MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgclb Structured version   Unicode version

Theorem tgclb 18693
Description: The property tgcl 18692 can be reversed: if the topology generated by  B is actually a topology, then 
B must be a topological basis. This yields an alternative definition of  TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 18692 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
2 0opn 18635 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  (/)  e.  ( topGen `  B ) )
32elfvexd 5819 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  _V )
4 bastg 18689 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
65sselda 3456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
)
75sselda 3456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( topGen `  B )
)
86, 7anim12dan 833 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `  B ) ) )
9 inopn 18630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  ( topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (
topGen `  B ) )
1093expb 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  ( topGen `  B
)  /\  y  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B )
)
118, 10syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B ) )
12 tg2 18688 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
1312ralrimiva 2822 . . . . 5  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B
)  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1514ralrimivva 2906 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
16 isbasis2g 18671 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
173, 16syl 16 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
1815, 17mpbird 232 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  TopBases )
191, 18impbii 188 1  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3070    i^i cin 3427    C_ wss 3428   (/)c0 3737   ` cfv 5518   topGenctg 14480   Topctop 18616   TopBasesctb 18620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fv 5526  df-topgen 14486  df-top 18621  df-bases 18623
This theorem is referenced by:  bastop2  18717  iocpnfordt  18937  icomnfordt  18938  iooordt  18939  tgcn  18974  tgcnp  18975  2ndcctbss  19177  2ndcomap  19180  dis2ndc  19182  flftg  19687  met2ndci  20215  xrtgioo  20501  topfneec  28703
  Copyright terms: Public domain W3C validator