MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglnfn Structured version   Unicode version

Theorem tglnfn 23102
Description: Lines as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglng.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglng.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglng.i  |-  I  =  (Itv `  G )
Assertion
Ref Expression
tglnfn  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  Fn  (
( P  X.  P
)  \  _I  )
)

Proof of Theorem tglnfn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglng.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 fvex 5801 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2535 . . . . . . 7  |-  P  e. 
_V
43rabex 4543 . . . . . 6  |-  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V
54rgen2w 2894 . . . . 5  |-  A. x  e.  P  A. y  e.  ( P  \  {
x } ) { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V
6 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  =  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  {
x } )  |->  { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )
76fmpt2x 6742 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  P  A. y  e.  ( P  \  { x } ) { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) }  e.  _V 
<->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) : U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) --> _V )
85, 7mpbi 208 . . . 4  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) : U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) --> _V
9 ffn 5659 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) : U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) --> _V  ->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . 3  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) )
11 xpdifid 5366 . . . 4  |-  U_ x  e.  P  ( {
x }  X.  ( P  \  { x }
) )  =  ( ( P  X.  P
)  \  _I  )
1211fneq2i 5606 . . 3  |-  ( ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  U_ x  e.  P  ( { x }  X.  ( P  \  { x } ) )  <->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  {
x } )  |->  { z  e.  P  | 
( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  ) )
1310, 12mpbi 208 . 2  |-  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x } ) 
|->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  )
14 tglng.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
15 tglng.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
161, 14, 15tglng 23101 . . 3  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  =  ( x  e.  P , 
y  e.  ( P 
\  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } ) )
1716fneq1d 5601 . 2  |-  ( G  e. TarskiG  ->  ( L  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  ) 
<->  ( x  e.  P ,  y  e.  ( P  \  { x }
)  |->  { z  e.  P  |  ( z  e.  ( x I y )  \/  x  e.  ( z I y )  \/  y  e.  ( x I z ) ) } )  Fn  ( ( P  X.  P )  \  _I  ) ) )
1813, 17mpbiri 233 1  |-  ( G  e. TarskiG  ->  L  Fn  (
( P  X.  P
)  \  _I  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799   _Vcvv 3070    \ cdif 3425   {csn 3977   U_ciun 4271    _I cid 4731    X. cxp 4938    Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   Basecbs 14278  TarskiGcstrkg 23007  Itvcitv 23014  LineGclng 23015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-trkg 23032
This theorem is referenced by:  tglngne  23105  tgelrnln  23160  tghilbert1_1  23167
  Copyright terms: Public domain W3C validator