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Theorem tglnunirn 23760
Description: Lines are sets of points (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglng.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglng.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglng.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
tglnunirn  |-  ( G  e. TarskiG  ->  U. ran  L  C_  P )

Proof of Theorem tglnunirn
Dummy variables  p  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglng.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglng.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LineG `  G )
3 tglng.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
41, 2, 3tglng 23758 . . . . . . 7  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  =  ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
54rneqd 5230 . . . . . 6  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ran  L  =  ran  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
65eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( p  e. 
ran  L  <->  p  e.  ran  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) ) )
76biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  p  e.  ran  L )  ->  p  e.  ran  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  {
x } )  |->  { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
9 fvex 5876 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
101, 9eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  P  e. 
_V
1110rabex 4598 . . . . . 6  |-  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V
128, 11elrnmpt2 6400 . . . . 5  |-  ( p  e.  ran  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  ( P  \  { x }
) p  =  {
z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
13 ssrab2 3585 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  C_  P
14 sseq1 3525 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  ->  ( p  C_  P  <->  { z  e.  P  |  (
z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  C_  P )
)
1513, 14mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( p  =  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  ->  p 
C_  P )
1615rexlimivw 2952 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ( P 
\  { x }
) p  =  {
z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  ->  p  C_  P )
1716rexlimivw 2952 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  P  E. y  e.  ( P  \  { x } ) p  =  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  ->  p  C_  P
)
1812, 17sylbi 195 . . . 4  |-  ( p  e.  ran  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  ->  p  C_  P
)
197, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e. TarskiG  /\  p  e.  ran  L )  ->  p  C_  P )
2019ralrimiva 2878 . 2  |-  ( G  e. TarskiG  ->  A. p  e.  ran  L  p  C_  P )
21 unissb 4277 . 2  |-  ( U. ran  L  C_  P  <->  A. p  e.  ran  L  p  C_  P )
2220, 21sylibr 212 1  |-  ( G  e. TarskiG  ->  U. ran  L  C_  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   Basecbs 14493  TarskiGcstrkg 23650  Itvcitv 23657  LineGclng 23658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-trkg 23675
This theorem is referenced by:  tglnpt  23761  tglineintmo  23832
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