MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgioo2 Structured version   Unicode version

Theorem tgioo2 21071
Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgioo2.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
tgioo2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )

Proof of Theorem tgioo2
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
2 cnxmet 21043 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
3 ax-resscn 9549 . . 3  |-  RR  C_  CC
4 tgioo2.1 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopn 21052 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6 eqid 2467 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
71, 5, 6metrest 20790 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  RR  C_  CC )  -> 
( Jt  RR )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
82, 3, 7mp2an 672 . 2  |-  ( Jt  RR )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
91, 8tgioo 21064 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491    - cmin 9805   (,)cioo 11529   abscabs 13030   ↾t crest 14676   TopOpenctopn 14677   topGenctg 14693   *Metcxmt 18202   MetOpencmopn 18207  ℂfldccnfld 18219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-rest 14678  df-topn 14679  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197
This theorem is referenced by:  rerest  21072  tgioo3  21073  zcld2  21083  metdcn  21108  metdscn2  21124  abscncfALT  21187  cnrehmeo  21216  rellycmp  21220  evth  21222  evth2  21223  lebnumlem2  21225  resscdrg  21561  retopn  21574  cncombf  21828  cnmbf  21829  dvcjbr  22115  rolle  22154  cmvth  22155  mvth  22156  dvlip  22157  dvlipcn  22158  dvlip2  22159  c1liplem1  22160  dvgt0lem1  22166  dvle  22171  dvivthlem1  22172  dvne0  22175  lhop1lem  22177  lhop2  22179  lhop  22180  dvcnvrelem1  22181  dvcnvrelem2  22182  dvcnvre  22183  dvcvx  22184  dvfsumle  22185  dvfsumabs  22187  dvfsumlem2  22191  ftc1  22206  ftc1cn  22207  ftc2  22208  ftc2ditglem  22209  itgparts  22211  itgsubstlem  22212  taylthlem2  22531  efcvx  22606  pige3  22671  dvloglem  22785  logdmopn  22786  advlog  22791  advlogexp  22792  logccv  22800  loglesqrt  22888  ftalem3  23104  log2sumbnd  23485  nmcnc  25310  ipasslem7  25455  rmulccn  27574  raddcn  27575  lgamgulmlem2  28240  dvtanlem  29669  ftc1cnnc  29694  ftc2nc  29704  dvasin  29708  dvacos  29709  dvreasin  29710  dvreacos  29711  areacirclem1  29712  areacirc  29717  itgpowd  30815  lhe4.4ex1a  30862  refsumcn  31011  tgiooss  31138  climreeq  31183  limcresiooub  31212  limcresioolb  31213  lptioo2cn  31215  lptioo1cn  31216  limclner  31221  cncfiooicclem1  31260  jumpncnp  31265  fperdvper  31276  dvmptresicc  31277  dvresioo  31279  dvbdfbdioolem1  31286  itgsin0pilem1  31295  itgsinexplem1  31299  itgcoscmulx  31315  itgsubsticclem  31321  itgiccshift  31326  itgperiod  31327  itgsbtaddcnst  31328  dirkeritg  31430  dirkercncflem2  31432  dirkercncflem3  31433  dirkercncflem4  31434  dirkercncf  31435  fourierdlem28  31463  fourierdlem32  31467  fourierdlem33  31468  fourierdlem39  31474  fourierdlem56  31491  fourierdlem57  31492  fourierdlem58  31493  fourierdlem59  31494  fourierdlem60  31495  fourierdlem61  31496  fourierdlem62  31497  fourierdlem68  31503  fourierdlem72  31507  fourierdlem73  31508  fourierdlem74  31509  fourierdlem75  31510  fourierdlem80  31515  fourierdlem94  31529  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539  fourierdlem113  31548  fouriercnp  31555  fouriersw  31560  fouriercn  31561
  Copyright terms: Public domain W3C validator