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Theorem tglineintmo 24766
Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tglineintmo.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  L
)
tglineintmo.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ran  L
)
tglineintmo.c  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
tglineintmo  |-  ( ph  ->  E* x ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    P( x)    G( x)    I( x)    L( x)

Proof of Theorem tglineintmo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  G  e. TarskiG )
6 tglineintmo.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  L
)
7 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ran  L  ->  A  C_  U. ran  L
)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  L
)
91, 3, 2tglnunirn 24672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. TarskiG  ->  U. ran  L  C_  P )
104, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  L  C_  P )
118, 10sstrd 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  P )
1211ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  C_  P
)
13 simplrl 778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
1413simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  A )
1512, 14sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  P )
16 simplrr 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1716simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  y  e.  A )
1812, 17sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  y  e.  P )
19 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  =/=  y )
206ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  e.  ran  L )
211, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 20, 14, 17tglinethru 24760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  =  ( x L y ) )
22 tglineintmo.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ran  L
)
2322ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  B  e.  ran  L )
2413simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  B )
2516simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  y  e.  B )
261, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 23, 24, 25tglinethru 24760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  B  =  ( x L y ) )
2721, 26eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  =  B )
28 tglineintmo.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2928ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  =/=  B )
3029neneqd 2648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  -.  A  =  B )
3127, 30pm2.65da 586 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )  ->  -.  x  =/=  y
)
32 nne 2647 . . . . 5  |-  ( -.  x  =/=  y  <->  x  =  y )
3331, 32sylib 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )  ->  x  =  y )
3433ex 441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  =  y ) )
3534alrimivv 1782 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  =  y ) )
36 eleq1 2537 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
37 eleq1 2537 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
3836, 37anbi12d 725 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
3938mo4 2366 . 2  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  <->  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  x  =  y ) )
4035, 39sylibr 217 1  |-  ( ph  ->  E* x ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   E*wmo 2320    =/= wne 2641    C_ wss 3390   U.cuni 4190   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  LineGclng 24564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkg 24580  df-cgrg 24635
This theorem is referenced by:  tglineineq  24767  tglineinteq  24769
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