MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdif0 Structured version   Unicode version

Theorem tgdif0 18572
Description: A generated topology is not affected by the addition or removal of the empty set from the base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgdif0  |-  ( topGen `  ( B  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  B )

Proof of Theorem tgdif0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indif1 3589 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { (/) } )  i^i  ~P x
)  =  ( ( B  i^i  ~P x
)  \  { (/) } )
21unieqi 4095 . . . . . 6  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x )  =  U. ( ( B  i^i  ~P x )  \  { (/)
} )
3 unidif0 4460 . . . . . 6  |-  U. (
( B  i^i  ~P x )  \  { (/)
} )  =  U. ( B  i^i  ~P x
)
42, 3eqtri 2458 . . . . 5  |-  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x )  =  U. ( B  i^i  ~P x
)
54sseq2i 3376 . . . 4  |-  ( x 
C_  U. ( ( B 
\  { (/) } )  i^i  ~P x )  <-> 
x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
65abbii 2550 . . 3  |-  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) }  =  { x  |  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) }
7 difexg 4435 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  \  { (/) } )  e.  _V )
8 tgval 18535 . . . 4  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) } )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 ( B  \  { (/) } ) )  =  { x  |  x  C_  U. (
( B  \  { (/)
} )  i^i  ~P x ) } )
10 tgval 18535 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x ) } )
116, 9, 103eqtr4a 2496 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  ( topGen `
 ( B  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  B
) )
12 ssun1 3514 . . . . . . 7  |-  B  C_  ( B  u.  { (/) } )
13 undif1 3749 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( B  u.  { (/) } )
1412, 13sseqtr4i 3384 . . . . . 6  |-  B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u. 
{ (/) } )
15 p0ex 4474 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  _V
16 unexg 6376 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  \  { (/)
} )  e.  _V  /\ 
{ (/) }  e.  _V )  ->  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )
1715, 16mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( B  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  e.  _V )
18 ssexg 4433 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( ( B  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  /\  ( ( B 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
1914, 17, 18sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( B  \  { (/) } )  e.  _V  ->  B  e.  _V )
2019con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  -.  ( B  \  { (/)
} )  e.  _V )
21 fvprc 5680 . . . 4  |-  ( -.  ( B  \  { (/)
} )  e.  _V  ->  ( topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  (/) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  (/) )
23 fvprc 5680 . . 3  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  B )  =  (/) )
2422, 23eqtr4d 2473 . 2  |-  ( -.  B  e.  _V  ->  (
topGen `  ( B  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  B
) )
2511, 24pm2.61i 164 1  |-  ( topGen `  ( B  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2424   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U.cuni 4086   ` cfv 5413   topGenctg 14368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-topgen 14374
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  20079
  Copyright terms: Public domain W3C validator