MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineintmo Structured version   Unicode version

Theorem tglineintmo 24664
Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tglineintmo.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  L
)
tglineintmo.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ran  L
)
tglineintmo.c  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
tglineintmo  |-  ( ph  ->  E* x ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    P( x)    G( x)    I( x)    L( x)

Proof of Theorem tglineintmo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  G  e. TarskiG )
6 tglineintmo.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  L
)
7 elssuni 4242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ran  L  ->  A  C_  U. ran  L
)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  L
)
91, 3, 2tglnunirn 24570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. TarskiG  ->  U. ran  L  C_  P )
104, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  L  C_  P )
118, 10sstrd 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  P )
1211ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  C_  P
)
13 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
1413simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  A )
1512, 14sseldd 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  P )
16 simplrr 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1716simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  y  e.  A )
1812, 17sseldd 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  y  e.  P )
19 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  =/=  y )
206ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  e.  ran  L )
211, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 20, 14, 17tglinethru 24658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  =  ( x L y ) )
22 tglineintmo.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ran  L
)
2322ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  B  e.  ran  L )
2413simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  B )
2516simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  y  e.  B )
261, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 23, 24, 25tglinethru 24658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  B  =  ( x L y ) )
2721, 26eqtr4d 2464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  =  B )
28 tglineintmo.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2928ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  =/=  B )
3029neneqd 2623 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  -.  A  =  B )
3127, 30pm2.65da 578 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )  ->  -.  x  =/=  y
)
32 nne 2622 . . . . 5  |-  ( -.  x  =/=  y  <->  x  =  y )
3331, 32sylib 199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )  ->  x  =  y )
3433ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  =  y ) )
3534alrimivv 1764 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  =  y ) )
36 eleq1 2492 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
37 eleq1 2492 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
3836, 37anbi12d 715 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
3938mo4 2311 . 2  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  <->  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  x  =  y ) )
4035, 39sylibr 215 1  |-  ( ph  ->  E* x ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1867   E*wmo 2264    =/= wne 2616    C_ wss 3433   U.cuni 4213   ran crn 4847   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   Basecbs 15099  TarskiGcstrkg 24455  Itvcitv 24461  LineGclng 24462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8370  df-cda 8594  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-hash 12509  df-word 12647  df-concat 12649  df-s1 12650  df-s2 12925  df-s3 12926  df-trkgc 24473  df-trkgb 24474  df-trkgcb 24475  df-trkg 24478  df-cgrg 24533
This theorem is referenced by:  tglineineq  24665  tglineinteq  24667
  Copyright terms: Public domain W3C validator