Theorem tgifscgr 23772

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, A D C and E H K, with B between A and C and F between E and K. If the other components of the triangles are congruent, then so are B D and F H. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	|- P = ( Base ` G )
tgbtwncgr.m	|- .- = ( dist ` G )
tgbtwncgr.i	|- I = (Itv ` G )
tgbtwncgr.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgbtwncgr.a	|- ( ph -> A e. P )
tgbtwncgr.b	|- ( ph -> B e. P )
tgbtwncgr.c	|- ( ph -> C e. P )
tgbtwncgr.d	|- ( ph -> D e. P )
tgifscgr.e	|- ( ph -> E e. P )
tgifscgr.f	|- ( ph -> F e. P )
tgifscgr.g	|- ( ph -> K e. P )
tgifscgr.h	|- ( ph -> H e. P )
tgifscgr.1	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgifscgr.2	|- ( ph -> F e. ( E I K ) )
tgifscgr.3	|- ( ph -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
tgifscgr.4	|- ( ph -> ( B .- C ) = ( F .- K ) )
tgifscgr.5	|- ( ph -> ( A .- D ) = ( E .- H ) )
tgifscgr.6	|- ( ph -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )

Assertion

Ref	Expression
tgifscgr	|- ( ph -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )

Proof of Theorem tgifscgr

Dummy variables e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. . 3 |- P = ( Base ` G )
2		tgbtwncgr.m	. . 3 |- .- = ( dist ` G )
3		tgbtwncgr.i	. . 3 |- I = (Itv ` G )
4		tgbtwncgr.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
6		tgbtwncgr.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. P )
7	6	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
8		tgbtwncgr.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. P )
9	8	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
10		tgifscgr.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. P )
11	10	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> F e. P )
12		simpr 461	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
13		tgifscgr.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. P )
14	13	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> H e. P )
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	tgldim0cgr 23768	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
16		tgifscgr.6	. . . . 5 |- ( ph -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )
17	16	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )
18	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> G e. TarskiG )
19		tgbtwncgr.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. P )
20	19	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> C e. P )
21	6	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> B e. P )
22		tgifscgr.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
23	22	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> B e. ( A I C ) )
24		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> A = C )
25	24	oveq1d 6296	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( A I C ) = ( C I C ) )
26	23, 25	eleqtrd 2533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> B e. ( C I C ) )
27	1, 2, 3, 18, 20, 21, 26	axtgbtwnid 23735	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> C = B )
28	27	oveq1d 6296	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( C .- D ) = ( B .- D ) )
29		tgifscgr.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. P )
30	29	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> K e. P )
31	10	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> F e. P )
32		tgifscgr.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( E I K ) )
33	32	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> F e. ( E I K ) )
34		tgifscgr.e	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. P )
35	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> E e. P )
36		tgbtwncgr.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. P )
37	36	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> A e. P )
38	24	oveq2d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( A .- A ) = ( A .- C ) )
39		tgifscgr.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
40	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
41	38, 40	eqtr2d 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( E .- K ) = ( A .- A ) )
42	1, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41	axtgcgrid 23732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> E = K )
43	42	oveq1d 6296	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( E I K ) = ( K I K ) )
44	33, 43	eleqtrd 2533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> F e. ( K I K ) )
45	1, 2, 3, 18, 30, 31, 44	axtgbtwnid 23735	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> K = F )
46	45	oveq1d 6296	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( K .- H ) = ( F .- H ) )
47	17, 28, 46	3eqtr3d 2492	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
48	4	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> G e. TarskiG )
49	48	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> G e. TarskiG )
50	49	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> G e. TarskiG )
51		simp-4r 768	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> e e. P )
52	19	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> C e. P )
53	52	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> C e. P )
54	53	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. P )
55	6	ad6antr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> B e. P )
56		simplr 755	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> f e. P )
57	29	ad4antr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> K e. P )
58	57	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. P )
59	10	ad6antr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> F e. P )
60	8	ad6antr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> D e. P )
61	13	ad6antr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> H e. P )
62		simpllr 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) )
63	62	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C =/= e )
64	63	necomd 2714	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> e =/= C )
65	36	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> A e. P )
66	65	ad4antr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> A e. P )
67	22	ad6antr 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> B e. ( A I C ) )
68	62	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. ( A I e ) )
69	1, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68	tgbtwnexch3 23757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. ( B I e ) )
70	1, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69	tgbtwncom 23751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. ( e I B ) )
71	34	ad6antr 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> E e. P )
72	32	ad6antr 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> F e. ( E I K ) )
73		simprl 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. ( E I f ) )
74	1, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73	tgbtwnexch3 23757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. ( F I f ) )
75	1, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74	tgbtwncom 23751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. ( f I F ) )
76		simprr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( K .- f ) = ( C .- e ) )
77	76	eqcomd 2451	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C .- e ) = ( K .- f ) )
78	1, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77	tgcgrcomlr 23743	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( e .- C ) = ( f .- K ) )
79		tgifscgr.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B .- C ) = ( F .- K ) )
80	79	ad6antr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( B .- C ) = ( F .- K ) )
81	1, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80	tgcgrcomlr 23743	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C .- B ) = ( K .- F ) )
82		simp-5r 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> A =/= C )
83	39	ad6antr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
84		tgifscgr.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A .- D ) = ( E .- H ) )
85	84	ad6antr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( A .- D ) = ( E .- H ) )
86	16	ad6antr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )
87	1, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86	axtg5seg 23734	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( e .- D ) = ( f .- H ) )
88	1, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86	axtg5seg 23734	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
89	34	ad4antr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> E e. P )
90		simplr 755	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> e e. P )
91	1, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90	axtgsegcon 23733	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> E. f e. P ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) )
92	88, 91	r19.29a 2985	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
93		simplr 755	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
94	1, 2, 3, 48, 65, 52, 93	tgbtwndiff 23769	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> E. e e. P ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) )
95	92, 94	r19.29a 2985	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
96	47, 95	pm2.61dane 2761	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
97	1, 36	tgldimor 23765	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
98	15, 96, 97	mpjaodan 786	1 |- ( ph -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496   <_ cle 9632   2c2 10591   #chash 12384   Basecbs 14509   distcds 14583  TarskiGcstrkg 23697  Itvcitv 23704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-hash 12385  df-trkgc 23716  df-trkgb 23717  df-trkgcb 23718  df-trkg 23722

This theorem is referenced by:  tgcgrsub  23773  tgbtwnxfr  23790  tgfscgr  23827  tgbtwnconn1lem3  23833  miriso  23922  krippenlem  23939  midexlem  23941  colperpexlem1  23976  opphllem  23981