Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcnp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tgcnp 20269
 Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 TopOn
tgcn.3
tgcn.4 TopOn
tgcnp.5
Assertion
Ref Expression
tgcnp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4 TopOn
2 tgcn.4 . . . 4 TopOn
3 tgcnp.5 . . . 4
4 iscnp 20253 . . . 4 TopOn TopOn
51, 2, 3, 4syl3anc 1268 . . 3
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9
7 topontop 19941 . . . . . . . . . 10 TopOn
82, 7syl 17 . . . . . . . . 9
96, 8eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8
10 tgclb 19986 . . . . . . . 8
119, 10sylibr 216 . . . . . . 7
12 bastg 19981 . . . . . . 7
1311, 12syl 17 . . . . . 6
1413, 6sseqtr4d 3469 . . . . 5
15 ssralv 3493 . . . . 5
1614, 15syl 17 . . . 4
1716anim2d 569 . . 3
185, 17sylbid 219 . 2
196eleq2d 2514 . . . . . . 7
2019biimpa 487 . . . . . 6
21 tg2 19980 . . . . . . . . 9
22 r19.29 2925 . . . . . . . . . . 11
23 sstr 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2423expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524anim2d 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2625reximdv 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14
2827imim2i 16 . . . . . . . . . . . . 13
2928imp32 435 . . . . . . . . . . . 12
3029rexlimivw 2876 . . . . . . . . . . 11
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . 10
3231expcom 437 . . . . . . . . 9
3321, 32syl 17 . . . . . . . 8
3433ex 436 . . . . . . 7
3534com23 81 . . . . . 6
3620, 35syl 17 . . . . 5
3736ralrimdva 2806 . . . 4
3837anim2d 569 . . 3
39 iscnp 20253 . . . 4 TopOn TopOn
401, 2, 3, 39syl3anc 1268 . . 3
4138, 40sylibrd 238 . 2
4218, 41impbid 194 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   wss 3404  cima 4837  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  ctg 15336  ctop 19917  TopOnctopon 19918  ctb 19920   ccnp 20241 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cnp 20244 This theorem is referenced by:  txcnp  20635  ptcnp  20637  metcnp3  21555
 Copyright terms: Public domain W3C validator