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Theorem tgcl 20062
Description: Show that a basis generates a topology. Remark in [Munkres] p. 79. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgcl  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )

Proof of Theorem tgcl
Dummy variables  x  y  z  u  t 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4211 . . . . . . . 8  |-  ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
21adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
3 unitg 20059 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
43adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )
52, 4sseqtrd 3454 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. B )
6 eluni2 4194 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. u  <->  E. t  e.  u  x  e.  t )
7 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  ( topGen `  B )
)
8 eltg2b 20051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
9 rsp 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  -> 
( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
108, 9syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  ->  ( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) ) )
1110imp31 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  t  e.  ( topGen `  B ) )  /\  x  e.  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1211an32s 821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  t  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
137, 12sylan2 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  ( u  C_  ( topGen `
 B )  /\  t  e.  u )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1413an42s 843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
15 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  u  ->  t  C_ 
U. u )
16 sstr2 3425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  t  ->  (
t  C_  U. u  ->  y  C_  U. u
) )
1715, 16syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  u  ->  (
y  C_  t  ->  y 
C_  U. u ) )
1817anim2d 575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  u  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  t
)  ->  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
1918reximdv 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  u  ->  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2019ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  ( E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2114, 20mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
2221rexlimdvaa 2872 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( E. t  e.  u  x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
236, 22syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  U. u  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
2423ralrimiv 2808 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
255, 24jca 541 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2625ex 441 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) ) )
27 eltg2 20050 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( U. u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) ) )
2826, 27sylibrd 242 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) ) )
2928alrimiv 1781 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
) )
30 inss1 3643 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
31 tg1 20056 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  u  C_  U. B
)
3230, 31syl5ss 3429 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( u  i^i  v )  C_  U. B
)
3332ad2antrl 742 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
u  i^i  v )  C_ 
U. B )
34 eltg2 20050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( u  C_  U. B  /\  A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) ) )
3534simplbda 636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
36 rsp 2773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  -> 
( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
38 eltg2 20050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( v  e.  ( topGen `  B )  <->  ( v  C_  U. B  /\  A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
3938simplbda 636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  v  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )
40 rsp 2773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v )  -> 
( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4237, 41im2anan9 853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( x  e.  u  /\  x  e.  v
)  ->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
43 elin 3608 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( u  i^i  v )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  v ) )
44 reeanv 2944 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  <->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4542, 43, 443imtr4g 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
4645anandis 846 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
47 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  w ) )
4847biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  x  e.  ( z  i^i  w ) )
49 ss2in 3650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )
5048, 49anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w
)  /\  ( z  C_  u  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
5150an4s 842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
52 basis2 20043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  z  e.  B )  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  (
z  i^i  w )
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
5352adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  x  e.  ( z  i^i  w ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) ) )
5453adantrrr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
55 sstr2 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5655com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
t  C_  ( z  i^i  w )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5756anim2d 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
( x  e.  t  /\  t  C_  (
z  i^i  w )
)  ->  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5857reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5958adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
6059ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  ( E. t  e.  B  (
x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6154, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6251, 61sylanr2 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6362rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6463rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v
) )  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6564ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( x  e.  ( u  i^i  v
)  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6665a2d 28 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6766imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6846, 67syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6968ralrimiv 2808 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  A. x  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
7033, 69jca 541 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7170ex 441 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( (
u  i^i  v )  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) ) )
72 eltg2 20050 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )  <->  ( ( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
7371, 72sylibrd 242 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  (
topGen `  B ) ) )
7473ralrimivv 2813 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u  e.  (
topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `  B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )
)
75 fvex 5889 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
76 istopg 20002 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
_V  ->  ( ( topGen `  B )  e.  Top  <->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) )  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top 
<->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
)  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) )
7829, 74, 77sylanbrc 677 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   U.cuni 4190   ` cfv 5589   topGenctg 15414   Topctop 19994   TopBasesctb 19997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999
This theorem is referenced by:  tgclb  20063  tgtopon  20064  bastop  20074  elcls3  20176  resttop  20253  leordtval2  20305  tgcmp  20493  2ndctop  20539  2ndcsb  20541  2ndcsep  20551  txtop  20661  pttop  20674  xkotop  20680  alexsubALT  21144  retop  21860  onsuctop  31164  kelac2lem  35993
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