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Theorem tglowdim2ln 24417
Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tglowdim2l.1  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
tglowdim2ln.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tglowdim2ln.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tglowdim2ln.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
tglowdim2ln  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B ) )
Distinct variable groups:    G, c    I, c    P, c    ph, c    A, c    B, c    L, c

Proof of Theorem tglowdim2ln
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . 5  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 tglowdim2l.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  GDimTarskiG 2 )
61, 2, 3, 4, 5tglowdim2l 24416 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
76adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
8 simplr3 1041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  P )
9 simpllr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
10 eleq1 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  z  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  z  e.  ( A L B ) ) )
1110rspcva 3158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
z  e.  ( A L B ) )
128, 9, 11syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  ( A L B ) )
134ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  G  e. TarskiG )
14 simplr1 1039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  e.  P )
15 simplr2 1040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  b  e.  P )
16 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  -.  a  =  b )
1716neqned 2606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  =/=  b )
18 tglowdim2ln.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1918ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A  e.  P )
20 tglowdim2ln.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
2120ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  B  e.  P )
22 tglowdim2ln.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2322ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  A  =/=  B )
241, 2, 3, 13, 19, 21, 23tgelrnln 24395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  ( A L B )  e.  ran  L
)
25 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  a  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  a  e.  ( A L B ) ) )
2625rspcva 3158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
a  e.  ( A L B ) )
2714, 9, 26syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  a  e.  ( A L B ) )
28 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
c  e.  ( A L B )  <->  b  e.  ( A L B ) ) )
2928rspcva 3158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  P  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  -> 
b  e.  ( A L B ) )
3015, 9, 29syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  b  e.  ( A L B ) )
311, 2, 3, 13, 14, 15, 17, 17, 24, 27, 30tglinethru 24401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  ( A L B )  =  ( a L b ) )
3212, 31eleqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P
) )  /\  -.  a  =  b )  ->  z  e.  ( a L b ) )
3332ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( -.  a  =  b  ->  z  e.  ( a L b ) ) )
3433orrd 376 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( a  =  b  \/  z  e.  ( a L b ) ) )
3534orcomd 386 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  /\  (
a  e.  P  /\  b  e.  P  /\  z  e.  P )
)  ->  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
3635ralrimivvva 2826 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
37 dfral2 2851 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
3837ralbii 2835 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  A. b  e.  P  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
39 ralnex 2850 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  P  -.  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4038, 39bitri 249 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4140ralbii 2835 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  A. a  e.  P  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
42 ralnex 2850 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  P  -.  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4341, 42bitri 249 . . . 4  |-  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. z  e.  P  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b )  <->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  ( z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
4436, 43sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )  ->  -.  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. z  e.  P  -.  (
z  e.  ( a L b )  \/  a  =  b ) )
457, 44pm2.65da 574 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
46 rexnal 2852 . 2  |-  ( E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B )  <->  -.  A. c  e.  P  c  e.  ( A L B ) )
4745, 46sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  P  -.  c  e.  ( A L B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   2c2 10626   Basecbs 14841  TarskiGcstrkg 24206  DimTarskiGcstrkgld 24210  Itvcitv 24212  LineGclng 24213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-s2 12869  df-s3 12870  df-trkgc 24224  df-trkgb 24225  df-trkgcb 24226  df-trkgld 24228  df-trkg 24229  df-cgrg 24284
This theorem is referenced by:  colperpex  24493
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