Theorem tgioolem 9192

Description: Lemma for tgioo 9193. An open interval includes a ball around any of its points. Warning: The HTML proof page is 0.6MB in size.

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	|- D = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))

Assertion

Ref	Expression
tgioolem	|- ((t e. RR* /\ s e. RR*) -> (v e. (t(,)s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))

Distinct variable group:   t,s,u,v,D

Proof of Theorem tgioolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo2 7546	. 2 |- ((t e. RR* /\ s e. RR*) -> (v e. (t(,)s) <-> (v e. RR /\ t < v /\ v < s)))
2		resubcl 6601	. . . . . . . . . 10 |- ((v e. RR /\ t e. RR) -> (v - t) e. RR)
3	2	ancoms 484	. . . . . . . . 9 |- ((t e. RR /\ v e. RR) -> (v - t) e. RR)
4	3	ad2ant2r 445	. . . . . . . 8 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (v - t) e. RR)
5	4	3adantr3 1037	. . . . . . 7 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (v - t) e. RR)
6		resubcl 6601	. . . . . . . . 9 |- ((s e. RR /\ v e. RR) -> (s - v) e. RR)
7	6	ad2ant2lr 446	. . . . . . . 8 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (s - v) e. RR)
8	7	3adantr3 1037	. . . . . . 7 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (s - v) e. RR)
9	5	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> (v - t) e. RR)
10		posdif 6843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t e. RR /\ v e. RR) -> (t < v <-> 0 < (v - t)))
11	10	biimp3a 1194	. . . . . . . . . . . 12 |- ((t e. RR /\ v e. RR /\ t < v) -> 0 < (v - t))
12	11	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ((t e. RR /\ (v e. RR /\ t < v)) -> 0 < (v - t))
13	12	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> 0 < (v - t))
14	13	3adantr3 1037	. . . . . . . . 9 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> 0 < (v - t))
15	14	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> 0 < (v - t))
16		simp2 877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((t e. RR /\ v e. RR /\ t < v) -> v e. RR)
17	3	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((t e. RR /\ v e. RR /\ t < v) -> (v - t) e. RR)
18		remet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D = ((abs o. - ) |` (RR X. RR))
19	18	bl2ioo 9189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. RR /\ (v - t) e. RR /\ 0 < (v - t)) -> (v( ball ` D)(v - t)) = ((v - (v - t))(,)(v + (v - t))))
20	16, 17, 11, 19	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((t e. RR /\ v e. RR /\ t < v) -> (v( ball ` D)(v - t)) = ((v - (v - t))(,)(v + (v - t))))
21		nncan 6635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((v e. CC /\ t e. CC) -> (v - (v - t)) = t)
22		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v e. RR -> v e. CC)
23		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t e. RR -> t e. CC)
24	21, 22, 23	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v e. RR /\ t e. RR) -> (v - (v - t)) = t)
25	24	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((t e. RR /\ v e. RR) -> (v - (v - t)) = t)
26	25	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((t e. RR /\ v e. RR /\ t < v) -> (v - (v - t)) = t)
27	26	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((t e. RR /\ v e. RR /\ t < v) -> ((v - (v - t))(,)(v + (v - t))) = (t(,)(v + (v - t))))
28	20, 27	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t e. RR /\ v e. RR /\ t < v) -> (v( ball ` D)(v - t)) = (t(,)(v + (v - t))))
29	28	3expb 1068	. . . . . . . . . . . 12 |- ((t e. RR /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (v( ball ` D)(v - t)) = (t(,)(v + (v - t))))
30	29	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (v( ball ` D)(v - t)) = (t(,)(v + (v - t))))
31	30	3adantr3 1037	. . . . . . . . . 10 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (v( ball ` D)(v - t)) = (t(,)(v + (v - t))))
32	31	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> (v( ball ` D)(v - t)) = (t(,)(v + (v - t))))
33		simplll 452	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> t e. RR)
34		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((t e. RR /\ v e. RR) -> v e. RR)
35		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. RR /\ (v - t) e. RR) -> (v + (v - t)) e. RR)
36	34, 3, 35	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((t e. RR /\ v e. RR) -> (v + (v - t)) e. RR)
37	36	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (v + (v - t)) e. RR)
38	37	3adantr3 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (v + (v - t)) e. RR)
39	38	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> (v + (v - t)) e. RR)
40		simpllr 453	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> s e. RR)
41	33, 39, 40	3jca 1050	. . . . . . . . . 10 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> (t e. RR /\ (v + (v - t)) e. RR /\ s e. RR))
42		simpr 350	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ v e. RR) -> v e. RR)
43	3	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ v e. RR) -> (v - t) e. RR)
44		simplr 449	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ v e. RR) -> s e. RR)
45		leaddsub2 6817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((v e. RR /\ (v - t) e. RR /\ s e. RR) -> ((v + (v - t)) <_ s <-> (v - t) <_ (s - v)))
46	42, 43, 44, 45	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ v e. RR) -> ((v + (v - t)) <_ s <-> (v - t) <_ (s - v)))
47	46	3ad2antr1 1041	. . . . . . . . . . 11 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> ((v + (v - t)) <_ s <-> (v - t) <_ (s - v)))
48	47	biimpar 461	. . . . . . . . . 10 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> (v + (v - t)) <_ s)
49		iooss2 7541	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t e. RR* /\ (v + (v - t)) e. RR* /\ s e. RR*) /\ (v + (v - t)) <_ s) -> (t(,)(v + (v - t))) C_ (t(,)s))
50	49	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((t e. RR* /\ (v + (v - t)) e. RR* /\ s e. RR*) -> ((v + (v - t)) <_ s -> (t(,)(v + (v - t))) C_ (t(,)s)))
51		rexr 6668	. . . . . . . . . . 11 |- (t e. RR -> t e. RR*)
52		rexr 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ((v + (v - t)) e. RR -> (v + (v - t)) e. RR*)
53		rexr 6668	. . . . . . . . . . 11 |- (s e. RR -> s e. RR*)
54	50, 51, 52, 53	syl3an 1139	. . . . . . . . . 10 |- ((t e. RR /\ (v + (v - t)) e. RR /\ s e. RR) -> ((v + (v - t)) <_ s -> (t(,)(v + (v - t))) C_ (t(,)s)))
55	41, 48, 54	sylc 83	. . . . . . . . 9 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> (t(,)(v + (v - t))) C_ (t(,)s))
56	32, 55	eqsstrd 2651	. . . . . . . 8 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> (v( ball ` D)(v - t)) C_ (t(,)s))
57		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (u = (v - t) -> (0 < u <-> 0 < (v - t)))
58		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (u = (v - t) -> (v( ball ` D)u) = (v( ball ` D)(v - t)))
59	58	sseq1d 2644	. . . . . . . . . 10 |- (u = (v - t) -> ((v( ball ` D)u) C_ (t(,)s) <-> (v( ball ` D)(v - t)) C_ (t(,)s)))
60	57, 59	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (u = (v - t) -> ((0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)) <-> (0 < (v - t) /\ (v( ball ` D)(v - t)) C_ (t(,)s))))
61	60	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- (((v - t) e. RR /\ (0 < (v - t) /\ (v( ball ` D)(v - t)) C_ (t(,)s))) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
62	9, 15, 56, 61	syl12anc 1098	. . . . . . 7 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (v - t) <_ (s - v)) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
63	8	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> (s - v) e. RR)
64		posdif 6843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. RR /\ s e. RR) -> (v < s <-> 0 < (s - v)))
65	64	biimp3a 1194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((v e. RR /\ s e. RR /\ v < s) -> 0 < (s - v))
66	65	3com12 1071	. . . . . . . . . . . 12 |- ((s e. RR /\ v e. RR /\ v < s) -> 0 < (s - v))
67	66	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ((s e. RR /\ (v e. RR /\ v < s)) -> 0 < (s - v))
68	67	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ v < s)) -> 0 < (s - v))
69	68	3adantr2 1036	. . . . . . . . 9 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> 0 < (s - v))
70	69	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> 0 < (s - v))
71		simp2 877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((s e. RR /\ v e. RR /\ v < s) -> v e. RR)
72	6	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((s e. RR /\ v e. RR /\ v < s) -> (s - v) e. RR)
73	18	bl2ioo 9189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. RR /\ (s - v) e. RR /\ 0 < (s - v)) -> (v( ball ` D)(s - v)) = ((v - (s - v))(,)(v + (s - v))))
74	71, 72, 66, 73	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((s e. RR /\ v e. RR /\ v < s) -> (v( ball ` D)(s - v)) = ((v - (s - v))(,)(v + (s - v))))
75		pncan3 6534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((v e. CC /\ s e. CC) -> (v + (s - v)) = s)
76		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (s e. RR -> s e. CC)
77	75, 22, 76	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v e. RR /\ s e. RR) -> (v + (s - v)) = s)
78	77	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((s e. RR /\ v e. RR) -> (v + (s - v)) = s)
79	78	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((s e. RR /\ v e. RR /\ v < s) -> (v + (s - v)) = s)
80	79	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((s e. RR /\ v e. RR /\ v < s) -> ((v - (s - v))(,)(v + (s - v))) = ((v - (s - v))(,)s))
81	74, 80	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((s e. RR /\ v e. RR /\ v < s) -> (v( ball ` D)(s - v)) = ((v - (s - v))(,)s))
82	81	3expb 1068	. . . . . . . . . . . 12 |- ((s e. RR /\ (v e. RR /\ v < s)) -> (v( ball ` D)(s - v)) = ((v - (s - v))(,)s))
83	82	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ v < s)) -> (v( ball ` D)(s - v)) = ((v - (s - v))(,)s))
84	83	3adantr2 1036	. . . . . . . . . 10 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (v( ball ` D)(s - v)) = ((v - (s - v))(,)s))
85	84	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> (v( ball ` D)(s - v)) = ((v - (s - v))(,)s))
86		simplll 452	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> t e. RR)
87		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((s e. RR /\ v e. RR) -> v e. RR)
88		resubcl 6601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. RR /\ (s - v) e. RR) -> (v - (s - v)) e. RR)
89	87, 6, 88	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((s e. RR /\ v e. RR) -> (v - (s - v)) e. RR)
90	89	ad2ant2lr 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (v - (s - v)) e. RR)
91	90	3adantr3 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (v - (s - v)) e. RR)
92	91	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> (v - (s - v)) e. RR)
93		simpllr 453	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> s e. RR)
94	86, 92, 93	3jca 1050	. . . . . . . . . 10 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> (t e. RR /\ (v - (s - v)) e. RR /\ s e. RR))
95	6	adantll 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ v e. RR) -> (s - v) e. RR)
96		simpll 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ v e. RR) -> t e. RR)
97		lesub 6819	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((s - v) e. RR /\ v e. RR /\ t e. RR) -> ((s - v) <_ (v - t) <-> t <_ (v - (s - v))))
98	95, 42, 96, 97	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ v e. RR) -> ((s - v) <_ (v - t) <-> t <_ (v - (s - v))))
99	98	3ad2antr1 1041	. . . . . . . . . . 11 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> ((s - v) <_ (v - t) <-> t <_ (v - (s - v))))
100	99	biimpa 460	. . . . . . . . . 10 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> t <_ (v - (s - v)))
101		iooss1 7540	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t e. RR* /\ (v - (s - v)) e. RR* /\ s e. RR*) /\ t <_ (v - (s - v))) -> ((v - (s - v))(,)s) C_ (t(,)s))
102	101	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((t e. RR* /\ (v - (s - v)) e. RR* /\ s e. RR*) -> (t <_ (v - (s - v)) -> ((v - (s - v))(,)s) C_ (t(,)s)))
103		rexr 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ((v - (s - v)) e. RR -> (v - (s - v)) e. RR*)
104	102, 51, 103, 53	syl3an 1139	. . . . . . . . . 10 |- ((t e. RR /\ (v - (s - v)) e. RR /\ s e. RR) -> (t <_ (v - (s - v)) -> ((v - (s - v))(,)s) C_ (t(,)s)))
105	94, 100, 104	sylc 83	. . . . . . . . 9 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> ((v - (s - v))(,)s) C_ (t(,)s))
106	85, 105	eqsstrd 2651	. . . . . . . 8 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> (v( ball ` D)(s - v)) C_ (t(,)s))
107		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (u = (s - v) -> (0 < u <-> 0 < (s - v)))
108		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (u = (s - v) -> (v( ball ` D)u) = (v( ball ` D)(s - v)))
109	108	sseq1d 2644	. . . . . . . . . 10 |- (u = (s - v) -> ((v( ball ` D)u) C_ (t(,)s) <-> (v( ball ` D)(s - v)) C_ (t(,)s)))
110	107, 109	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (u = (s - v) -> ((0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)) <-> (0 < (s - v) /\ (v( ball ` D)(s - v)) C_ (t(,)s))))
111	110	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- (((s - v) e. RR /\ (0 < (s - v) /\ (v( ball ` D)(s - v)) C_ (t(,)s))) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
112	63, 70, 106, 111	syl12anc 1098	. . . . . . 7 |- ((((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) /\ (s - v) <_ (v - t)) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
113	5, 8, 62, 112	lecasei 6804	. . . . . 6 |- (((t e. RR /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
114	113	ex 402	. . . . 5 |- ((t e. RR /\ s e. RR) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
115	3	ad2ant2r 445	. . . . . . . 8 |- (((t e. RR /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (v - t) e. RR)
116	12	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- (((t e. RR /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> 0 < (v - t))
117	51	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((t e. RR /\ v e. RR) -> t e. RR*)
118	36, 52	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((t e. RR /\ v e. RR) -> (v + (v - t)) e. RR*)
119		pnfge 6723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((v + (v - t)) e. RR* -> (v + (v - t)) <_ +oo)
120	119	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((t e. RR* /\ (v + (v - t)) e. RR*) -> (v + (v - t)) <_ +oo)
121		pnfxr 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
122		iooss2 7541	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t e. RR* /\ (v + (v - t)) e. RR* /\ +oo e. RR*) /\ (v + (v - t)) <_ +oo) -> (t(,)(v + (v - t))) C_ (t(,) +oo))
123	121, 122	mp3anl3 1187	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t e. RR* /\ (v + (v - t)) e. RR*) /\ (v + (v - t)) <_ +oo) -> (t(,)(v + (v - t))) C_ (t(,) +oo))
124	120, 123	mpdan 768	. . . . . . . . . . 11 |- ((t e. RR* /\ (v + (v - t)) e. RR*) -> (t(,)(v + (v - t))) C_ (t(,) +oo))
125	117, 118, 124	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- ((t e. RR /\ v e. RR) -> (t(,)(v + (v - t))) C_ (t(,) +oo))
126	125	ad2ant2r 445	. . . . . . . . 9 |- (((t e. RR /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (t(,)(v + (v - t))) C_ (t(,) +oo))
127	29	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- (((t e. RR /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (v( ball ` D)(v - t)) = (t(,)(v + (v - t))))
128		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (s = +oo -> (t(,)s) = (t(,) +oo))
129	128	ad2antlr 441	. . . . . . . . 9 |- (((t e. RR /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (t(,)s) = (t(,) +oo))
130	126, 127, 129	3sstr4d 2660	. . . . . . . 8 |- (((t e. RR /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> (v( ball ` D)(v - t)) C_ (t(,)s))
131	115, 116, 130, 61	syl12anc 1098	. . . . . . 7 |- (((t e. RR /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v)) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
132	131	3adantr3 1037	. . . . . 6 |- (((t e. RR /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
133	132	ex 402	. . . . 5 |- ((t e. RR /\ s = +oo) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
134		rexr 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. RR -> v e. RR*)
135		nltmnf 6722	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. RR* -> -. v < -oo)
136	134, 135	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (v e. RR -> -. v < -oo)
137	136	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- ((s = -oo /\ v e. RR) -> -. v < -oo)
138		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . 13 |- (s = -oo -> (v < s <-> v < -oo))
139	138	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- (s = -oo -> (-. v < s <-> -. v < -oo))
140	139	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((s = -oo /\ v e. RR) -> (-. v < s <-> -. v < -oo))
141	137, 140	mpbird 213	. . . . . . . . . 10 |- ((s = -oo /\ v e. RR) -> -. v < s)
142	141	pm2.21d 94	. . . . . . . . 9 |- ((s = -oo /\ v e. RR) -> (v < s -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
143	142	a1d 15	. . . . . . . 8 |- ((s = -oo /\ v e. RR) -> (t < v -> (v < s -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))))
144	143	ex 402	. . . . . . 7 |- (s = -oo -> (v e. RR -> (t < v -> (v < s -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))))
145	144	3impd 1082	. . . . . 6 |- (s = -oo -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
146	145	adantl 424	. . . . 5 |- ((t e. RR /\ s = -oo) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
147	114, 133, 146	3jaodan 1163	. . . 4 |- ((t e. RR /\ (s e. RR \/ s = +oo \/ s = -oo)) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
148		pnfnlt 6721	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. RR* -> -. +oo < v)
149	134, 148	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (v e. RR -> -. +oo < v)
150	149	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((t = +oo /\ v e. RR) -> -. +oo < v)
151		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (t = +oo -> (t < v <-> +oo < v))
152	151	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (t = +oo -> (-. t < v <-> -. +oo < v))
153	152	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((t = +oo /\ v e. RR) -> (-. t < v <-> -. +oo < v))
154	150, 153	mpbird 213	. . . . . . . 8 |- ((t = +oo /\ v e. RR) -> -. t < v)
155	154	pm2.21d 94	. . . . . . 7 |- ((t = +oo /\ v e. RR) -> (t < v -> (v < s -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))))
156	155	ex 402	. . . . . 6 |- (t = +oo -> (v e. RR -> (t < v -> (v < s -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))))
157	156	3impd 1082	. . . . 5 |- (t = +oo -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
158	157	adantr 425	. . . 4 |- ((t = +oo /\ (s e. RR \/ s = +oo \/ s = -oo)) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
159	6	ad2ant2lr 446	. . . . . . . 8 |- (((t = -oo /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ v < s)) -> (s - v) e. RR)
160	67	adantll 428	. . . . . . . 8 |- (((t = -oo /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ v < s)) -> 0 < (s - v))
161	89, 103	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((s e. RR /\ v e. RR) -> (v - (s - v)) e. RR*)
162	161	adantrr 431	. . . . . . . . . . 11 |- ((s e. RR /\ (v e. RR /\ v < s)) -> (v - (s - v)) e. RR*)
163	53	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((s e. RR /\ (v e. RR /\ v < s)) -> s e. RR*)
164		mnfle 6724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((v - (s - v)) e. RR* -> -oo <_ (v - (s - v)))
165	164	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((v - (s - v)) e. RR* /\ s e. RR*) -> -oo <_ (v - (s - v)))
166		mnfxr 6662	. . . . . . . . . . . . 13 |- -oo e. RR*
167		iooss1 7540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((( -oo e. RR* /\ (v - (s - v)) e. RR* /\ s e. RR*) /\ -oo <_ (v - (s - v))) -> ((v - (s - v))(,)s) C_ ( -oo(,)s))
168	166, 167	mp3anl1 1185	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((v - (s - v)) e. RR* /\ s e. RR*) /\ -oo <_ (v - (s - v))) -> ((v - (s - v))(,)s) C_ ( -oo(,)s))
169	165, 168	mpdan 768	. . . . . . . . . . 11 |- (((v - (s - v)) e. RR* /\ s e. RR*) -> ((v - (s - v))(,)s) C_ ( -oo(,)s))
170	162, 163, 169	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- ((s e. RR /\ (v e. RR /\ v < s)) -> ((v - (s - v))(,)s) C_ ( -oo(,)s))
171	170	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- (((t = -oo /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ v < s)) -> ((v - (s - v))(,)s) C_ ( -oo(,)s))
172	82	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- (((t = -oo /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ v < s)) -> (v( ball ` D)(s - v)) = ((v - (s - v))(,)s))
173		opreq1 4889	. . . . . . . . . 10 |- (t = -oo -> (t(,)s) = ( -oo(,)s))
174	173	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- (((t = -oo /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ v < s)) -> (t(,)s) = ( -oo(,)s))
175	171, 172, 174	3sstr4d 2660	. . . . . . . 8 |- (((t = -oo /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ v < s)) -> (v( ball ` D)(s - v)) C_ (t(,)s))
176	159, 160, 175, 111	syl12anc 1098	. . . . . . 7 |- (((t = -oo /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ v < s)) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
177	176	3adantr2 1036	. . . . . 6 |- (((t = -oo /\ s e. RR) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
178	177	ex 402	. . . . 5 |- ((t = -oo /\ s e. RR) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
179		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (u = 1 -> (0 < u <-> 0 < 1))
180		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (u = 1 -> (v( ball ` D)u) = (v( ball ` D)1))
181	180	sseq1d 2644	. . . . . . . . 9 |- (u = 1 -> ((v( ball ` D)u) C_ (t(,)s) <-> (v( ball ` D)1) C_ (t(,)s)))
182	179, 181	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (u = 1 -> ((0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)) <-> (0 < 1 /\ (v( ball ` D)1) C_ (t(,)s))))
183	182	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((1 e. RR /\ (0 < 1 /\ (v( ball ` D)1) C_ (t(,)s))) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
184		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
185		ioossre 7557	. . . . . . . . . . 11 |- ((v - 1)(,)(v + 1)) C_ RR
186		ioomax 7561	. . . . . . . . . . 11 |- ( -oo(,) +oo) = RR
187	185, 186	sseqtr4i 2650	. . . . . . . . . 10 |- ((v - 1)(,)(v + 1)) C_ ( -oo(,) +oo)
188	187	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (((t = -oo /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> ((v - 1)(,)(v + 1)) C_ ( -oo(,) +oo))
189		lt01 6871	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
190	18	bl2ioo 9189	. . . . . . . . . . . 12 |- ((v e. RR /\ 1 e. RR /\ 0 < 1) -> (v( ball ` D)1) = ((v - 1)(,)(v + 1)))
191	184, 189, 190	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. RR -> (v( ball ` D)1) = ((v - 1)(,)(v + 1)))
192	191	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . 10 |- ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> (v( ball ` D)1) = ((v - 1)(,)(v + 1)))
193	192	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- (((t = -oo /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (v( ball ` D)1) = ((v - 1)(,)(v + 1)))
194		opreq12 4891	. . . . . . . . . 10 |- ((t = -oo /\ s = +oo) -> (t(,)s) = ( -oo(,) +oo))
195	194	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((t = -oo /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (t(,)s) = ( -oo(,) +oo))
196	188, 193, 195	3sstr4d 2660	. . . . . . . 8 |- (((t = -oo /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (v( ball ` D)1) C_ (t(,)s))
197	196, 189	jctil 316	. . . . . . 7 |- (((t = -oo /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> (0 < 1 /\ (v( ball ` D)1) C_ (t(,)s)))
198	183, 184, 197	sylancr 526	. . . . . 6 |- (((t = -oo /\ s = +oo) /\ (v e. RR /\ t < v /\ v < s)) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s)))
199	198	ex 402	. . . . 5 |- ((t = -oo /\ s = +oo) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
200	145	adantl 424	. . . . 5 |- ((t = -oo /\ s = -oo) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
201	178, 199, 200	3jaodan 1163	. . . 4 |- ((t = -oo /\ (s e. RR \/ s = +oo \/ s = -oo)) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
202	147, 158, 201	3jaoian 1162	. . 3 |- (((t e. RR \/ t = +oo \/ t = -oo) /\ (s e. RR \/ s = +oo \/ s = -oo)) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
203		elxr 6706	. . 3 |- (t e. RR* <-> (t e. RR \/ t = +oo \/ t = -oo))
204		elxr 6706	. . 3 |- (s e. RR* <-> (s e. RR \/ s = +oo \/ s = -oo))
205	202, 203, 204	syl2anb 504	. 2 |- ((t e. RR* /\ s e. RR*) -> ((v e. RR /\ t < v /\ v < s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))
206	1, 205	sylbid 220	1 |- ((t e. RR* /\ s e. RR*) -> (v e. (t(,)s) -> E.u e. RR (0 < u /\ (v( ball ` D)u) C_ (t(,)s))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   \/ w3o 857   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   X. cxp 3984   |` cres 3988   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448   +oocpnf 6650   -oocmnf 6651  RR*cxr 6652   < clt 6653  (,)cioo 7524  abscabs 8000   ball cbl 9068

This theorem is referenced by:  tgioo 9193

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-met 9070  df-bl 9072

Copyright terms: Public domain