Theorem tgioo 21814

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
remet.1	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
tgioo.2	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
tgioo	|- ( topGen ` ran (,) ) = J

Proof of Theorem tgioo

Dummy variables x y z a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
2	1	rexmet 21809	. . 3 |- D e. ( *Met ` RR )
3		tgioo.2	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
4	3	mopnval 21453	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 |- J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
6	1	blssioo 21813	. . 3 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)
7		elssuni 4227	. . . . . . 7 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
8		unirnioo 11734	. . . . . . 7 |- RR = U. ran (,)
9	7, 8	syl6sseqr 3479	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
10		retopbas 21781	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ran (,) e. TopBases )
12		simpl 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> v e. ran (,) )
13	9	sselda 3432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. RR )
14		1re 9642	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
15	1	bl2ioo 21810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
16	14, 15	mpan2 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
17		peano2rem 9941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
18	17	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
19		peano2re 9806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
20	19	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
21		ioof 11732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
22		ffn 5728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
24		fnovrn 6444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
25	23, 24	mp3an1 1351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
26	18, 20, 25	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
27	16, 26	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
28	13, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
29		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. v )
30		1rp 11306	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
31		blcntr 21428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
32	2, 30, 31	mp3an13 1355	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
33	13, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
34	29, 33	elind 3618	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) )
35		basis2 19966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran (,) e. TopBases /\ v e. ran (,) ) /\ ( ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) /\ x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
36	11, 12, 28, 34, 35	syl22anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
37		ovelrn 6445	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
38	23, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
39		eleq2 2518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( x e. z <-> x e. ( a (,) b ) ) )
40		sseq1 3453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) <-> ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
41	39, 40	anbi12d 717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) )
42		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 )
43		sstr 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
44	42, 43	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
45	44	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
46		elioore 11666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> x e. RR )
47	46	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. RR )
48	47, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
49	45, 48	sseqtrd 3468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
50		dfss 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) <-> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
51	49, 50	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
52		eliooxr 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
53	18, 20	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
54	46, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
55		iooin 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
56	52, 54, 55	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
57	56	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
58	51, 57	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
59		mnfxr 11414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo e. RR* )
61	47, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
62	52	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
63	62	simpld 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> a e. RR* )
64	61, 63	ifcld 3924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* )
65	62	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> b e. RR* )
66	47, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
67	66	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
68	65, 67	ifcld 3924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* )
69	46, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( x - 1 ) e. RR )
70	69	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
71		mnflt 11425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x - 1 ) e. RR -> -oo < ( x - 1 ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < ( x - 1 ) )
73		xrmax2 11471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> ( x - 1 ) <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
74	63, 61, 73	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
75	60, 61, 64, 72, 74	xrltletrd 11458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
76		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( a (,) b ) )
77	76, 58	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
78		eliooxr 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) )
79		ne0i 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) =/= (/) )
80		ioon0 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) =/= (/) <-> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
81	79, 80	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) -> ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
82	78, 81	mpcom 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
83	77, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
84		xrre2 11465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( -oo < if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) /\ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR )
85	60, 64, 68, 75, 83, 84	syl32anc 1276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR )
86		mnfle 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* -> -oo <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
87	64, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
88	60, 64, 68, 87, 83	xrlelttrd 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
89		xrmin2 11473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) )
90	65, 67, 89	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) )
91		xrre 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR ) /\ ( -oo < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR )
92	68, 66, 88, 90, 91	syl22anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR )
93	1	ioo2blex 21812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) e. ran ( ball ` D ) )
94	85, 92, 93	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) e. ran ( ball ` D ) )
95	58, 94	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) )
96		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v
97		sstr 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v ) -> ( a (,) b ) C_ v )
98	96, 97	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
99	98	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
100		sseq1 3453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ v <-> ( a (,) b ) C_ v ) )
101	39, 100	anbi12d 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ v ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
102	101	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) /\ ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
103	95, 76, 99, 102	syl12anc 1266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
104		blssex 21442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
105	2, 47, 104	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
106	103, 105	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
107	41, 106	syl6bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
109	108	rexlimivv 2884	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
110	109	imp 431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
111	38, 110	sylanb 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ran (,) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
112	111	rexlimiva 2875	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
113	36, 112	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
114	113	ralrimiva 2802	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
115	3	elmopn2 21460	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
116	2, 115	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
117	9, 114, 116	sylanbrc 670	. . . . 5 |- ( v e. ran (,) -> v e. J )
118	117	ssriv 3436	. . . 4 |- ran (,) C_ J
119	118, 5	sseqtri 3464	. . 3 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
120		2basgen 20006	. . 3 |- ( ( ran ( ball ` D ) C_ ran (,) /\ ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
121	6, 119, 120	mp2an 678	. 2 |- ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) )
122	5, 121	eqtr2i 2474	1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   X. cxp 4832   ran crn 4835   |` cres 4836   o. ccom 4838   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540   + caddc 9542   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   abscabs 13297   topGenctg 15336   *Metcxmt 18955   ballcbl 18957   MetOpencmopn 18960   TopBasesctb 19920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-bases 19922

This theorem is referenced by:  qdensere2  21815  rehaus  21817  resubmet  21820  tgioo2  21821  xrsmopn  21830  iccntr  21839  icccmplem3  21842  reconnlem2  21845  opnreen  21849  metdscn2  21874  metdscn2OLD  21889  evthicc  22410  opnmbllem  22559  dvlip2  22947  lhop  22968  dvcnvre  22971  nmcvcn  26331  opnrebl  30976  opnrebl2  30977  ptrecube  31940  poimirlem30  31970  opnmbllem0  31976  reheibor  32171