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Theorem tgifscgr 23621
Description: Inner five segment congruence. Take two triangles,  A D C and  E H K, with 
B between  A and  C and  F between  E and  K. If the other components of the triangles are congruent, then so are  B D and  F H. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgbtwncgr.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgbtwncgr.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgbtwncgr.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgbtwncgr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgbtwncgr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgbtwncgr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgbtwncgr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgifscgr.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
tgifscgr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgifscgr.g  |-  ( ph  ->  K  e.  P )
tgifscgr.h  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
tgifscgr.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
tgifscgr.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( E I K ) )
tgifscgr.3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
tgifscgr.4  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
tgifscgr.5  |-  ( ph  ->  ( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
tgifscgr.6  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
Assertion
Ref Expression
tgifscgr  |-  ( ph  ->  ( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )

Proof of Theorem tgifscgr
Dummy variables  e 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tgbtwncgr.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 tgbtwncgr.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 tgbtwncgr.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
6 tgbtwncgr.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
8 tgbtwncgr.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
10 tgifscgr.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  F  e.  P
)
12 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
13 tgifscgr.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  H  e.  P
)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14tgldim0cgr 23617 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
164ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
17 tgbtwncgr.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  C  e.  P )
196ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  P )
20 tgifscgr.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
2120ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  ( A I C ) )
22 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  A  =  C )
2322oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A I C )  =  ( C I C ) )
2421, 23eleqtrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  ( C I C ) )
251, 2, 3, 16, 18, 19, 24axtgbtwnid 23584 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  C  =  B )
2625oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( C  .-  D )  =  ( B  .-  D
) )
27 tgifscgr.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
2827ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( C  .-  D )  =  ( K  .-  H
) )
2926, 28eqtr3d 2503 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( K  .-  H
) )
30 tgifscgr.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  P )
3130ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  K  e.  P )
3210ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  P )
33 tgifscgr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( E I K ) )
3433ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  ( E I K ) )
35 tgifscgr.e . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  E  e.  P )
37 tgbtwncgr.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  P )
3922oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A  .-  A )  =  ( A  .-  C
) )
40 tgifscgr.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A  .-  C )  =  ( E  .-  K
) )
4239, 41eqtr2d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( E  .-  K )  =  ( A  .-  A
) )
431, 2, 3, 16, 36, 31, 38, 42axtgcgrid 23581 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  E  =  K )
4443oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( E I K )  =  ( K I K ) )
4534, 44eleqtrd 2550 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  ( K I K ) )
461, 2, 3, 16, 31, 32, 45axtgbtwnid 23584 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  K  =  F )
4746oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( K  .-  H )  =  ( F  .-  H
) )
4829, 47eqtrd 2501 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H
) )
494ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
5049ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  G  e. TarskiG )
5150ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  G  e. TarskiG )
52 simp-4r 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
e  e.  P )
5317ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  P )
5453ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  C  e.  P
)
5554ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  P )
566ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  B  e.  P )
57 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
f  e.  P )
5830ad4antr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  K  e.  P
)
5958ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  P )
6010ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  F  e.  P )
618ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  D  e.  P )
6213ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  H  e.  P )
63 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e
) )
6463simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  =/=  e )
6564necomd 2731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
e  =/=  C )
6637ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  P )
6766ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  A  e.  P )
6820ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  B  e.  ( A I C ) )
6963simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( A I e ) )
701, 2, 3, 51, 67, 56, 55, 52, 68, 69tgbtwnexch3 23606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( B I e ) )
711, 2, 3, 51, 56, 55, 52, 70tgbtwncom 23600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( e
I B ) )
7235ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  E  e.  P )
7333ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  F  e.  ( E I K ) )
74 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( E I f ) )
751, 2, 3, 51, 72, 60, 59, 57, 73, 74tgbtwnexch3 23606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( F I f ) )
761, 2, 3, 51, 60, 59, 57, 75tgbtwncom 23600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( f
I F ) )
77 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( K  .-  f
)  =  ( C 
.-  e ) )
7877eqcomd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  e
)  =  ( K 
.-  f ) )
791, 2, 3, 51, 55, 52, 59, 57, 78tgcgrcomlr 23592 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( e  .-  C
)  =  ( f 
.-  K ) )
80 tgifscgr.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
8180ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
821, 2, 3, 51, 56, 55, 60, 59, 81tgcgrcomlr 23592 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  B
)  =  ( K 
.-  F ) )
83 simp-5r 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  A  =/=  C )
8440ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
85 tgifscgr.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
8685ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
8727ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
881, 2, 3, 51, 67, 55, 52, 72, 59, 57, 61, 62, 83, 69, 74, 84, 78, 86, 87axtg5seg 23583 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( e  .-  D
)  =  ( f 
.-  H ) )
891, 2, 3, 51, 52, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 71, 76, 79, 82, 88, 87axtg5seg 23583 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )
9035ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  E  e.  P
)
91 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  e  e.  P
)
921, 2, 3, 50, 90, 58, 54, 91axtgsegcon 23582 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  E. f  e.  P  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K  .-  f )  =  ( C  .-  e ) ) )
9389, 92r19.29a 2996 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
94 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
951, 2, 3, 49, 66, 53, 94tgbtwndiff 23618 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  E. e  e.  P  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )
9693, 95r19.29a 2996 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H
) )
97 exmidne 2665 . . . 4  |-  ( A  =  C  \/  A  =/=  C )
9897a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( A  =  C  \/  A  =/=  C ) )
9948, 96, 98mpjaodan 784 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
1001, 37tgldimor 23614 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
10115, 99, 100mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  ( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482    <_ cle 9618   2c2 10574   #chash 12360   Basecbs 14479   distcds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361  df-trkgc 23565  df-trkgb 23566  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571
This theorem is referenced by:  tgcgrsub  23622  tgbtwnxfr  23639  tgfscgr  23675  tgbtwnconn1lem3  23681  miriso  23756  krippenlem  23768  midexlem  23770  colperpexlem1  23802  mideulem  23806
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