MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglnfn Structured version   Unicode version

Theorem tglnfn 24584
Description: Lines as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglng.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglng.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglng.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
tglnfn  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  Fn  (
( P  X.  P
)  \  _I  )
)

Proof of Theorem tglnfn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglng.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2507 . . . . . . 7  |-  P  e. 
_V
43rabex 4573 . . . . . 6  |-  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V
54rgen2w 2788 . . . . 5  |-  A. x  e.  P  A. y  e.  ( P  \  {
x } ) { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V
6 eqid 2423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  {
x } )  |->  { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
76fmpt2x 6871 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  P  A. y  e.  ( P  \  { x } ) { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V 
<->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) : U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) --> _V )
85, 7mpbi 212 . . . 4  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) : U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) --> _V
9 ffn 5744 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) : U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) --> _V  ->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) )
11 xpdifid 5282 . . . 4  |-  U_ x  e.  P  ( {
x }  X.  ( P  \  { x }
) )  =  ( ( P  X.  P
)  \  _I  )
1211fneq2i 5687 . . 3  |-  ( ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) )  <->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  {
x } )  |->  { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  ) )
1310, 12mpbi 212 . 2  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  )
14 tglng.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
15 tglng.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
161, 14, 15tglng 24583 . . 3  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  =  ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
1716fneq1d 5682 . 2  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( L  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  ) 
<->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  ) ) )
1813, 17mpbiri 237 1  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  Fn  (
( P  X.  P
)  \  _I  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 982    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434   {csn 3997   U_ciun 4297    _I cid 4761    X. cxp 4849    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   Basecbs 15114  TarskiGcstrkg 24470  Itvcitv 24476  LineGclng 24477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-trkg 24493
This theorem is referenced by:  tglngne  24587  tgelrnln  24667
  Copyright terms: Public domain W3C validator