MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcnp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tgcnp 20269
Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
tgcn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
tgcn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
tgcnp.5  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tgcnp  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, J, y    x, K, y   
x, P, y    ph, x    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 tgcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 tgcnp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
4 iscnp 20253 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
7 topontop 19941 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
82, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
96, 8eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( topGen `  B )  e.  Top )
10 tgclb 19986 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
119, 10sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
12 bastg 19981 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1311, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
1413, 6sseqtr4d 3469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  K )
15 ssralv 3493 . . . . 5  |-  ( B 
C_  K  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) )
1614, 15syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
1716anim2d 569 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
185, 17sylbid 219 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
196eleq2d 2514 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  K  <->  z  e.  ( topGen `  B
) ) )
2019biimpa 487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  K )  ->  z  e.  ( topGen `  B )
)
21 tg2 19980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( topGen `  B )  /\  ( F `  P )  e.  z )  ->  E. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )
22 r19.29 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  E. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. y  e.  B  ( ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z
) ) )
23 sstr 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F " x
)  C_  y  /\  y  C_  z )  -> 
( F " x
)  C_  z )
2423expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " x ) 
C_  z ) )
2524anim2d 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
2625reximdv 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  z  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( y  C_  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
2827imim2i 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  ( ( F `  P )  e.  y  ->  ( y 
C_  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
2928imp32 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
)
3029rexlimivw 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  B  ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
)
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  E. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
)
3231expcom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  B  ( ( F `  P
)  e.  y  /\  y  C_  z )  -> 
( A. y  e.  B  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
3321, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( topGen `  B )  /\  ( F `  P )  e.  z )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) )
3433ex 436 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( ( F `  P )  e.  z  ->  ( A. y  e.  B  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
3534com23 81 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( A. y  e.  B  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
3620, 35syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  K )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
3736ralrimdva 2806 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  A. z  e.  K  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) ) )
3837anim2d 569 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. z  e.  K  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) ) )
39 iscnp 20253 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. z  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) ) )
401, 2, 3, 39syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) ) ) )
4138, 40sylibrd 238 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
) )
4218, 41impbid 194 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   "cima 4837   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   topGenctg 15336   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   TopBasesctb 19920    CnP ccnp 20241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cnp 20244
This theorem is referenced by:  txcnp  20635  ptcnp  20637  metcnp3  21555
  Copyright terms: Public domain W3C validator