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Theorem tgifscgr 23082
Description: Inner five segment congruence. Take two triangles,  A D C and  E H K, with 
B between  A and  C and  F between  E and  K. If the other components of the triangles are congruent, then so are  B D and  F H. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgbtwncgr.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgbtwncgr.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgbtwncgr.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgbtwncgr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgbtwncgr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgbtwncgr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgbtwncgr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgifscgr.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
tgifscgr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgifscgr.g  |-  ( ph  ->  K  e.  P )
tgifscgr.h  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
tgifscgr.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
tgifscgr.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( E I K ) )
tgifscgr.3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
tgifscgr.4  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
tgifscgr.5  |-  ( ph  ->  ( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
tgifscgr.6  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
Assertion
Ref Expression
tgifscgr  |-  ( ph  ->  ( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )

Proof of Theorem tgifscgr
Dummy variables  e 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tgbtwncgr.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 tgbtwncgr.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 tgbtwncgr.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
6 tgbtwncgr.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
8 tgbtwncgr.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
10 tgifscgr.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  F  e.  P
)
12 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
13 tgifscgr.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  H  e.  P
)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14tgldim0cgr 23078 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
164ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
17 tgbtwncgr.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  C  e.  P )
196ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  P )
20 tgifscgr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  ( A I C ) )
22 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  A  =  C )
2322oveq1d 6207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A I C )  =  ( C I C ) )
2421, 23eleqtrd 2541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  ( C I C ) )
251, 2, 3, 16, 18, 19, 24axtgbtwnid 23045 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  C  =  B )
2625oveq1d 6207 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( C  .-  D )  =  ( B  .-  D
) )
27 tgifscgr.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
2827ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( C  .-  D )  =  ( K  .-  H
) )
2926, 28eqtr3d 2494 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( K  .-  H
) )
30 tgifscgr.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  P )
3130ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  K  e.  P )
3210ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  P )
33 tgifscgr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( E I K ) )
3433ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  ( E I K ) )
35 tgifscgr.e . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  E  e.  P )
37 tgbtwncgr.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  P )
3922oveq2d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A  .-  A )  =  ( A  .-  C
) )
40 tgifscgr.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A  .-  C )  =  ( E  .-  K
) )
4239, 41eqtr2d 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( E  .-  K )  =  ( A  .-  A
) )
431, 2, 3, 16, 36, 31, 38, 42axtgcgrid 23042 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  E  =  K )
4443oveq1d 6207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( E I K )  =  ( K I K ) )
4534, 44eleqtrd 2541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  ( K I K ) )
461, 2, 3, 16, 31, 32, 45axtgbtwnid 23045 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  K  =  F )
4746oveq1d 6207 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( K  .-  H )  =  ( F  .-  H
) )
4829, 47eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H
) )
494ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
5049ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  G  e. TarskiG )
5150ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  G  e. TarskiG )
52 simp-4r 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
e  e.  P )
5317ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  P )
5453ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  C  e.  P
)
5554ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  P )
566ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  B  e.  P )
57 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
f  e.  P )
5830ad4antr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  K  e.  P
)
5958ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  P )
6010ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  F  e.  P )
618ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  D  e.  P )
6213ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  H  e.  P )
63 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e
) )
6463simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  =/=  e )
6564necomd 2719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
e  =/=  C )
6637ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  P )
6766ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  A  e.  P )
6820ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  B  e.  ( A I C ) )
6963simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( A I e ) )
701, 2, 3, 51, 67, 56, 55, 52, 68, 69tgbtwnexch3 23067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( B I e ) )
711, 2, 3, 51, 56, 55, 52, 70tgbtwncom 23061 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( e
I B ) )
7235ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  E  e.  P )
7333ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  F  e.  ( E I K ) )
74 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( E I f ) )
751, 2, 3, 51, 72, 60, 59, 57, 73, 74tgbtwnexch3 23067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( F I f ) )
761, 2, 3, 51, 60, 59, 57, 75tgbtwncom 23061 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( f
I F ) )
77 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( K  .-  f
)  =  ( C 
.-  e ) )
7877eqcomd 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  e
)  =  ( K 
.-  f ) )
791, 2, 3, 51, 55, 52, 59, 57, 78tgcgrcomlr 23053 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( e  .-  C
)  =  ( f 
.-  K ) )
80 tgifscgr.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
8180ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
821, 2, 3, 51, 56, 55, 60, 59, 81tgcgrcomlr 23053 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  B
)  =  ( K 
.-  F ) )
83 simp-5r 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  A  =/=  C )
8440ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
85 tgifscgr.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
8685ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
8727ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
881, 2, 3, 51, 67, 55, 52, 72, 59, 57, 61, 62, 83, 69, 74, 84, 78, 86, 87axtg5seg 23044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( e  .-  D
)  =  ( f 
.-  H ) )
891, 2, 3, 51, 52, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 71, 76, 79, 82, 88, 87axtg5seg 23044 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )
9035ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  E  e.  P
)
91 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  e  e.  P
)
921, 2, 3, 50, 90, 58, 54, 91axtgsegcon 23043 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  E. f  e.  P  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K  .-  f )  =  ( C  .-  e ) ) )
9389, 92r19.29a 2960 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
94 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
951, 2, 3, 49, 66, 53, 94tgbtwndiff 23079 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  E. e  e.  P  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )
9693, 95r19.29a 2960 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H
) )
97 exmidne 2654 . . . 4  |-  ( A  =  C  \/  A  =/=  C )
9897a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( A  =  C  \/  A  =/=  C ) )
9948, 96, 98mpjaodan 784 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
1001, 37tgldimor 23075 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
10115, 99, 100mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  ( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1c1 9386    <_ cle 9522   2c2 10474   #chash 12206   Basecbs 14278   distcds 14351  TarskiGcstrkg 23007  Itvcitv 23014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-hash 12207  df-trkgc 23026  df-trkgb 23027  df-trkgcb 23028  df-trkg 23032
This theorem is referenced by:  tgcgrsub  23083  tgbtwnxfr  23100  tgfscgr  23122  tgbtwnconn1lem3  23128  miriso  23201  krippenlem  23212  midexlem  23214  colperplem1  23242  mideulem  23246
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