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Theorem tglowdim2ln 23773
Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tglowdim2l.1  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
tglowdim2ln.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tglowdim2ln.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tglowdim2ln.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
tglowdim2ln  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B ) )
Distinct variable groups:    G, c    I, c    P, c    ph, c    A, c    B, c    L, c

Proof of Theorem tglowdim2ln
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . 5  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 tglowdim2l.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
61, 2, 3, 4, 5tglowdim2l 23772 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
8 simplr3 1040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  P )
9 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
10 eleq1 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  z  e.  ( A L B ) ) )
1110rspcva 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
z  e.  ( A L B ) )
128, 9, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  ( A L B ) )
134ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  G  e. TarskiG )
14 simplr1 1038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  e.  P )
15 simplr2 1039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  b  e.  P )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  -.  a  =  b )
1716neqned 2670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  =/=  b )
18 tglowdim2ln.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1918ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A  e.  P )
20 tglowdim2ln.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
2120ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  B  e.  P )
22 tglowdim2ln.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2322ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A  =/=  B )
241, 2, 3, 13, 19, 21, 23tgelrnln 23752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  ( A L B )  e.  ran  L
)
25 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  a  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  a  e.  ( A L B ) ) )
2625rspcva 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
a  e.  ( A L B ) )
2714, 9, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  e.  ( A L B ) )
28 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  b  e.  ( A L B ) ) )
2928rspcva 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
b  e.  ( A L B ) )
3015, 9, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  b  e.  ( A L B ) )
311, 2, 3, 13, 14, 15, 17, 17, 24, 27, 30tglinethru 23758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  ( A L B )  =  ( a L b ) )
3212, 31eleqtrd 2557 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  ( a L b ) )
3332ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( -.  a  =  b  ->  z  e.  ( a L b ) ) )
3433orrd 378 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( a  =  b  \/  z  e.  ( a L b ) ) )
3534orcomd 388 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
3635ralrimivvva 2886 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
37 dfral2 2911 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
3837ralbii 2895 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  A. b  e.  P  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
39 ralnex 2910 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  P  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4038, 39bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4140ralbii 2895 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  A. a  e.  P  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
42 ralnex 2910 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  P  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4341, 42bitri 249 . . . 4  |-  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4436, 43sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
457, 44pm2.65da 576 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
46 rexnal 2912 . 2  |-  ( E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B )  <->  -.  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
4745, 46sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   2c2 10585   Basecbs 14490  TarskiGcstrkg 23581  DimTarskiGcstrkgld 23585  Itvcitv 23588  LineGclng 23589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-word 12508  df-concat 12510  df-s1 12511  df-s2 12776  df-s3 12777  df-trkgc 23600  df-trkgb 23601  df-trkgcb 23602  df-trkgld 23604  df-trkg 23606  df-cgrg 23659
This theorem is referenced by:  colperpex  23840
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