MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgioo2 Structured version   Unicode version

Theorem tgioo2 21732
Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgioo2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
tgioo2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )

Proof of Theorem tgioo2
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
2 cnxmet 21704 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
3 ax-resscn 9595 . . 3  |-  RR  C_  CC
4 tgioo2.1 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopn 21713 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6 eqid 2429 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
71, 5, 6metrest 21470 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  RR  C_  CC )  -> 
( Jt  RR )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
82, 3, 7mp2an 676 . 2  |-  ( Jt  RR )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
91, 8tgioo 21725 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442    X. cxp 4852   ran crn 4855    |` cres 4856    o. ccom 4858   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537    - cmin 9859   (,)cioo 11635   abscabs 13276   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279   topGenctg 15295   *Metcxmt 18890   MetOpencmopn 18895  ℂfldccnfld 18905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854
This theorem is referenced by:  rerest  21733  tgioo3  21734  zcld2  21744  metdcn  21769  metdscn2  21785  abscncfALT  21848  cnrehmeo  21877  rellycmp  21881  evth  21883  evth2  21884  lebnumlem2  21886  resscdrg  22218  retopn  22231  cncombf  22491  cnmbf  22492  dvcjbr  22780  rolle  22819  cmvth  22820  mvth  22821  dvlip  22822  dvlipcn  22823  dvlip2  22824  c1liplem1  22825  dvgt0lem1  22831  dvle  22836  dvivthlem1  22837  dvne0  22840  lhop1lem  22842  lhop2  22844  lhop  22845  dvcnvrelem1  22846  dvcnvrelem2  22847  dvcnvre  22848  dvcvx  22849  dvfsumle  22850  dvfsumabs  22852  dvfsumlem2  22856  ftc1  22871  ftc1cn  22872  ftc2  22873  ftc2ditglem  22874  itgparts  22876  itgsubstlem  22877  taylthlem2  23194  efcvx  23269  pige3  23337  dvloglem  23458  logdmopn  23459  advlog  23464  advlogexp  23465  logccv  23473  loglesqrt  23563  lgamgulmlem2  23820  ftalem3  23864  log2sumbnd  24245  nmcnc  26177  ipasslem7  26322  rmulccn  28573  raddcn  28574  broucube  31678  dvtanlemOLD  31695  ftc1cnnc  31720  ftc2nc  31730  dvasin  31732  dvacos  31733  dvreasin  31734  dvreacos  31735  areacirclem1  31736  areacirc  31741  itgpowd  35798  lhe4.4ex1a  36315  refsumcn  36991  climreeq  37265  limcresiooub  37295  limcresioolb  37296  lptioo2cn  37298  lptioo1cn  37299  limclner  37304  cncfiooicclem1  37343  jumpncnp  37348  fperdvper  37362  dvmptresicc  37363  dvresioo  37365  dvbdfbdioolem1  37372  itgsin0pilem1  37395  itgsinexplem1  37399  itgcoscmulx  37415  itgsubsticclem  37421  itgiccshift  37426  itgperiod  37427  itgsbtaddcnst  37428  dirkeritg  37533  dirkercncflem2  37535  dirkercncflem3  37536  dirkercncflem4  37537  dirkercncf  37538  fourierdlem28  37566  fourierdlem32  37570  fourierdlem33  37571  fourierdlem39  37577  fourierdlem56  37594  fourierdlem57  37595  fourierdlem58  37596  fourierdlem59  37597  fourierdlem60  37598  fourierdlem61  37599  fourierdlem62  37600  fourierdlem68  37606  fourierdlem72  37610  fourierdlem73  37611  fourierdlem74  37612  fourierdlem75  37613  fourierdlem80  37618  fourierdlem94  37632  fourierdlem103  37641  fourierdlem104  37642  fourierdlem113  37651  fouriercnp  37658  fouriersw  37663  fouriercn  37664  etransclem2  37668  etransclem23  37689  etransclem35  37701  etransclem38  37704  etransclem39  37705  etransclem44  37710  etransclem45  37711  etransclem46  37712  etransclem47  37713
  Copyright terms: Public domain W3C validator