MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgclb Structured version   Unicode version

Theorem tgclb 19231
Description: The property tgcl 19230 can be reversed: if the topology generated by  B is actually a topology, then 
B must be a topological basis. This yields an alternative definition of  TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 19230 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
2 0opn 19173 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  (/)  e.  ( topGen `  B ) )
32elfvexd 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  _V )
4 bastg 19227 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  _V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
65sselda 3497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
)
75sselda 3497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( topGen `  B )
)
86, 7anim12dan 834 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `  B ) ) )
9 inopn 19168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  x  e.  ( topGen `  B )  /\  y  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (
topGen `  B ) )
1093expb 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  ( topGen `  B
)  /\  y  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B )
)
118, 10syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B ) )
12 tg2 19226 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  ( topGen `  B )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
1312ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ( topGen `  B
)  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  Top  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
1514ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
16 isbasis2g 19209 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
173, 16syl 16 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  B  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
1815, 17mpbird 232 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top  ->  B  e.  TopBases )
191, 18impbii 188 1  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ` cfv 5579   topGenctg 14682   Topctop 19154   TopBasesctb 19158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161
This theorem is referenced by:  bastop2  19255  iocpnfordt  19475  icomnfordt  19476  iooordt  19477  tgcn  19512  tgcnp  19513  2ndcctbss  19715  2ndcomap  19718  dis2ndc  19720  flftg  20225  met2ndci  20753  xrtgioo  21039  topfneec  29614
  Copyright terms: Public domain W3C validator