MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgldim0eq Structured version   Unicode version

Theorem tgldim0eq 22954
Description: In dimension zero, any two points are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgldim0.g  |-  P  =  ( E `  F
)
tgldim0.p  |-  ( ph  ->  ( # `  P
)  =  1 )
tgldim0.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgldim0.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
Assertion
Ref Expression
tgldim0eq  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem tgldim0eq
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1673 . . . 4  |-  F/ x ph
2 tgldim0.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
32adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  =  { x } )  ->  A  e.  P
)
4 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  =  { x } )  ->  P  =  {
x } )
53, 4eleqtrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  =  { x } )  ->  A  e.  {
x } )
6 elsni 3900 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { x }  ->  A  =  x )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  =  { x } )  ->  A  =  x )
8 tgldim0.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  P  =  { x } )  ->  B  e.  P
)
109, 4eleqtrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  =  { x } )  ->  B  e.  {
x } )
11 elsni 3900 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { x }  ->  B  =  x )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  =  { x } )  ->  B  =  x )
137, 12eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  =  { x } )  ->  A  =  B )
1413ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  =  {
x }  ->  A  =  B ) )
151, 14alrimi 1811 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x ( P  =  { x }  ->  A  =  B ) )
16 tgldim0.p . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  P
)  =  1 )
17 tgldim0.g . . . . . 6  |-  P  =  ( E `  F
)
18 fvex 5699 . . . . . 6  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
1917, 18eqeltri 2511 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
20 hash1snb 12169 . . . . 5  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  =  1  <->  E. x  P  =  { x } ) )
2119, 20ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
# `  P )  =  1  <->  E. x  P  =  { x } )
2216, 21sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  P  =  { x } )
23 19.29 1650 . . 3  |-  ( ( A. x ( P  =  { x }  ->  A  =  B )  /\  E. x  P  =  { x }
)  ->  E. x
( ( P  =  { x }  ->  A  =  B )  /\  P  =  { x } ) )
2415, 22, 23syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( ( P  =  { x }  ->  A  =  B )  /\  P  =  { x } ) )
25 pm3.35 587 . . . 4  |-  ( ( P  =  { x }  /\  ( P  =  { x }  ->  A  =  B ) )  ->  A  =  B )
2625ancoms 453 . . 3  |-  ( ( ( P  =  {
x }  ->  A  =  B )  /\  P  =  { x } )  ->  A  =  B )
2726exlimiv 1688 . 2  |-  ( E. x ( ( P  =  { x }  ->  A  =  B )  /\  P  =  {
x } )  ->  A  =  B )
2824, 27syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   _Vcvv 2970   {csn 3875   ` cfv 5416   1c1 9281   #chash 12101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-hash 12102
This theorem is referenced by:  tgldim0itv  22955  tgldim0cgr  22956  tglndim0  23033
  Copyright terms: Public domain W3C validator