Theorem tgioo 21467

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
remet.1	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
tgioo.2	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
tgioo	|- ( topGen ` ran (,) ) = J

Proof of Theorem tgioo

Dummy variables x y z a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
2	1	rexmet 21462	. . 3 |- D e. ( *Met ` RR )
3		tgioo.2	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
4	3	mopnval 21107	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 |- J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
6	1	blssioo 21466	. . 3 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)
7		elssuni 4264	. . . . . . 7 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
8		unirnioo 11627	. . . . . . 7 |- RR = U. ran (,)
9	7, 8	syl6sseqr 3536	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
10		retopbas 21433	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ran (,) e. TopBases )
12		simpl 455	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> v e. ran (,) )
13	9	sselda 3489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. RR )
14		1re 9584	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
15	1	bl2ioo 21463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
16	14, 15	mpan2 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
17		peano2rem 9877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
18	17	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
19		peano2re 9742	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
20	19	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
21		ioof 11625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
22		ffn 5713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
24		fnovrn 6423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
25	23, 24	mp3an1 1309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
26	18, 20, 25	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
27	16, 26	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
28	13, 27	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
29		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. v )
30		1rp 11225	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
31		blcntr 21082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
32	2, 30, 31	mp3an13 1313	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
33	13, 32	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
34	29, 33	elind 3674	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) )
35		basis2 19619	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran (,) e. TopBases /\ v e. ran (,) ) /\ ( ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) /\ x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
36	11, 12, 28, 34, 35	syl22anc 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
37		ovelrn 6424	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
38	23, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
39		eleq2 2527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( x e. z <-> x e. ( a (,) b ) ) )
40		sseq1 3510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) <-> ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
41	39, 40	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) )
42		inss2 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 )
43		sstr 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
44	42, 43	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
45	44	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
46		elioore 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> x e. RR )
47	46	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. RR )
48	47, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
49	45, 48	sseqtrd 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
50		dfss 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) <-> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
51	49, 50	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
52		eliooxr 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
53	18, 20	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
54	46, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
55		iooin 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
56	52, 54, 55	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
57	56	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
58	51, 57	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
59		mnfxr 11326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo e. RR* )
61	47, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
62	52	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
63	62	simpld 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> a e. RR* )
64	61, 63	ifcld 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* )
65	62	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> b e. RR* )
66	47, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
67	66	rexrd 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
68	65, 67	ifcld 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* )
69	46, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( x - 1 ) e. RR )
70	69	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
71		mnflt 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x - 1 ) e. RR -> -oo < ( x - 1 ) )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < ( x - 1 ) )
73		xrmax2 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> ( x - 1 ) <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
74	63, 61, 73	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
75	60, 61, 64, 72, 74	xrltletrd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
76		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( a (,) b ) )
77	76, 58	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
78		eliooxr 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) )
79		ne0i 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) =/= (/) )
80		ioon0 11558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) =/= (/) <-> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
81	79, 80	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) -> ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
82	78, 81	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
83	77, 82	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
84		xrre2 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( -oo < if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) /\ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR )
85	60, 64, 68, 75, 83, 84	syl32anc 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR )
86		mnfle 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* -> -oo <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
87	64, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
88	60, 64, 68, 87, 83	xrlelttrd 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
89		xrmin2 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) )
90	65, 67, 89	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) )
91		xrre 11373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR ) /\ ( -oo < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR )
92	68, 66, 88, 90, 91	syl22anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR )
93	1	ioo2blex 21465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) e. ran ( ball ` D ) )
94	85, 92, 93	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) e. ran ( ball ` D ) )
95	58, 94	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) )
96		inss1 3704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v
97		sstr 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v ) -> ( a (,) b ) C_ v )
98	96, 97	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
99	98	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
100		sseq1 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ v <-> ( a (,) b ) C_ v ) )
101	39, 100	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ v ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
102	101	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) /\ ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
103	95, 76, 99, 102	syl12anc 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
104		blssex 21096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
105	2, 47, 104	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
106	103, 105	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
107	41, 106	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
109	108	rexlimivv 2951	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
110	109	imp 427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
111	38, 110	sylanb 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ran (,) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
112	111	rexlimiva 2942	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
113	36, 112	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
114	113	ralrimiva 2868	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
115	3	elmopn2 21114	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
116	2, 115	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
117	9, 114, 116	sylanbrc 662	. . . . 5 |- ( v e. ran (,) -> v e. J )
118	117	ssriv 3493	. . . 4 |- ran (,) C_ J
119	118, 5	sseqtri 3521	. . 3 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
120		2basgen 19659	. . 3 |- ( ( ran ( ball ` D ) C_ ran (,) /\ ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
121	6, 119, 120	mp2an 670	. 2 |- ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) )
122	5, 121	eqtr2i 2484	1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   X. cxp 4986   ran crn 4989   |` cres 4990   o. ccom 4992   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   abscabs 13149   topGenctg 14927   *Metcxmt 18598   ballcbl 18600   MetOpencmopn 18603   TopBasesctb 19565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-bases 19568

This theorem is referenced by:  qdensere2  21468  rehaus  21470  resubmet  21473  tgioo2  21474  xrsmopn  21483  iccntr  21492  icccmplem3  21495  reconnlem2  21498  opnreen  21502  metdscn2  21527  evthicc  22037  opnmbllem  22176  dvlip2  22562  lhop  22583  dvcnvre  22586  nmcvcn  25803  opnmbllem0  30290  opnrebl  30378  opnrebl2  30379  reheibor  30575