MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdif0 Structured version   Unicode version

Theorem tgdif0 18732
Description: A generated topology is not affected by the addition or removal of the empty set from the base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgdif0  |-  ( topGen `  ( B  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  B )

Proof of Theorem tgdif0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indif1 3705 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { (/) } )  i^i  ~P x
)  =  ( ( B  i^i  ~P x
)  \  { (/) } )
21unieqi 4211 . . . . . 6  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x )  =  U. ( ( B  i^i  ~P x )  \  { (/)
} )
3 unidif0 4576 . . . . . 6  |-  U. (
( B  i^i  ~P x )  \  { (/)
} )  =  U. ( B  i^i  ~P x
)
42, 3eqtri 2483 . . . . 5  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x )  =  U. ( B  i^i  ~P x
)
54sseq2i 3492 . . . 4  |-  ( x 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P x )  <-> 
x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
65abbii 2588 . . 3  |-  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) }  =  { x  |  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) }
7 difexg 4551 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { (/) } )  e.  _V )
8 tgval 18695 . . . 4  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) } )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 ( B  \  { (/) } ) )  =  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) } )
10 tgval 18695 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x ) } )
116, 9, 103eqtr4a 2521 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 ( B  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  B
) )
12 ssun1 3630 . . . . . . 7  |-  B  C_  ( B  u.  { (/) } )
13 undif1 3865 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( B  u.  { (/) } )
1412, 13sseqtr4i 3500 . . . . . 6  |-  B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
15 p0ex 4590 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  _V
16 unexg 6494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  \  { (/)
} )  e.  _V  /\ 
{ (/) }  e.  _V )  ->  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )
1715, 16mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( B  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  e.  _V )
18 ssexg 4549 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  /\  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
1914, 17, 18sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  B  e.  _V )
2019con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  -.  ( B  \  { (/)
} )  e.  _V )
21 fvprc 5796 . . . 4  |-  ( -.  ( B  \  { (/)
} )  e.  _V  ->  ( topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  (/) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  (/) )
23 fvprc 5796 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  B )  =  (/) )
2422, 23eqtr4d 2498 . 2  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  B
) )
2511, 24pm2.61i 164 1  |-  ( topGen `  ( B  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   U.cuni 4202   ` cfv 5529   topGenctg 14498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-topgen 14504
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  20239
  Copyright terms: Public domain W3C validator