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Theorem tgioo 21064
Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
remet.1  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
tgioo.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tgioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J

Proof of Theorem tgioo
Dummy variables  x  y  z  a  b 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . 4  |-  D  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )
21rexmet 21059 . . 3  |-  D  e.  ( *Met `  RR )
3 tgioo.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43mopnval 20704 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
52, 4ax-mp 5 . 2  |-  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
61blssioo 21063 . . 3  |-  ran  ( ball `  D )  C_  ran  (,)
7 elssuni 4275 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  U. ran  (,) )
8 unirnioo 11624 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ran  (,)
97, 8syl6sseqr 3551 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v 
C_  RR )
10 retopbas 21030 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ran  (,)  e.  TopBases )
12 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  v  e.  ran  (,) )
139sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  RR )
14 1re 9595 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
151bl2ioo 21060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 )  =  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
1614, 15mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
17 peano2rem 9886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
1817rexrd 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
19 peano2re 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
2019rexrd 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
21 ioof 11622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
22 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
24 fnovrn 6434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  (
x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2523, 24mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2618, 20, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  e.  ran  (,) )
2716, 26eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,) )
2813, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  ( x (
ball `  D )
1 )  e.  ran  (,) )
29 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  v )
30 1rp 11224 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
31 blcntr 20679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
322, 30, 31mp3an13 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3313, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( x ( ball `  D
) 1 ) )
3429, 33elind 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( v  i^i  ( x ( ball `  D
) 1 ) ) )
35 basis2 19247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  (,)  e.  TopBases  /\  v  e.  ran  (,) )  /\  ( ( x ( ball `  D
) 1 )  e. 
ran  (,)  /\  x  e.  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) ) )
3611, 12, 28, 34, 35syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
37 ovelrn 6435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b ) ) )
3823, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. a  e.  RR*  E. b  e. 
RR*  z  =  ( a (,) b ) )
39 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a (,) b
) ) )
40 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  <->  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )
4139, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  <-> 
( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) ) )
42 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 )
43 sstr 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4442, 43mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  (
x ( ball `  D
) 1 ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( x (
ball `  D )
1 ) )
46 elioore 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  x  e.  RR )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
4847, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  =  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) )
4945, 48sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )
50 dfss 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) )  <->  ( a (,) b )  =  ( ( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) ) )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( x  - 
1 ) (,) (
x  +  1 ) ) ) )
52 eliooxr 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
5318, 20jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
5446, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* ) )
55 iooin 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( ( x  - 
1 )  e.  RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( x  -  1 ) (,) ( x  +  1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
5652, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( (
x  -  1 ) (,) ( x  + 
1 ) ) )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
5851, 57eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  =  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
59 mnfxr 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- -oo  e.  RR*
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
6147, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR* )
6252adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )
6362simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  a  e.  RR* )
64 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  RR*  /\  a  e.  RR* )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR* )
6561, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR* )
6662simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  b  e.  RR* )
6747, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
6867rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR* )
69 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )
7066, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )
7146, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( a (,) b )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
73 mnflt 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  -  1 )  e.  RR  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  ( x  -  1 ) )
75 xrmax2 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  (
x  -  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  -  1 )  <_  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
7663, 61, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
x  -  1 )  <_  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
7760, 61, 65, 74, 76xrltletrd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) )
78 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( a (,) b
) )
7978, 58eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  x  e.  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
80 eliooxr 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* ) )
81 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  =/=  (/) )
82 ioon0 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  =/=  (/)  <->  if (
a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )
8381, 82syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,)
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) ) )
8480, 83mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  ->  if ( a  <_  ( x  - 
1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  < 
if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
8579, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
86 xrre2 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR* )  /\  ( -oo  <  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  /\  if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) ) )  ->  if (
a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR )
8760, 65, 70, 77, 85, 86syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR )
88 mnfle 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a )  e.  RR*  -> -oo 
<_  if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) )
8965, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <_  if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) )
9060, 65, 70, 89, 85xrlelttrd 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  -> -oo  <  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )
91 xrmin2 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  RR*  /\  (
x  +  1 )  e.  RR* )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) )
9266, 68, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) )
93 xrre 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) )  e. 
RR*  /\  ( x  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) )  /\  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  <_  ( x  +  1 ) ) )  ->  if (
b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )
9470, 67, 90, 92, 93syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  if ( b  <_  (
x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )
951ioo2blex 21062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( a  <_ 
( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a )  e.  RR  /\  if ( b  <_ 
( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( if ( a  <_  ( x  -  1 ) ,  ( x  -  1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  + 
1 ) ,  b ,  ( x  + 
1 ) ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9687, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( if ( a  <_  (
x  -  1 ) ,  ( x  - 
1 ) ,  a ) (,) if ( b  <_  ( x  +  1 ) ,  b ,  ( x  +  1 ) ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
9758, 96eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b )  e.  ran  ( ball `  D ) )
98 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v
99 sstr 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  /\  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) )  C_  v )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
10098, 99mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a (,) b ) 
C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) )  ->  ( a (,) b )  C_  v
)
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  (
a (,) b ) 
C_  v )
102 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
z  C_  v  <->  ( a (,) b )  C_  v
) )
10339, 102anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  ( x  e.  ( a (,) b
)  /\  ( a (,) b )  C_  v
) ) )
104103rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a (,) b
)  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( x  e.  (
a (,) b )  /\  ( a (,) b )  C_  v
) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
10597, 78, 101, 104syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v ) )
106 blssex 20693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D
) ( x  e.  z  /\  z  C_  v )  <->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1072, 47, 106sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  ( E. z  e.  ran  ( ball `  D )
( x  e.  z  /\  z  C_  v
)  <->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
108105, 107mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( a (,) b )  /\  ( a (,) b
)  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
10941, 108syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a (,) b )  ->  (
( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v ) )
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  (
z  =  ( a (,) b )  -> 
( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
111110rexlimivv 2960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  (
x ( ball `  D
) 1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
112111imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. a  e.  RR*  E. b  e.  RR*  z  =  ( a (,) b )  /\  (
x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x ( ball `  D ) 1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
x ( ball `  D
) y )  C_  v )
11338, 112sylanb 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ran  (,)  /\  ( x  e.  z  /\  z  C_  (
v  i^i  ( x
( ball `  D )
1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
)
114113rexlimiva 2951 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (,) ( x  e.  z  /\  z  C_  ( v  i^i  ( x (
ball `  D )
1 ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
11536, 114syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  ran  (,)  /\  x  e.  v )  ->  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D ) y ) 
C_  v )
116115ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x ( ball `  D
) y )  C_  v )
1173elmopn2 20711 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  RR )  ->  (
v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) ) )
1182, 117ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( v  e.  J  <->  ( v  C_  RR  /\  A. x  e.  v  E. y  e.  RR+  ( x (
ball `  D )
y )  C_  v
) )
1199, 116, 118sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( v  e.  ran  (,)  ->  v  e.  J )
120119ssriv 3508 . . . 4  |-  ran  (,)  C_  J
121120, 5sseqtri 3536 . . 3  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
122 2basgen 19286 . . 3  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  C_  ran  (,)  /\  ran  (,)  C_  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) ) )  -> 
( topGen `  ran  ( ball `  D ) )  =  ( topGen `  ran  (,) )
)
1236, 121, 122mp2an 672 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  ( ball `  D
) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
1245, 123eqtr2i 2497 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495   -oocmnf 9626   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   RR+crp 11220   (,)cioo 11529   abscabs 13030   topGenctg 14693   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204   MetOpencmopn 18207   TopBasesctb 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-bases 19196
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