Theorem tgioo 21892

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
remet.1	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
tgioo.2	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
tgioo	|- ( topGen ` ran (,) ) = J

Proof of Theorem tgioo

Dummy variables x y z a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
2	1	rexmet 21887	. . 3 |- D e. ( *Met ` RR )
3		tgioo.2	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
4	3	mopnval 21531	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 |- J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
6	1	blssioo 21891	. . 3 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)
7		elssuni 4219	. . . . . . 7 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
8		unirnioo 11759	. . . . . . 7 |- RR = U. ran (,)
9	7, 8	syl6sseqr 3465	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
10		retopbas 21859	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ran (,) e. TopBases )
12		simpl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> v e. ran (,) )
13	9	sselda 3418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. RR )
14		1re 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
15	1	bl2ioo 21888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
16	14, 15	mpan2 685	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
17		peano2rem 9961	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
18	17	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
19		peano2re 9824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
20	19	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
21		ioof 11757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
22		ffn 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
24		fnovrn 6463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
25	23, 24	mp3an1 1377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
26	18, 20, 25	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
27	16, 26	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
28	13, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
29		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. v )
30		1rp 11329	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
31		blcntr 21506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
32	2, 30, 31	mp3an13 1381	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
33	13, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
34	29, 33	elind 3609	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) )
35		basis2 20043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran (,) e. TopBases /\ v e. ran (,) ) /\ ( ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) /\ x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
36	11, 12, 28, 34, 35	syl22anc 1293	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
37		ovelrn 6464	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
38	23, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
39		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( x e. z <-> x e. ( a (,) b ) ) )
40		sseq1 3439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) <-> ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
41	39, 40	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) )
42		inss2 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 )
43		sstr 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
44	42, 43	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
45	44	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
46		elioore 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> x e. RR )
47	46	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. RR )
48	47, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
49	45, 48	sseqtrd 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
50		dfss 3405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) <-> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
51	49, 50	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
52		eliooxr 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
53	18, 20	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
54	46, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
55		iooin 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
56	52, 54, 55	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
57	56	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
58	51, 57	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
59		mnfxr 11437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo e. RR* )
61	47, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
62	52	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
63	62	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> a e. RR* )
64	61, 63	ifcld 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* )
65	62	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> b e. RR* )
66	47, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
67	66	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
68	65, 67	ifcld 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* )
69	46, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( x - 1 ) e. RR )
70	69	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
71		mnflt 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x - 1 ) e. RR -> -oo < ( x - 1 ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < ( x - 1 ) )
73		xrmax2 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> ( x - 1 ) <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
74	63, 61, 73	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
75	60, 61, 64, 72, 74	xrltletrd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
76		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( a (,) b ) )
77	76, 58	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
78		eliooxr 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) )
79		ne0i 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) =/= (/) )
80		ioon0 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) =/= (/) <-> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
81	79, 80	syl5ib 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) -> ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
82	78, 81	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
83	77, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
84		xrre2 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( -oo < if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) /\ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR )
85	60, 64, 68, 75, 83, 84	syl32anc 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR )
86		mnfle 11458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* -> -oo <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
87	64, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
88	60, 64, 68, 87, 83	xrlelttrd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
89		xrmin2 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) )
90	65, 67, 89	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) )
91		xrre 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR ) /\ ( -oo < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR )
92	68, 66, 88, 90, 91	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR )
93	1	ioo2blex 21890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) e. ran ( ball ` D ) )
94	85, 92, 93	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) e. ran ( ball ` D ) )
95	58, 94	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) )
96		inss1 3643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v
97		sstr 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v ) -> ( a (,) b ) C_ v )
98	96, 97	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
99	98	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
100		sseq1 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ v <-> ( a (,) b ) C_ v ) )
101	39, 100	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ v ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
102	101	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) /\ ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
103	95, 76, 99, 102	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
104		blssex 21520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
105	2, 47, 104	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
106	103, 105	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
107	41, 106	syl6bi 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
109	108	rexlimivv 2876	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
110	109	imp 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
111	38, 110	sylanb 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ran (,) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
112	111	rexlimiva 2868	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
113	36, 112	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
114	113	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
115	3	elmopn2 21538	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
116	2, 115	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
117	9, 114, 116	sylanbrc 677	. . . . 5 |- ( v e. ran (,) -> v e. J )
118	117	ssriv 3422	. . . 4 |- ran (,) C_ J
119	118, 5	sseqtri 3450	. . 3 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
120		2basgen 20083	. . 3 |- ( ( ran ( ball ` D ) C_ ran (,) /\ ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
121	6, 119, 120	mp2an 686	. 2 |- ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) )
122	5, 121	eqtr2i 2494	1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   X. cxp 4837   ran crn 4840   |` cres 4841   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558   + caddc 9560   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   abscabs 13374   topGenctg 15414   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034   MetOpencmopn 19037   TopBasesctb 19997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-bases 19999

This theorem is referenced by:  qdensere2  21893  rehaus  21895  resubmet  21898  tgioo2  21899  xrsmopn  21908  iccntr  21917  icccmplem3  21920  reconnlem2  21923  opnreen  21927  metdscn2  21952  metdscn2OLD  21967  evthicc  22488  opnmbllem  22638  dvlip2  23026  lhop  23047  dvcnvre  23050  nmcvcn  26412  opnrebl  31047  opnrebl2  31048  ptrecube  32004  poimirlem30  32034  opnmbllem0  32040  reheibor  32235