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Theorem tgifscgr 24540
Description: Inner five segment congruence. Take two triangles,  A D C and  E H K, with 
B between  A and  C and  F between  E and  K. If the other components of the triangles are congruent, then so are  B D and  F H. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgbtwncgr.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgbtwncgr.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgbtwncgr.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgbtwncgr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgbtwncgr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgbtwncgr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgbtwncgr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgifscgr.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
tgifscgr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgifscgr.g  |-  ( ph  ->  K  e.  P )
tgifscgr.h  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
tgifscgr.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
tgifscgr.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( E I K ) )
tgifscgr.3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
tgifscgr.4  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
tgifscgr.5  |-  ( ph  ->  ( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
tgifscgr.6  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
Assertion
Ref Expression
tgifscgr  |-  ( ph  ->  ( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )

Proof of Theorem tgifscgr
Dummy variables  e 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tgbtwncgr.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 tgbtwncgr.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 tgbtwncgr.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
6 tgbtwncgr.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
76adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
8 tgbtwncgr.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
10 tgifscgr.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1110adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  F  e.  P
)
12 simpr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
13 tgifscgr.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
1413adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  H  e.  P
)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14tgldim0cgr 24536 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
16 tgifscgr.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
1716ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( C  .-  D )  =  ( K  .-  H
) )
184ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
19 tgbtwncgr.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
2019ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  C  e.  P )
216ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  P )
22 tgifscgr.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
2322ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  ( A I C ) )
24 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  A  =  C )
2524oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A I C )  =  ( C I C ) )
2623, 25eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  ( C I C ) )
271, 2, 3, 18, 20, 21, 26axtgbtwnid 24501 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  C  =  B )
2827oveq1d 6317 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( C  .-  D )  =  ( B  .-  D
) )
29 tgifscgr.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  P )
3029ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  K  e.  P )
3110ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  P )
32 tgifscgr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( E I K ) )
3332ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  ( E I K ) )
34 tgifscgr.e . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
3534ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  E  e.  P )
36 tgbtwncgr.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
3736ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  P )
3824oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A  .-  A )  =  ( A  .-  C
) )
39 tgifscgr.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
4039ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A  .-  C )  =  ( E  .-  K
) )
4138, 40eqtr2d 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( E  .-  K )  =  ( A  .-  A
) )
421, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41axtgcgrid 24498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  E  =  K )
4342oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( E I K )  =  ( K I K ) )
4433, 43eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  ( K I K ) )
451, 2, 3, 18, 30, 31, 44axtgbtwnid 24501 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  K  =  F )
4645oveq1d 6317 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( K  .-  H )  =  ( F  .-  H
) )
4717, 28, 463eqtr3d 2471 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H
) )
484ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
4948ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  G  e. TarskiG )
5049ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  G  e. TarskiG )
51 simp-4r 775 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
e  e.  P )
5219ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  P )
5352ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  C  e.  P
)
5453ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  P )
556ad6antr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  B  e.  P )
56 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
f  e.  P )
5729ad4antr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  K  e.  P
)
5857ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  P )
5910ad6antr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  F  e.  P )
608ad6antr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  D  e.  P )
6113ad6antr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  H  e.  P )
62 simpllr 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e
) )
6362simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  =/=  e )
6463necomd 2695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
e  =/=  C )
6536ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  P )
6665ad4antr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  A  e.  P )
6722ad6antr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  B  e.  ( A I C ) )
6862simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( A I e ) )
691, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68tgbtwnexch3 24525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( B I e ) )
701, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69tgbtwncom 24519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( e
I B ) )
7134ad6antr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  E  e.  P )
7232ad6antr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  F  e.  ( E I K ) )
73 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( E I f ) )
741, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73tgbtwnexch3 24525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( F I f ) )
751, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74tgbtwncom 24519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( f
I F ) )
76 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( K  .-  f
)  =  ( C 
.-  e ) )
7776eqcomd 2430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  e
)  =  ( K 
.-  f ) )
781, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77tgcgrcomlr 24511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( e  .-  C
)  =  ( f 
.-  K ) )
79 tgifscgr.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
8079ad6antr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
811, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80tgcgrcomlr 24511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  B
)  =  ( K 
.-  F ) )
82 simp-5r 777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  A  =/=  C )
8339ad6antr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
84 tgifscgr.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
8584ad6antr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
8616ad6antr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
871, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86axtg5seg 24500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( e  .-  D
)  =  ( f 
.-  H ) )
881, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86axtg5seg 24500 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )
8934ad4antr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  E  e.  P
)
90 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  e  e.  P
)
911, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90axtgsegcon 24499 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  E. f  e.  P  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K  .-  f )  =  ( C  .-  e ) ) )
9288, 91r19.29a 2970 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
93 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
941, 2, 3, 48, 65, 52, 93tgbtwndiff 24537 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  E. e  e.  P  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )
9592, 94r19.29a 2970 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H
) )
9647, 95pm2.61dane 2742 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
971, 36tgldimor 24533 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
9815, 96, 97mpjaodan 793 1  |-  ( ph  ->  ( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   1c1 9541    <_ cle 9677   2c2 10660   #chash 12515   Basecbs 15109   distcds 15187  TarskiGcstrkg 24465  Itvcitv 24471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-hash 12516  df-trkgc 24483  df-trkgb 24484  df-trkgcb 24485  df-trkg 24488
This theorem is referenced by:  tgcgrsub  24541  tgbtwnxfr  24562  tgfscgr  24600  tgbtwnconn1lem3  24606  miriso  24702  krippenlem  24722  midexlem  24724  colperpexlem1  24759  opphllem  24764
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