Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tghilberti2 Structured version   Unicode version

Theorem tghilberti2 24681
 Description: There is at most one line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.2 for geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p
tglineelsb2.i Itv
tglineelsb2.l LineG
tglineelsb2.g TarskiG
tglineelsb2.1
tglineelsb2.2
tglineelsb2.4
Assertion
Ref Expression
tghilberti2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tghilberti2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . . . 6
2 tglineelsb2.i . . . . . 6 Itv
3 tglineelsb2.l . . . . . 6 LineG
4 tglineelsb2.g . . . . . . 7 TarskiG
543ad2ant1 1026 . . . . . 6 TarskiG
6 tglineelsb2.1 . . . . . . 7
763ad2ant1 1026 . . . . . 6
8 tglineelsb2.2 . . . . . . 7
983ad2ant1 1026 . . . . . 6
10 tglineelsb2.4 . . . . . . 7
11103ad2ant1 1026 . . . . . 6
12 simp2l 1031 . . . . . 6
13 simp3ll 1076 . . . . . 6
14 simp3lr 1077 . . . . . 6
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 11, 12, 13, 14tglinethru 24679 . . . . 5
16 simp2r 1032 . . . . . 6
17 simp3rl 1078 . . . . . 6
18 simp3rr 1079 . . . . . 6
191, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 11, 16, 17, 18tglinethru 24679 . . . . 5
2015, 19eqtr4d 2466 . . . 4
21203expia 1207 . . 3
2221ralrimivva 2843 . 2
23 eleq2 2496 . . . 4
24 eleq2 2496 . . . 4
2523, 24anbi12d 715 . . 3
2625rmo4 3263 . 2
2722, 26sylibr 215 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrmo 2774   crn 4854  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15120  TarskiGcstrkg 24476  Itvcitv 24482  LineGclng 24483 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12522  df-word 12668  df-concat 12670  df-s1 12671  df-s2 12946  df-s3 12947  df-trkgc 24494  df-trkgb 24495  df-trkgcb 24496  df-trkg 24499  df-cgrg 24554 This theorem is referenced by:  tglinethrueu  24682
 Copyright terms: Public domain W3C validator