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Theorem tglowdim2ln 24010
Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tglowdim2l.1  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
tglowdim2ln.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tglowdim2ln.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tglowdim2ln.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
tglowdim2ln  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B ) )
Distinct variable groups:    G, c    I, c    P, c    ph, c    A, c    B, c    L, c

Proof of Theorem tglowdim2ln
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . 5  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 tglowdim2l.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
61, 2, 3, 4, 5tglowdim2l 24009 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
8 simplr3 1041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  P )
9 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
10 eleq1 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  z  e.  ( A L B ) ) )
1110rspcva 3194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
z  e.  ( A L B ) )
128, 9, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  ( A L B ) )
134ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  G  e. TarskiG )
14 simplr1 1039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  e.  P )
15 simplr2 1040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  b  e.  P )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  -.  a  =  b )
1716neqned 2646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  =/=  b )
18 tglowdim2ln.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1918ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A  e.  P )
20 tglowdim2ln.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
2120ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  B  e.  P )
22 tglowdim2ln.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2322ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A  =/=  B )
241, 2, 3, 13, 19, 21, 23tgelrnln 23988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  ( A L B )  e.  ran  L
)
25 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  a  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  a  e.  ( A L B ) ) )
2625rspcva 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
a  e.  ( A L B ) )
2714, 9, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  e.  ( A L B ) )
28 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  b  e.  ( A L B ) ) )
2928rspcva 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
b  e.  ( A L B ) )
3015, 9, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  b  e.  ( A L B ) )
311, 2, 3, 13, 14, 15, 17, 17, 24, 27, 30tglinethru 23994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  ( A L B )  =  ( a L b ) )
3212, 31eleqtrd 2533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  ( a L b ) )
3332ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( -.  a  =  b  ->  z  e.  ( a L b ) ) )
3433orrd 378 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( a  =  b  \/  z  e.  ( a L b ) ) )
3534orcomd 388 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
3635ralrimivvva 2865 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
37 dfral2 2890 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
3837ralbii 2874 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  A. b  e.  P  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
39 ralnex 2889 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  P  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4038, 39bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4140ralbii 2874 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  A. a  e.  P  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
42 ralnex 2889 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  P  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4341, 42bitri 249 . . . 4  |-  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4436, 43sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
457, 44pm2.65da 576 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
46 rexnal 2891 . 2  |-  ( E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B )  <->  -.  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
4745, 46sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   2c2 10592   Basecbs 14614  TarskiGcstrkg 23803  DimTarskiGcstrkgld 23807  Itvcitv 23810  LineGclng 23811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-hash 12388  df-word 12524  df-concat 12526  df-s1 12527  df-s2 12795  df-s3 12796  df-trkgc 23822  df-trkgb 23823  df-trkgcb 23824  df-trkgld 23826  df-trkg 23828  df-cgrg 23881
This theorem is referenced by:  colperpex  24085
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