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Theorem tgcn 19547
Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
tgcn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
tgcn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
tgcn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, F    y, J    y, K    y, X    y, Y
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem tgcn
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 tgcn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 iscn 19530 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
5 tgcn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
6 topontop 19222 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
85, 7eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( topGen `  B )  e.  Top )
9 tgclb 19266 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
108, 9sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
11 bastg 19262 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
1312, 5sseqtr4d 3541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  K )
14 ssralv 3564 . . . . 5  |-  ( B 
C_  K  ->  ( A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
165eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  x  e.  ( topGen `  B
) ) )
17 eltg3 19258 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( x  e.  ( topGen `  B )  <->  E. z ( z  C_  B  /\  x  =  U. z ) ) )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
topGen `  B )  <->  E. z
( z  C_  B  /\  x  =  U. z ) ) )
1916, 18bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  E. z ( z  C_  B  /\  x  =  U. z ) ) )
20 ssralv 3564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
21 topontop 19222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
221, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
23 iunopn 19202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )  ->  U_ y  e.  z 
( `' F "
y )  e.  J
)
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  z 
( `' F "
y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
) )
2522, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
) )
2620, 25sylan9r 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
27 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  U. z  -> 
( `' F "
x )  =  ( `' F " U. z
) )
28 imauni 6146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " U. z
)  =  U_ y  e.  z  ( `' F " y )
2927, 28syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. z  -> 
( `' F "
x )  =  U_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
3029eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. z  -> 
( ( `' F " x )  e.  J  <->  U_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
3130imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. z  -> 
( ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J )  <->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
3226, 31syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  (
x  =  U. z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
3332expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  B  /\  x  =  U. z )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
3433exlimdv 1700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  C_  B  /\  x  =  U. z
)  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
3519, 34sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
3635imp 429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) )
3736ralrimdva 2882 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
38 imaeq2 5333 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " y ) )
3938eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " y )  e.  J ) )
4039cbvralv 3088 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  <->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )
4137, 40syl6ib 226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) )
4215, 41impbid 191 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J  <->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
4342anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
444, 43bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   U.cuni 4245   U_ciun 4325   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   topGenctg 14693   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   TopBasesctb 19193    Cn ccn 19519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cn 19522
This theorem is referenced by:  subbascn  19549  txcnmpt  19888  ismtyhmeolem  29931
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