Theorem tgifscgr 23082

Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, A D C and E H K, with B between A and C and F between E and K. If the other components of the triangles are congruent, then so are B D and F H. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	|- P = ( Base ` G )
tgbtwncgr.m	|- .- = ( dist ` G )
tgbtwncgr.i	|- I = (Itv ` G )
tgbtwncgr.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgbtwncgr.a	|- ( ph -> A e. P )
tgbtwncgr.b	|- ( ph -> B e. P )
tgbtwncgr.c	|- ( ph -> C e. P )
tgbtwncgr.d	|- ( ph -> D e. P )
tgifscgr.e	|- ( ph -> E e. P )
tgifscgr.f	|- ( ph -> F e. P )
tgifscgr.g	|- ( ph -> K e. P )
tgifscgr.h	|- ( ph -> H e. P )
tgifscgr.1	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgifscgr.2	|- ( ph -> F e. ( E I K ) )
tgifscgr.3	|- ( ph -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
tgifscgr.4	|- ( ph -> ( B .- C ) = ( F .- K ) )
tgifscgr.5	|- ( ph -> ( A .- D ) = ( E .- H ) )
tgifscgr.6	|- ( ph -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )

Assertion

Ref	Expression
tgifscgr	|- ( ph -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )

Proof of Theorem tgifscgr

Dummy variables e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. . 3 |- P = ( Base ` G )
2		tgbtwncgr.m	. . 3 |- .- = ( dist ` G )
3		tgbtwncgr.i	. . 3 |- I = (Itv ` G )
4		tgbtwncgr.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
6		tgbtwncgr.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. P )
7	6	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
8		tgbtwncgr.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. P )
9	8	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
10		tgifscgr.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. P )
11	10	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> F e. P )
12		simpr 461	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
13		tgifscgr.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. P )
14	13	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> H e. P )
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	tgldim0cgr 23078	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
16	4	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> G e. TarskiG )
17		tgbtwncgr.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. P )
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> C e. P )
19	6	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> B e. P )
20		tgifscgr.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
21	20	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> B e. ( A I C ) )
22		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> A = C )
23	22	oveq1d 6207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( A I C ) = ( C I C ) )
24	21, 23	eleqtrd 2541	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> B e. ( C I C ) )
25	1, 2, 3, 16, 18, 19, 24	axtgbtwnid 23045	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> C = B )
26	25	oveq1d 6207	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( C .- D ) = ( B .- D ) )
27		tgifscgr.6	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )
28	27	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )
29	26, 28	eqtr3d 2494	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( B .- D ) = ( K .- H ) )
30		tgifscgr.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. P )
31	30	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> K e. P )
32	10	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> F e. P )
33		tgifscgr.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( E I K ) )
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> F e. ( E I K ) )
35		tgifscgr.e	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. P )
36	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> E e. P )
37		tgbtwncgr.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. P )
38	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> A e. P )
39	22	oveq2d 6208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( A .- A ) = ( A .- C ) )
40		tgifscgr.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
41	40	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
42	39, 41	eqtr2d 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( E .- K ) = ( A .- A ) )
43	1, 2, 3, 16, 36, 31, 38, 42	axtgcgrid 23042	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> E = K )
44	43	oveq1d 6207	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( E I K ) = ( K I K ) )
45	34, 44	eleqtrd 2541	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> F e. ( K I K ) )
46	1, 2, 3, 16, 31, 32, 45	axtgbtwnid 23045	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> K = F )
47	46	oveq1d 6207	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( K .- H ) = ( F .- H ) )
48	29, 47	eqtrd 2492	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A = C ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
49	4	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> G e. TarskiG )
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> G e. TarskiG )
51	50	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> G e. TarskiG )
52		simp-4r 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> e e. P )
53	17	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> C e. P )
54	53	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> C e. P )
55	54	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. P )
56	6	ad6antr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> B e. P )
57		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> f e. P )
58	30	ad4antr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> K e. P )
59	58	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. P )
60	10	ad6antr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> F e. P )
61	8	ad6antr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> D e. P )
62	13	ad6antr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> H e. P )
63		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) )
64	63	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C =/= e )
65	64	necomd 2719	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> e =/= C )
66	37	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> A e. P )
67	66	ad4antr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> A e. P )
68	20	ad6antr 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> B e. ( A I C ) )
69	63	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. ( A I e ) )
70	1, 2, 3, 51, 67, 56, 55, 52, 68, 69	tgbtwnexch3 23067	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. ( B I e ) )
71	1, 2, 3, 51, 56, 55, 52, 70	tgbtwncom 23061	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> C e. ( e I B ) )
72	35	ad6antr 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> E e. P )
73	33	ad6antr 735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> F e. ( E I K ) )
74		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. ( E I f ) )
75	1, 2, 3, 51, 72, 60, 59, 57, 73, 74	tgbtwnexch3 23067	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. ( F I f ) )
76	1, 2, 3, 51, 60, 59, 57, 75	tgbtwncom 23061	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> K e. ( f I F ) )
77		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( K .- f ) = ( C .- e ) )
78	77	eqcomd 2459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C .- e ) = ( K .- f ) )
79	1, 2, 3, 51, 55, 52, 59, 57, 78	tgcgrcomlr 23053	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( e .- C ) = ( f .- K ) )
80		tgifscgr.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B .- C ) = ( F .- K ) )
81	80	ad6antr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( B .- C ) = ( F .- K ) )
82	1, 2, 3, 51, 56, 55, 60, 59, 81	tgcgrcomlr 23053	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C .- B ) = ( K .- F ) )
83		simp-5r 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> A =/= C )
84	40	ad6antr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( A .- C ) = ( E .- K ) )
85		tgifscgr.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A .- D ) = ( E .- H ) )
86	85	ad6antr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( A .- D ) = ( E .- H ) )
87	27	ad6antr 735	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( C .- D ) = ( K .- H ) )
88	1, 2, 3, 51, 67, 55, 52, 72, 59, 57, 61, 62, 83, 69, 74, 84, 78, 86, 87	axtg5seg 23044	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( e .- D ) = ( f .- H ) )
89	1, 2, 3, 51, 52, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 71, 76, 79, 82, 88, 87	axtg5seg 23044	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) /\ f e. P ) /\ ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
90	35	ad4antr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> E e. P )
91		simplr 754	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> e e. P )
92	1, 2, 3, 50, 90, 58, 54, 91	axtgsegcon 23043	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> E. f e. P ( K e. ( E I f ) /\ ( K .- f ) = ( C .- e ) ) )
93	89, 92	r19.29a 2960	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) /\ e e. P ) /\ ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
94		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
95	1, 2, 3, 49, 66, 53, 94	tgbtwndiff 23079	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> E. e e. P ( C e. ( A I e ) /\ C =/= e ) )
96	93, 95	r19.29a 2960	. . 3 |- ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ A =/= C ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
97		exmidne 2654	. . . 4 |- ( A = C \/ A =/= C )
98	97	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( A = C \/ A =/= C ) )
99	48, 96, 98	mpjaodan 784	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )
100	1, 37	tgldimor 23075	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
101	15, 99, 100	mpjaodan 784	1 |- ( ph -> ( B .- D ) = ( F .- H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1c1 9386   <_ cle 9522   2c2 10474   #chash 12206   Basecbs 14278   distcds 14351  TarskiGcstrkg 23007  Itvcitv 23014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-hash 12207  df-trkgc 23026  df-trkgb 23027  df-trkgcb 23028  df-trkg 23032

This theorem is referenced by:  tgcgrsub  23083  tgbtwnxfr  23100  tgfscgr  23122  tgbtwnconn1lem3  23128  miriso  23201  krippenlem  23212  midexlem  23214  colperplem1  23242  mideulem  23246