Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcolg Structured version   Unicode version

Theorem tgcolg 24324
 Description: We choose the notation instead of "colinear" in order to avoid defining an additional symbol for colinearity because LineG is a common structure slot for other axiomatizations of geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p
tglngval.l LineG
tglngval.i Itv
tglngval.g TarskiG
tglngval.x
tglngval.y
tgcolg.z
Assertion
Ref Expression
tgcolg

Proof of Theorem tgcolg
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4
21olcd 391 . . 3
3 tglngval.p . . . . . 6
4 eqid 2402 . . . . . 6
5 tglngval.i . . . . . 6 Itv
6 tglngval.g . . . . . . 7 TarskiG
76adantr 463 . . . . . 6 TarskiG
8 tgcolg.z . . . . . . 7
98adantr 463 . . . . . 6
10 tglngval.x . . . . . . 7
1110adantr 463 . . . . . 6
123, 4, 5, 7, 9, 11tgbtwntriv2 24259 . . . . 5
131oveq2d 6294 . . . . 5
1412, 13eleqtrd 2492 . . . 4
15143mix2d 1173 . . 3
162, 152thd 240 . 2
17 simpr 459 . . . . . 6
1817neneqd 2605 . . . . 5
19 biorf 403 . . . . 5
2018, 19syl 17 . . . 4
21 orcom 385 . . . 4
2220, 21syl6bb 261 . . 3
23 tglngval.l . . . 4 LineG
246adantr 463 . . . 4 TarskiG
2510adantr 463 . . . 4
26 tglngval.y . . . . 5
2726adantr 463 . . . 4
288adantr 463 . . . 4
293, 23, 5, 24, 25, 27, 17, 28tgellng 24323 . . 3
3022, 29bitr3d 255 . 2
3116, 30pm2.61dane 2721 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   w3o 973   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  cfv 5569  (class class class)co 6278  cbs 14841  cds 14918  TarskiGcstrkg 24206  Itvcitv 24212  LineGclng 24213 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-trkgc 24224  df-trkgcb 24226  df-trkg 24229 This theorem is referenced by:  btwncolg1  24325  btwncolg2  24326  btwncolg3  24327  colcom  24328  colrot1  24329  lnxfr  24336  lnext  24337  tgfscgr  24338  tglowdim2l  24416
 Copyright terms: Public domain W3C validator