MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfiss Structured version   Unicode version

Theorem tgfiss 19254
Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgfiss  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  J )

Proof of Theorem tgfiss
StepHypRef Expression
1 fiss 7875 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  J ) )
2 fitop 19171 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( fi `  J )  =  J )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  J
)  =  J )
41, 3sseqtrd 3535 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  A
)  C_  J )
5 tgss 19231 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( fi `  A ) 
C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  ( topGen `  J )
)
64, 5syldan 470 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  ( topGen `  J )
)
7 tgtop 19236 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  J )  =  J )
96, 8sseqtrd 3535 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   ` cfv 5581   ficfi 7861   topGenctg 14684   Topctop 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-fin 7512  df-fi 7862  df-topgen 14690  df-top 19161
This theorem is referenced by:  ordtrest  19464  ordtrest2  19466  lecldbas  19481  xkoptsub  19885  xkopt  19886  ordtrestNEW  27527  ordtrest2NEW  27529  topjoin  29775
  Copyright terms: Public domain W3C validator