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Theorem tglowdim2ln 24775
Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tglowdim2l.1  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
tglowdim2ln.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tglowdim2ln.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tglowdim2ln.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
tglowdim2ln  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B ) )
Distinct variable groups:    G, c    I, c    P, c    ph, c    A, c    B, c    L, c

Proof of Theorem tglowdim2ln
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . 5  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 tglowdim2l.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
61, 2, 3, 4, 5tglowdim2l 24774 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
76adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
8 simplr3 1074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  P )
9 simpllr 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
10 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  z  e.  ( A L B ) ) )
1110rspcva 3134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
z  e.  ( A L B ) )
128, 9, 11syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  ( A L B ) )
134ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  G  e. TarskiG )
14 simplr1 1072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  e.  P )
15 simplr2 1073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  b  e.  P )
16 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  -.  a  =  b )
1716neqned 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  =/=  b )
18 tglowdim2ln.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1918ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A  e.  P )
20 tglowdim2ln.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
2120ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  B  e.  P )
22 tglowdim2ln.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2322ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A  =/=  B )
241, 2, 3, 13, 19, 21, 23tgelrnln 24754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  ( A L B )  e.  ran  L
)
25 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  a  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  a  e.  ( A L B ) ) )
2625rspcva 3134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
a  e.  ( A L B ) )
2714, 9, 26syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  e.  ( A L B ) )
28 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  b  e.  ( A L B ) ) )
2928rspcva 3134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
b  e.  ( A L B ) )
3015, 9, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  b  e.  ( A L B ) )
311, 2, 3, 13, 14, 15, 17, 17, 24, 27, 30tglinethru 24760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  ( A L B )  =  ( a L b ) )
3212, 31eleqtrd 2551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  ( a L b ) )
3332ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( -.  a  =  b  ->  z  e.  ( a L b ) ) )
3433orrd 385 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( a  =  b  \/  z  e.  ( a L b ) ) )
3534orcomd 395 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
3635ralrimivvva 2815 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
37 dfral2 2835 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
3837ralbii 2823 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  A. b  e.  P  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
39 ralnex 2834 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  P  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4038, 39bitri 257 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4140ralbii 2823 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  A. a  e.  P  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
42 ralnex 2834 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  P  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4341, 42bitri 257 . . . 4  |-  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4436, 43sylib 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
457, 44pm2.65da 586 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
46 rexnal 2836 . 2  |-  ( E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B )  <->  -.  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
4745, 46sylibr 217 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   2c2 10681   Basecbs 15199  TarskiGcstrkg 24557  DimTarskiGcstrkgld 24561  Itvcitv 24563  LineGclng 24564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkgld 24579  df-trkg 24580  df-cgrg 24635
This theorem is referenced by:  colperpex  24854  cgrg3col4  24963
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