122, 123, 124, 1, 125	tgpconcompeqg 19687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. X ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
127	121, 109, 126	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) = U. { x e. ~P X | ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. x /\ ( J ↾t x ) e. Con ) } )
128	119, 127	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) = [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) )
129	128	eleq2d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) ) )
130		vex 2980	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
131		fvex 5706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( invg ` G ) ` y ) e. _V
132	130, 131	elec 7145	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( G ~QG S ) <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z )
133	130, 131	elec 7145	. . . . . . . . 9 |- ( z e. [ ( ( invg ` G ) ` y ) ] ( (oppg ` G ) ~QG S ) <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
134	129, 132, 133	3bitr3g 287	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( G ~QG S ) z <-> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z ) )
135	117, 134	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z )
136		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` (oppg ` G ) ) = ( invg ` (oppg ` G ) )
137	122, 136, 105, 125	eqgval 15735	. . . . . . . 8 |- ( ( (oppg ` G ) e. TopGrp /\ S C_ X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
138	121, 5, 137	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( (oppg ` G ) ~QG S ) z <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) ) )
139	135, 138	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. X /\ z e. X /\ ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S ) )
140	139	simp3d 1002	. . . . 5 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` (oppg ` G ) ) ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) ( +g ` (oppg ` G ) ) z ) e. S )
141	107, 140	eqeltrrd 2518	. . . 4 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( ( y e. X /\ z e. X ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. S ) ) -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S )
142	141	expr 615	. . 3 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
143	142	ralrimivva 2813	. 2 |- ( G e. TopGrp -> A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) )
144	8, 48	isnsg2 15716	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) e. S -> ( z ( +g ` G ) y ) e. S ) ) )
145	94, 143, 144	sylanbrc 664	1 |- ( G e. TopGrp -> S e. (NrmSGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   ran crn 4846   |` cres 4847   "cima 4848   o. ccom 4849   Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   [cec 7104   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   ↾_t crest 14364   TopOpenctopn 14365   0gc0g 14383   Grpcgrp 15415   invgcminusg 15416   -gcsg 15418  SubGrpcsubg 15680  NrmSGrpcnsg 15681   ~_QG cqg 15682  opp_gcoppg 15865  TopOnctopon 18504   Cn ccn 18833   Conccon 19020   Homeochmeo 19331   TopGrpctgp 19647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-tset 14262  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-topgen 14387  df-mnd 15420  df-plusf 15421  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-oppg 15866  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-con 19021  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-tmd 19648  df-tgp 19649

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