Theorem tgioo 20395

Description: The topology generated by open intervals of reals is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
remet.1	|- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
tgioo.2	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
tgioo	|- ( topGen ` ran (,) ) = J

Proof of Theorem tgioo

Dummy variables x y z a b v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . 4 |- D = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
2	1	rexmet 20390	. . 3 |- D e. ( *Met ` RR )
3		tgioo.2	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
4	3	mopnval 20035	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 |- J = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
6	1	blssioo 20394	. . 3 |- ran ( ball ` D ) C_ ran (,)
7		elssuni 4142	. . . . . . 7 |- ( v e. ran (,) -> v C_ U. ran (,) )
8		unirnioo 11410	. . . . . . 7 |- RR = U. ran (,)
9	7, 8	syl6sseqr 3424	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> v C_ RR )
10		retopbas 20361	. . . . . . . . . 10 |- ran (,) e. TopBases
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ran (,) e. TopBases )
12		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> v e. ran (,) )
13	9	sselda 3377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. RR )
14		1re 9406	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
15	1	bl2ioo 20391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
16	14, 15	mpan2 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
17		peano2rem 9696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR )
18	17	rexrd 9454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x - 1 ) e. RR* )
19		peano2re 9563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR )
20	19	rexrd 9454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( x + 1 ) e. RR* )
21		ioof 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
22		ffn 5580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
24		fnovrn 6259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
25	23, 24	mp3an1 1301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
26	18, 20, 25	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) e. ran (,) )
27	16, 26	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
28	13, 27	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) )
29		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. v )
30		1rp 11016	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
31		blcntr 20010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR /\ 1 e. RR+ ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
32	2, 30, 31	mp3an13 1305	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
33	13, 32	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( x ( ball ` D ) 1 ) )
34	29, 33	elind 3561	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) )
35		basis2 18578	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran (,) e. TopBases /\ v e. ran (,) ) /\ ( ( x ( ball ` D ) 1 ) e. ran (,) /\ x e. ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
36	11, 12, 28, 34, 35	syl22anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
37		ovelrn 6260	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) ) )
38	23, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran (,) <-> E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) )
39		eleq2 2504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( x e. z <-> x e. ( a (,) b ) ) )
40		sseq1 3398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) <-> ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) )
41	39, 40	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) )
42		inss2 3592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 )
43		sstr 3385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
44	42, 43	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
45	44	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( x ( ball ` D ) 1 ) )
46		elioore 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> x e. RR )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. RR )
48	47, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x ( ball ` D ) 1 ) = ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
49	45, 48	sseqtrd 3413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) )
50		dfss 3364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a (,) b ) C_ ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) <-> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
51	49, 50	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) )
52		eliooxr 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
53	18, 20	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. RR -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
54	46, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) )
55		iooin 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) /\ ( ( x - 1 ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
56	52, 54, 55	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( ( a (,) b ) i^i ( ( x - 1 ) (,) ( x + 1 ) ) ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
58	51, 57	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) = ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
59		mnfxr 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -oo e. RR*
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo e. RR* )
61	47, 18	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR* )
62	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a e. RR* /\ b e. RR* ) )
63	62	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> a e. RR* )
64		ifcl 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x - 1 ) e. RR* /\ a e. RR* ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* )
65	61, 63, 64	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* )
66	62	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> b e. RR* )
67	47, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR )
68	67	rexrd 9454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. RR* )
69		ifcl 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* )
70	66, 68, 69	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* )
71	46, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( a (,) b ) -> ( x - 1 ) e. RR )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) e. RR )
73		mnflt 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x - 1 ) e. RR -> -oo < ( x - 1 ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < ( x - 1 ) )
75		xrmax2 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( a e. RR* /\ ( x - 1 ) e. RR* ) -> ( x - 1 ) <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
76	63, 61, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( x - 1 ) <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
77	60, 61, 65, 74, 76	xrltletrd 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
78		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( a (,) b ) )
79	78, 58	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
80		eliooxr 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) )
81		ne0i 3664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) =/= (/) )
82		ioon0 11347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) -> ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) =/= (/) <-> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
83	81, 82	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) -> ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) )
84	80, 83	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
85	79, 84	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
86		xrre2 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* ) /\ ( -oo < if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) /\ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR )
87	60, 65, 70, 77, 85, 86	syl32anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR )
88		mnfle 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR* -> -oo <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
89	65, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo <_ if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) )
90	60, 65, 70, 89, 85	xrlelttrd 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> -oo < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) )
91		xrmin2 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR* ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) )
92	66, 68, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) )
93		xrre 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR* /\ ( x + 1 ) e. RR ) /\ ( -oo < if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) <_ ( x + 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR )
94	70, 67, 90, 92, 93	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR )
95	1	ioo2blex 20393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) e. RR /\ if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) e. RR ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) e. ran ( ball ` D ) )
96	87, 94, 95	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( if ( a <_ ( x - 1 ) , ( x - 1 ) , a ) (,) if ( b <_ ( x + 1 ) , b , ( x + 1 ) ) ) e. ran ( ball ` D ) )
97	58, 96	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) )
98		inss1 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v
99		sstr 3385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) /\ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) C_ v ) -> ( a (,) b ) C_ v )
100	98, 99	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
101	100	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( a (,) b ) C_ v )
102		sseq1 3398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( z C_ v <-> ( a (,) b ) C_ v ) )
103	39, 102	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ v ) <-> ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) )
104	103	rspcev 3094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a (,) b ) e. ran ( ball ` D ) /\ ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ v ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
105	97, 78, 101, 104	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) )
106		blssex 20024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
107	2, 47, 106	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> ( E. z e. ran ( ball ` D ) ( x e. z /\ z C_ v ) <-> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
108	105, 107	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( a (,) b ) /\ ( a (,) b ) C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
109	41, 108	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR* /\ b e. RR* ) -> ( z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
111	110	rexlimivv 2867	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) -> ( ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
112	111	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. a e. RR* E. b e. RR* z = ( a (,) b ) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
113	38, 112	sylanb 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ran (,) /\ ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
114	113	rexlimiva 2857	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. ran (,) ( x e. z /\ z C_ ( v i^i ( x ( ball ` D ) 1 ) ) ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
115	36, 114	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( v e. ran (,) /\ x e. v ) -> E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
116	115	ralrimiva 2820	. . . . . 6 |- ( v e. ran (,) -> A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v )
117	3	elmopn2 20042	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` RR ) -> ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) ) )
118	2, 117	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( v e. J <-> ( v C_ RR /\ A. x e. v E. y e. RR+ ( x ( ball ` D ) y ) C_ v ) )
119	9, 116, 118	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( v e. ran (,) -> v e. J )
120	119	ssriv 3381	. . . 4 |- ran (,) C_ J
121	120, 5	sseqtri 3409	. . 3 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
122		2basgen 18617	. . 3 |- ( ( ran ( ball ` D ) C_ ran (,) /\ ran (,) C_ ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) ) -> ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
123	6, 121, 122	mp2an 672	. 2 |- ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) = ( topGen ` ran (,) )
124	5, 123	eqtr2i 2464	1 |- ( topGen ` ran (,) ) = J

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   i^i cin 3348   C_ wss 3349   (/)c0 3658   ifcif 3812   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   class class class wbr 4313   X. cxp 4859   ran crn 4862   |` cres 4863   o. ccom 4865   Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   1c1 9304   + caddc 9306   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438   < clt 9439   <_ cle 9440   - cmin 9616   RR+crp 11012   (,)cioo 11321   abscabs 12744   topGenctg 14397   *Metcxmt 17823   ballcbl 17825   MetOpencmopn 17828   TopBasesctb 18524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-bases 18527

This theorem is referenced by:  qdensere2  20396  rehaus  20398  resubmet  20401  tgioo2  20402  xrsmopn  20411  iccntr  20420  icccmplem3  20423  reconnlem2  20426  opnreen  20430  metdscn2  20455  evthicc  20965  opnmbllem  21103  dvlip2  21489  lhop  21510  dvcnvre  21513  nmcvcn  24112  opnmbllem0  28453  opnrebl  28541  opnrebl2  28542  reheibor  28764