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Theorem tgifscgr 23772
Description: Inner five segment congruence. Take two triangles,  A D C and  E H K, with 
B between  A and  C and  F between  E and  K. If the other components of the triangles are congruent, then so are  B D and  F H. Theorem 4.2 of [Schwabhauser] p. 34. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgbtwncgr.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgbtwncgr.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgbtwncgr.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgbtwncgr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgbtwncgr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgbtwncgr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgbtwncgr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgifscgr.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
tgifscgr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgifscgr.g  |-  ( ph  ->  K  e.  P )
tgifscgr.h  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
tgifscgr.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
tgifscgr.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( E I K ) )
tgifscgr.3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
tgifscgr.4  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
tgifscgr.5  |-  ( ph  ->  ( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
tgifscgr.6  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
Assertion
Ref Expression
tgifscgr  |-  ( ph  ->  ( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )

Proof of Theorem tgifscgr
Dummy variables  e 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tgbtwncgr.m . . 3  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 tgbtwncgr.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 tgbtwncgr.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
6 tgbtwncgr.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
76adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
8 tgbtwncgr.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
10 tgifscgr.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  F  e.  P
)
12 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
13 tgifscgr.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
1413adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  H  e.  P
)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14tgldim0cgr 23768 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
16 tgifscgr.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
1716ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( C  .-  D )  =  ( K  .-  H
) )
184ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  G  e. TarskiG )
19 tgbtwncgr.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
2019ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  C  e.  P )
216ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  P )
22 tgifscgr.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
2322ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  ( A I C ) )
24 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  A  =  C )
2524oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A I C )  =  ( C I C ) )
2623, 25eleqtrd 2533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  B  e.  ( C I C ) )
271, 2, 3, 18, 20, 21, 26axtgbtwnid 23735 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  C  =  B )
2827oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( C  .-  D )  =  ( B  .-  D
) )
29 tgifscgr.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  P )
3029ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  K  e.  P )
3110ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  P )
32 tgifscgr.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( E I K ) )
3332ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  ( E I K ) )
34 tgifscgr.e . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  E  e.  P )
36 tgbtwncgr.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  A  e.  P )
3824oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A  .-  A )  =  ( A  .-  C
) )
39 tgifscgr.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( A  .-  C )  =  ( E  .-  K
) )
4138, 40eqtr2d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( E  .-  K )  =  ( A  .-  A
) )
421, 2, 3, 18, 35, 30, 37, 41axtgcgrid 23732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  E  =  K )
4342oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( E I K )  =  ( K I K ) )
4433, 43eleqtrd 2533 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  F  e.  ( K I K ) )
451, 2, 3, 18, 30, 31, 44axtgbtwnid 23735 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  K  =  F )
4645oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( K  .-  H )  =  ( F  .-  H
) )
4717, 28, 463eqtr3d 2492 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H
) )
484ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  G  e. TarskiG )
4948ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  G  e. TarskiG )
5049ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  G  e. TarskiG )
51 simp-4r 768 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
e  e.  P )
5219ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  C  e.  P )
5352ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  C  e.  P
)
5453ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  P )
556ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  B  e.  P )
56 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
f  e.  P )
5729ad4antr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  K  e.  P
)
5857ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  P )
5910ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  F  e.  P )
608ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  D  e.  P )
6113ad6antr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  H  e.  P )
62 simpllr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e
) )
6362simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  =/=  e )
6463necomd 2714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
e  =/=  C )
6536ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  A  e.  P )
6665ad4antr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  A  e.  P )
6722ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  B  e.  ( A I C ) )
6862simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( A I e ) )
691, 2, 3, 50, 66, 55, 54, 51, 67, 68tgbtwnexch3 23757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( B I e ) )
701, 2, 3, 50, 55, 54, 51, 69tgbtwncom 23751 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  C  e.  ( e
I B ) )
7134ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  E  e.  P )
7232ad6antr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  F  e.  ( E I K ) )
73 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( E I f ) )
741, 2, 3, 50, 71, 59, 58, 56, 72, 73tgbtwnexch3 23757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( F I f ) )
751, 2, 3, 50, 59, 58, 56, 74tgbtwncom 23751 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  K  e.  ( f
I F ) )
76 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( K  .-  f
)  =  ( C 
.-  e ) )
7776eqcomd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  e
)  =  ( K 
.-  f ) )
781, 2, 3, 50, 54, 51, 58, 56, 77tgcgrcomlr 23743 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( e  .-  C
)  =  ( f 
.-  K ) )
79 tgifscgr.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
8079ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( B  .-  C
)  =  ( F 
.-  K ) )
811, 2, 3, 50, 55, 54, 59, 58, 80tgcgrcomlr 23743 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  B
)  =  ( K 
.-  F ) )
82 simp-5r 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  ->  A  =/=  C )
8339ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( A  .-  C
)  =  ( E 
.-  K ) )
84 tgifscgr.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
8584ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( A  .-  D
)  =  ( E 
.-  H ) )
8616ad6antr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( C  .-  D
)  =  ( K 
.-  H ) )
871, 2, 3, 50, 66, 54, 51, 71, 58, 56, 60, 61, 82, 68, 73, 83, 77, 85, 86axtg5seg 23734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( e  .-  D
)  =  ( f 
.-  H ) )
881, 2, 3, 50, 51, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 64, 70, 75, 78, 81, 87, 86axtg5seg 23734 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  /\  f  e.  P
)  /\  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K 
.-  f )  =  ( C  .-  e
) ) )  -> 
( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )
8934ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  E  e.  P
)
90 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  e  e.  P
)
911, 2, 3, 49, 89, 57, 53, 90axtgsegcon 23733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  E. f  e.  P  ( K  e.  ( E I f )  /\  ( K  .-  f )  =  ( C  .-  e ) ) )
9288, 91r19.29a 2985 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  /\  e  e.  P )  /\  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
93 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
941, 2, 3, 48, 65, 52, 93tgbtwndiff 23769 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  E. e  e.  P  ( C  e.  ( A I e )  /\  C  =/=  e ) )
9592, 94r19.29a 2985 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  A  =/=  C )  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H
) )
9647, 95pm2.61dane 2761 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( B  .-  D )  =  ( F  .-  H ) )
971, 36tgldimor 23765 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
9815, 96, 97mpjaodan 786 1  |-  ( ph  ->  ( B  .-  D
)  =  ( F 
.-  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496    <_ cle 9632   2c2 10591   #chash 12384   Basecbs 14509   distcds 14583  TarskiGcstrkg 23697  Itvcitv 23704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-hash 12385  df-trkgc 23716  df-trkgb 23717  df-trkgcb 23718  df-trkg 23722
This theorem is referenced by:  tgcgrsub  23773  tgbtwnxfr  23790  tgfscgr  23827  tgbtwnconn1lem3  23833  miriso  23922  krippenlem  23939  midexlem  23941  colperpexlem1  23976  opphllem  23981
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