MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgfiss Structured version   Unicode version

Theorem tgfiss 19783
Description: If a subbase is included into a topology, so is the generated topology. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgfiss  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  J )

Proof of Theorem tgfiss
StepHypRef Expression
1 fiss 7917 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  J ) )
2 fitop 19699 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( fi `  J )  =  J )
32adantr 463 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  J
)  =  J )
41, 3sseqtrd 3477 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( fi `  A
)  C_  J )
5 tgss 19760 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( fi `  A ) 
C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  ( topGen `  J )
)
64, 5syldan 468 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  ( topGen `  J )
)
7 tgtop 19765 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
87adantr 463 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  J )  =  J )
96, 8sseqtrd 3477 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  J )  -> 
( topGen `  ( fi `  A ) )  C_  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   ` cfv 5568   ficfi 7903   topGenctg 15050   Topctop 19684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-fin 7557  df-fi 7904  df-topgen 15056  df-top 19689
This theorem is referenced by:  ordtrest  19994  ordtrest2  19996  lecldbas  20011  xkoptsub  20445  xkopt  20446  ordtrestNEW  28342  ordtrest2NEW  28344  topjoin  30580
  Copyright terms: Public domain W3C validator