MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglnfn Structured version   Unicode version

Theorem tglnfn 24075
Description: Lines as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglng.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglng.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglng.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
tglnfn  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  Fn  (
( P  X.  P
)  \  _I  )
)

Proof of Theorem tglnfn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglng.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 fvex 5797 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2476 . . . . . . 7  |-  P  e. 
_V
43rabex 4529 . . . . . 6  |-  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V
54rgen2w 2754 . . . . 5  |-  A. x  e.  P  A. y  e.  ( P  \  {
x } ) { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V
6 eqid 2392 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  {
x } )  |->  { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
76fmpt2x 6783 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  P  A. y  e.  ( P  \  { x } ) { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V 
<->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) : U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) --> _V )
85, 7mpbi 208 . . . 4  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) : U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) --> _V
9 ffn 5652 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) : U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) --> _V  ->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) )
11 xpdifid 5358 . . . 4  |-  U_ x  e.  P  ( {
x }  X.  ( P  \  { x }
) )  =  ( ( P  X.  P
)  \  _I  )
1211fneq2i 5597 . . 3  |-  ( ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) )  <->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  {
x } )  |->  { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  ) )
1310, 12mpbi 208 . 2  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  )
14 tglng.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
15 tglng.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
161, 14, 15tglng 24074 . . 3  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  =  ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
1716fneq1d 5592 . 2  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( L  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  ) 
<->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  ) ) )
1813, 17mpbiri 233 1  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  Fn  (
( P  X.  P
)  \  _I  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 970    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2742   {crab 2746   _Vcvv 3047    \ cdif 3399   {csn 3957   U_ciun 4256    _I cid 4717    X. cxp 4924    Fn wfn 5504   -->wf 5505   ` cfv 5509  (class class class)co 6214    |-> cmpt2 6216   Basecbs 14653  TarskiGcstrkg 23961  Itvcitv 23968  LineGclng 23969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-ral 2747  df-rex 2748  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-nul 3725  df-if 3871  df-sn 3958  df-pr 3960  df-op 3964  df-uni 4177  df-iun 4258  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-id 4722  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-fv 5517  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-trkg 23986
This theorem is referenced by:  tglngne  24078  tgelrnln  24151
  Copyright terms: Public domain W3C validator