MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgioo2 Structured version   Unicode version

Theorem tgioo2 20379
Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgioo2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
tgioo2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )

Proof of Theorem tgioo2
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
2 cnxmet 20351 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
3 ax-resscn 9338 . . 3  |-  RR  C_  CC
4 tgioo2.1 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopn 20360 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6 eqid 2442 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
71, 5, 6metrest 20098 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  RR  C_  CC )  -> 
( Jt  RR )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
82, 3, 7mp2an 672 . 2  |-  ( Jt  RR )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
91, 8tgioo 20372 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3327    X. cxp 4837   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280    - cmin 9594   (,)cioo 11299   abscabs 12722   ↾t crest 14358   TopOpenctopn 14359   topGenctg 14375   *Metcxmt 17800   MetOpencmopn 17805  ℂfldccnfld 17817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-fz 11437  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-rest 14360  df-topn 14361  df-topgen 14381  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505
This theorem is referenced by:  rerest  20380  tgioo3  20381  zcld2  20391  metdcn  20416  metdscn2  20432  abscncfALT  20495  cnrehmeo  20524  rellycmp  20528  evth  20530  evth2  20531  lebnumlem2  20533  resscdrg  20869  retopn  20882  cncombf  21135  cnmbf  21136  dvcjbr  21422  rolle  21461  cmvth  21462  mvth  21463  dvlip  21464  dvlipcn  21465  dvlip2  21466  c1liplem1  21467  dvgt0lem1  21473  dvle  21478  dvivthlem1  21479  dvne0  21482  lhop1lem  21484  lhop2  21486  lhop  21487  dvcnvrelem1  21488  dvcnvrelem2  21489  dvcnvre  21490  dvcvx  21491  dvfsumle  21492  dvfsumabs  21494  dvfsumlem2  21498  ftc1  21513  ftc1cn  21514  ftc2  21515  ftc2ditglem  21516  itgparts  21518  itgsubstlem  21519  taylthlem2  21838  efcvx  21913  pige3  21978  dvloglem  22092  logdmopn  22093  advlog  22098  advlogexp  22099  logccv  22107  loglesqr  22195  ftalem3  22411  log2sumbnd  22792  nmcnc  24090  ipasslem7  24235  rmulccn  26357  raddcn  26358  lgamgulmlem2  27015  dvtanlem  28439  ftc1cnnc  28464  ftc2nc  28474  dvasin  28478  dvacos  28479  dvreasin  28480  dvreacos  28481  areacirclem1  28482  areacirc  28487  itgpowd  29588  lhe4.4ex1a  29601  refsumcn  29750  climreeq  29784  itgsin0pilem1  29788  itgsinexplem1  29792
  Copyright terms: Public domain W3C validator