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Theorem tgioo 20395
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
tgioo.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables  x  y  z  a  b 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
21rexmet 20390 . . 3  |-  D  e.  ( *Met `  RR )
3 tgioo.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnval 20035 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
52, 4ax-mp 5 . 2  |-  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
61blssioo 20394 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  C_  ran  (,)
7 elssuni 4142 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
8 unirnioo 11410 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ran  (,)
97, 8syl6sseqr 3424 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
10 retopbas 20361 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ran  (,)  e.  TopBases )
12 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  ran  (,) )
139sselda 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  RR )
14 1re 9406 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
151bl2ioo 20391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 )  =  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
1614, 15mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
17 peano2rem 9696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
1817rexrd 9454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
19 peano2re 9563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
2019rexrd 9454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
21 ioof 11408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
22 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
24 fnovrn 6259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  (
x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2523, 24mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2618, 20, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2716, 26eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,) )
2813, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ( x (
ball `  D )
1 )  e.  ran  (,) )
29 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  v )
30 1rp 11016 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
31 blcntr 20010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
322, 30, 31mp3an13 1305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3313, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
3429, 33elind 3561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( v  i^i  ( x ( ball `  D
) 1 ) ) )
35 basis2 18578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  v  e.  ran  (,) )  /\  ( ( x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,)  /\  x  e.  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )
3611, 12, 28, 34, 35syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
37 ovelrn 6260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
3823, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
39 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a (,) b
) ) )
40 sseq1 3398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  <->  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
4139, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) ) )
42 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 )
43 sstr 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4442, 43mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( x (
ball `  D )
1 ) )
46 elioore 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
4847, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
4945, 48sseqtrd 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
50 dfss 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  <->  ( a (,) b )  =  ( ( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) ) )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) ) )
52 eliooxr 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
5318, 20jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
5446, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
55 iooin 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  - 
1 )  e.  RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
5652, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
5851, 57eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
59 mnfxr 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  e.  RR*
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
6147, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
6252adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
6362simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  a  e.  RR* )
64 ifcl 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR* )
6561, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR* )
6662simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  b  e.  RR* )
6747, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
6867rexrd 9454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
69 ifcl 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )
7066, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )
7146, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
73 mnflt 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  -  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
75 xrmax2 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  -  1 )  <_  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
7663, 61, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  <_  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
7760, 61, 65, 74, 76xrltletrd 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) )
78 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( a (,) b
) )
7978, 58eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
80 eliooxr 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* ) )
81 ne0i 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
82 ioon0 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  =/=  (/)  <->  if (
a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
8381, 82syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
8480, 83mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  < 
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
8579, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
86 xrre2 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  /\  if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )  ->  if (
a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR )
8760, 65, 70, 77, 85, 86syl32anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR )
88 mnfle 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR*  -> -oo 
<_  if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
8965, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <_  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) )
9060, 65, 70, 89, 85xrlelttrd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
91 xrmin2 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) )
9266, 68, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) )
93 xrre 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) )  e. 
RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) )  /\  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) ) )  ->  if (
b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )
9470, 67, 90, 92, 93syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )
951ioo2blex 20393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9687, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9758, 96eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  e.  ran  ( ball `  D ) )
98 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v
99 sstr 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
10098, 99mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
102 sseq1 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  v  <->  ( a (,) b )  C_  v
) )
10339, 102anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  ( x  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
104103rspcev 3094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( x  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
10597, 78, 101, 104syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
106 blssex 20024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v )  <->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1072, 47, 106sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
108105, 107mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
10941, 108syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( a (,) b )  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
111110rexlimivv 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
112111imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  /\  (
x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) y )  C_  v )
11338, 112sylanb 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ran  (,)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
114113rexlimiva 2857 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
11536, 114syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
116115ralrimiva 2820 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D
) y )  C_  v )
1173elmopn2 20042 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  (
v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
1182, 117ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1199, 116, 118sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  J )
120119ssriv 3381 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  J
121120, 5sseqtri 3409 . . 3  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
122 2basgen 18617 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  C_  ran  (,)  /\  ran  (,)  C_  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) ) )  -> 
( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  =  ( topGen `  ran  (,) )
)
1236, 121, 122mp2an 672 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
1245, 123eqtr2i 2464 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ifcif 3812   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   ran crn 4862    |` cres 4863    o. ccom 4865    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   1c1 9304    + caddc 9306   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616   RR+crp 11012   (,)cioo 11321   abscabs 12744   topGenctg 14397   *Metcxmt 17823   ballcbl 17825   MetOpencmopn 17828   TopBasesctb 18524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-bases 18527
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