Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgifscgr Structured version   Unicode version

Theorem tgifscgr 23621
 Description: Inner five segment congruence. Take two triangles, and , with between and and between and . If the other components of the triangles are congruent, then so are and . Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p
tgbtwncgr.m
tgbtwncgr.i Itv
tgbtwncgr.g TarskiG
tgbtwncgr.a
tgbtwncgr.b
tgbtwncgr.c
tgbtwncgr.d
tgifscgr.e
tgifscgr.f
tgifscgr.g
tgifscgr.h
tgifscgr.1
tgifscgr.2
tgifscgr.3
tgifscgr.4
tgifscgr.5
tgifscgr.6
Assertion
Ref Expression
tgifscgr

Proof of Theorem tgifscgr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . . 3
2 tgbtwncgr.m . . 3
3 tgbtwncgr.i . . 3 Itv
4 tgbtwncgr.g . . . 4 TarskiG
54adantr 465 . . 3 TarskiG
6 tgbtwncgr.b . . . 4
8 tgbtwncgr.d . . . 4
10 tgifscgr.f . . . 4
12 simpr 461 . . 3
13 tgifscgr.h . . . 4
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14tgldim0cgr 23617 . 2
164ad2antrr 725 . . . . . . 7 TarskiG
17 tgbtwncgr.c . . . . . . . 8
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7
196ad2antrr 725 . . . . . . 7
20 tgifscgr.1 . . . . . . . . 9
2120ad2antrr 725 . . . . . . . 8
22 simpr 461 . . . . . . . . 9
2322oveq1d 6290 . . . . . . . 8
2421, 23eleqtrd 2550 . . . . . . 7
251, 2, 3, 16, 18, 19, 24axtgbtwnid 23584 . . . . . 6
2625oveq1d 6290 . . . . 5
27 tgifscgr.6 . . . . . 6
2827ad2antrr 725 . . . . 5
2926, 28eqtr3d 2503 . . . 4
30 tgifscgr.g . . . . . . 7
3130ad2antrr 725 . . . . . 6
3210ad2antrr 725 . . . . . 6
33 tgifscgr.2 . . . . . . . 8
3433ad2antrr 725 . . . . . . 7
35 tgifscgr.e . . . . . . . . . 10
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
37 tgbtwncgr.a . . . . . . . . . 10
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
3922oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10
40 tgifscgr.3 . . . . . . . . . . 11
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
4239, 41eqtr2d 2502 . . . . . . . . 9
431, 2, 3, 16, 36, 31, 38, 42axtgcgrid 23581 . . . . . . . 8
4443oveq1d 6290 . . . . . . 7
4534, 44eleqtrd 2550 . . . . . 6
461, 2, 3, 16, 31, 32, 45axtgbtwnid 23584 . . . . 5
4746oveq1d 6290 . . . 4
4829, 47eqtrd 2501 . . 3
494ad2antrr 725 . . . . . . . 8 TarskiG
5049ad2antrr 725 . . . . . . 7 TarskiG
5150ad2antrr 725 . . . . . 6 TarskiG
52 simp-4r 766 . . . . . 6
5317ad2antrr 725 . . . . . . . 8
5453ad2antrr 725 . . . . . . 7
5554ad2antrr 725 . . . . . 6
566ad6antr 735 . . . . . 6
57 simplr 754 . . . . . 6
5830ad4antr 731 . . . . . . 7
5958ad2antrr 725 . . . . . 6
6010ad6antr 735 . . . . . 6
618ad6antr 735 . . . . . 6
6213ad6antr 735 . . . . . 6
63 simpllr 758 . . . . . . . 8
6463simprd 463 . . . . . . 7
6564necomd 2731 . . . . . 6
6637ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
6766ad4antr 731 . . . . . . . 8
6820ad6antr 735 . . . . . . . 8
6963simpld 459 . . . . . . . 8
701, 2, 3, 51, 67, 56, 55, 52, 68, 69tgbtwnexch3 23606 . . . . . . 7
711, 2, 3, 51, 56, 55, 52, 70tgbtwncom 23600 . . . . . 6
7235ad6antr 735 . . . . . . . 8
7333ad6antr 735 . . . . . . . 8
74 simprl 755 . . . . . . . 8
751, 2, 3, 51, 72, 60, 59, 57, 73, 74tgbtwnexch3 23606 . . . . . . 7
761, 2, 3, 51, 60, 59, 57, 75tgbtwncom 23600 . . . . . 6
77 simprr 756 . . . . . . . 8
7877eqcomd 2468 . . . . . . 7
791, 2, 3, 51, 55, 52, 59, 57, 78tgcgrcomlr 23592 . . . . . 6
80 tgifscgr.4 . . . . . . . 8
8180ad6antr 735 . . . . . . 7
821, 2, 3, 51, 56, 55, 60, 59, 81tgcgrcomlr 23592 . . . . . 6
83 simp-5r 768 . . . . . . 7
8440ad6antr 735 . . . . . . 7
85 tgifscgr.5 . . . . . . . 8
8685ad6antr 735 . . . . . . 7
8727ad6antr 735 . . . . . . 7
881, 2, 3, 51, 67, 55, 52, 72, 59, 57, 61, 62, 83, 69, 74, 84, 78, 86, 87axtg5seg 23583 . . . . . 6
891, 2, 3, 51, 52, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 71, 76, 79, 82, 88, 87axtg5seg 23583 . . . . 5
9035ad4antr 731 . . . . . 6
91 simplr 754 . . . . . 6
921, 2, 3, 50, 90, 58, 54, 91axtgsegcon 23582 . . . . 5
9389, 92r19.29a 2996 . . . 4
94 simplr 754 . . . . 5
951, 2, 3, 49, 66, 53, 94tgbtwndiff 23618 . . . 4
9693, 95r19.29a 2996 . . 3
97 exmidne 2665 . . . 4
9897a1i 11 . . 3
9948, 96, 98mpjaodan 784 . 2
1001, 37tgldimor 23614 . 2
10115, 99, 100mpjaodan 784 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   wceq 1374   wcel 1762   wne 2655   class class class wbr 4440  cfv 5579  (class class class)co 6275  c1 9482   cle 9618  c2 10574  chash 12360  cbs 14479  cds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361  df-trkgc 23565  df-trkgb 23566  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571 This theorem is referenced by:  tgcgrsub  23622  tgbtwnxfr  23639  tgfscgr  23675  tgbtwnconn1lem3  23681  miriso  23756  krippenlem  23768  midexlem  23770  colperpexlem1  23802  mideulem  23806
 Copyright terms: Public domain W3C validator