MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineintmo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tglineintmo 24687
Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tglineintmo.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tglineintmo.l  |-  L  =  (LineG `  G )
tglineintmo.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tglineintmo.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  L
)
tglineintmo.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ran  L
)
tglineintmo.c  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
tglineintmo  |-  ( ph  ->  E* x ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    P( x)    G( x)    I( x)    L( x)

Proof of Theorem tglineintmo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (LineG `  G )
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  G  e. TarskiG )
6 tglineintmo.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ran  L
)
7 elssuni 4227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ran  L  ->  A  C_  U. ran  L
)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  L
)
91, 3, 2tglnunirn 24593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e. TarskiG  ->  U. ran  L  C_  P )
104, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  L  C_  P )
118, 10sstrd 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  P )
1211ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  C_  P
)
13 simplrl 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
1413simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  A )
1512, 14sseldd 3433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  P )
16 simplrr 771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
1716simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  y  e.  A )
1812, 17sseldd 3433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  y  e.  P )
19 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  =/=  y )
206ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  e.  ran  L )
211, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 20, 14, 17tglinethru 24681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  =  ( x L y ) )
22 tglineintmo.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ran  L
)
2322ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  B  e.  ran  L )
2413simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  B )
2516simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  y  e.  B )
261, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 23, 24, 25tglinethru 24681 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  B  =  ( x L y ) )
2721, 26eqtr4d 2488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  =  B )
28 tglineintmo.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2928ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  A  =/=  B )
3029neneqd 2629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )  /\  x  =/=  y
)  ->  -.  A  =  B )
3127, 30pm2.65da 580 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )  ->  -.  x  =/=  y
)
32 nne 2628 . . . . 5  |-  ( -.  x  =/=  y  <->  x  =  y )
3331, 32sylib 200 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )  ->  x  =  y )
3433ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  =  y ) )
3534alrimivv 1774 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  (
y  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  =  y ) )
36 eleq1 2517 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
37 eleq1 2517 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
3836, 37anbi12d 717 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) ) )
3938mo4 2346 . 2  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  <->  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  B )  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  x  =  y ) )
4035, 39sylibr 216 1  |-  ( ph  ->  E* x ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887   E*wmo 2300    =/= wne 2622    C_ wss 3404   U.cuni 4198   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  LineGclng 24485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556
This theorem is referenced by:  tglineineq  24688  tglineinteq  24690
  Copyright terms: Public domain W3C validator