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Theorem tgcnp 18826
Description: The "continuous at a point" predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
tgcn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
tgcn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
tgcnp.5  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
tgcnp  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, J, y    x, K, y   
x, P, y    ph, x    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem tgcnp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 tgcn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 tgcnp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
4 iscnp 18810 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
6 tgcn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
7 topontop 18500 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
82, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
96, 8eqeltrrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( topGen `  B )  e.  Top )
10 tgclb 18544 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
119, 10sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
12 bastg 18540 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
1413, 6sseqtr4d 3386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  K )
15 ssralv 3409 . . . . 5  |-  ( B 
C_  K  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
1716anim2d 565 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
185, 17sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
196eleq2d 2504 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  K  <->  z  e.  ( topGen `  B
) ) )
2019biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  K )  ->  z  e.  ( topGen `  B )
)
21 tg2 18539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ( topGen `  B )  /\  ( F `  P )  e.  z )  ->  E. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )
22 r19.29 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  E. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. y  e.  B  ( ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z
) ) )
23 sstr 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F " x
)  C_  y  /\  y  C_  z )  -> 
( F " x
)  C_  z )
2423expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " x ) 
C_  z ) )
2524anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  z  ->  (
( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
2625reximdv 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  z  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
2726com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( y  C_  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
2827imim2i 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  ( ( F `  P )  e.  y  ->  ( y 
C_  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
2928imp32 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
)
3029rexlimivw 2831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  B  ( ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
)
3122, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  /\  E. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  /\  y  C_  z ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
)
3231expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  B  ( ( F `  P
)  e.  y  /\  y  C_  z )  -> 
( A. y  e.  B  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) )
3321, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( topGen `  B )  /\  ( F `  P )  e.  z )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) )
3433ex 434 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( ( F `  P )  e.  z  ->  ( A. y  e.  B  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
3534com23 78 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( A. y  e.  B  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
3620, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  K )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  ->  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) )
3736ralrimdva 2800 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )  ->  A. z  e.  K  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) ) )
3837anim2d 565 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )  ->  ( F : X
--> Y  /\  A. z  e.  K  ( ( F `  P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) ) )
39 iscnp 18810 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. z  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  z ) ) ) ) )
401, 2, 3, 39syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  K  ( ( F `  P
)  e.  z  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  z )
) ) ) )
4138, 40sylibrd 234 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )
) )
4218, 41impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( ( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2709   E.wrex 2710    C_ wss 3321   "cima 4835   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   topGenctg 14368   Topctop 18467  TopOnctopon 18468   TopBasesctb 18471    CnP ccnp 18798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-fv 5419  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-map 7208  df-topgen 14374  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-cnp 18801
This theorem is referenced by:  txcnp  19162  ptcnp  19164  metcnp3  20084
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