Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgifscgr Structured version   Unicode version

Theorem tgifscgr 24540
 Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, and , with between and and between and . If the other components of the triangles are congruent, then so are and . Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p
tgbtwncgr.m
tgbtwncgr.i Itv
tgbtwncgr.g TarskiG
tgbtwncgr.a
tgbtwncgr.b
tgbtwncgr.c
tgbtwncgr.d
tgifscgr.e
tgifscgr.f
tgifscgr.g
tgifscgr.h
tgifscgr.1
tgifscgr.2
tgifscgr.3
tgifscgr.4
tgifscgr.5
tgifscgr.6
Assertion
Ref Expression
tgifscgr

Proof of Theorem tgifscgr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . . 3
2 tgbtwncgr.m . . 3
3 tgbtwncgr.i . . 3 Itv
4 tgbtwncgr.g . . . 4 TarskiG
54adantr 466 . . 3 TarskiG
6 tgbtwncgr.b . . . 4
76adantr 466 . . 3
8 tgbtwncgr.d . . . 4
98adantr 466 . . 3
10 tgifscgr.f . . . 4
1110adantr 466 . . 3
12 simpr 462 . . 3
13 tgifscgr.h . . . 4
1413adantr 466 . . 3
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14tgldim0cgr 24536 . 2
16 tgifscgr.6 . . . . 5
1716ad2antrr 730 . . . 4
184ad2antrr 730 . . . . . 6 TarskiG
19 tgbtwncgr.c . . . . . . 7
2019ad2antrr 730 . . . . . 6
216ad2antrr 730 . . . . . 6
22 tgifscgr.1 . . . . . . . 8
2322ad2antrr 730 . . . . . . 7
24 simpr 462 . . . . . . . 8
2524oveq1d 6317 . . . . . . 7
2623, 25eleqtrd 2512 . . . . . 6
271, 2, 3, 18, 20, 21, 26axtgbtwnid 24501 . . . . 5
2827oveq1d 6317 . . . 4
29 tgifscgr.g . . . . . . 7
3029ad2antrr 730 . . . . . 6
3110ad2antrr 730 . . . . . 6
32 tgifscgr.2 . . . . . . . 8
3332ad2antrr 730 . . . . . . 7
34 tgifscgr.e . . . . . . . . . 10
3534ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
36 tgbtwncgr.a . . . . . . . . . 10
3736ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
3824oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10
39 tgifscgr.3 . . . . . . . . . . 11
4039ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
4138, 40eqtr2d 2464 . . . . . . . . 9
421, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41axtgcgrid 24498 . . . . . . . 8
4342oveq1d 6317 . . . . . . 7
4433, 43eleqtrd 2512 . . . . . 6
451, 2, 3, 18, 30, 31, 44axtgbtwnid 24501 . . . . 5
4645oveq1d 6317 . . . 4
4717, 28, 463eqtr3d 2471 . . 3
484ad2antrr 730 . . . . . . . 8 TarskiG
4948ad2antrr 730 . . . . . . 7 TarskiG
5049ad2antrr 730 . . . . . 6 TarskiG
51 simp-4r 775 . . . . . 6
5219ad2antrr 730 . . . . . . . 8
5352ad2antrr 730 . . . . . . 7
5453ad2antrr 730 . . . . . 6
556ad6antr 740 . . . . . 6
56 simplr 760 . . . . . 6
5729ad4antr 736 . . . . . . 7
5857ad2antrr 730 . . . . . 6
5910ad6antr 740 . . . . . 6
608ad6antr 740 . . . . . 6
6113ad6antr 740 . . . . . 6
62 simpllr 767 . . . . . . . 8
6362simprd 464 . . . . . . 7
6463necomd 2695 . . . . . 6
6536ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
6665ad4antr 736 . . . . . . . 8
6722ad6antr 740 . . . . . . . 8
6862simpld 460 . . . . . . . 8
691, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68tgbtwnexch3 24525 . . . . . . 7
701, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69tgbtwncom 24519 . . . . . 6
7134ad6antr 740 . . . . . . . 8
7232ad6antr 740 . . . . . . . 8
73 simprl 762 . . . . . . . 8
741, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73tgbtwnexch3 24525 . . . . . . 7
751, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74tgbtwncom 24519 . . . . . 6
76 simprr 764 . . . . . . . 8
7776eqcomd 2430 . . . . . . 7
781, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77tgcgrcomlr 24511 . . . . . 6
79 tgifscgr.4 . . . . . . . 8
8079ad6antr 740 . . . . . . 7
811, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80tgcgrcomlr 24511 . . . . . 6
82 simp-5r 777 . . . . . . 7
8339ad6antr 740 . . . . . . 7
84 tgifscgr.5 . . . . . . . 8
8584ad6antr 740 . . . . . . 7
8616ad6antr 740 . . . . . . 7
871, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86axtg5seg 24500 . . . . . 6
881, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86axtg5seg 24500 . . . . 5
8934ad4antr 736 . . . . . 6
90 simplr 760 . . . . . 6
911, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90axtgsegcon 24499 . . . . 5
9288, 91r19.29a 2970 . . . 4
93 simplr 760 . . . . 5
941, 2, 3, 48, 65, 52, 93tgbtwndiff 24537 . . . 4
9592, 94r19.29a 2970 . . 3
9647, 95pm2.61dane 2742 . 2
971, 36tgldimor 24533 . 2
9815, 96, 97mpjaodan 793 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1868   wne 2618   class class class wbr 4420  cfv 5598  (class class class)co 6302  c1 9541   cle 9677  c2 10660  chash 12515  cbs 15109  cds 15187  TarskiGcstrkg 24465  Itvcitv 24471 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-hash 12516  df-trkgc 24483  df-trkgb 24484  df-trkgcb 24485  df-trkg 24488 This theorem is referenced by:  tgcgrsub  24541  tgbtwnxfr  24562  tgfscgr  24600  tgbtwnconn1lem3  24606  miriso  24702  krippenlem  24722  midexlem  24724  colperpexlem1  24759  opphllem  24764
 Copyright terms: Public domain W3C validator