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Theorem tgcl 19265
Description: Show that a basis generates a topology. Remark in [Munkres] p. 79. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgcl  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )

Proof of Theorem tgcl
Dummy variables  x  y  z  u  t 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4266 . . . . . . . 8  |-  ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
21adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
3 unitg 19263 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )
52, 4sseqtrd 3540 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. B )
6 eluni2 4249 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. u  <->  E. t  e.  u  x  e.  t )
7 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  ( topGen `  B )
)
8 eltg2b 19255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
9 rsp 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  -> 
( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
108, 9syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  ->  ( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) ) )
1110imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  t  e.  ( topGen `  B ) )  /\  x  e.  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1211an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  t  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
137, 12sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  ( u  C_  ( topGen `
 B )  /\  t  e.  u )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1413an42s 825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
15 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  u  ->  t  C_ 
U. u )
16 sstr2 3511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  t  ->  (
t  C_  U. u  ->  y  C_  U. u
) )
1715, 16syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  u  ->  (
y  C_  t  ->  y 
C_  U. u ) )
1817anim2d 565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  u  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  t
)  ->  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
1918reximdv 2937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  u  ->  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  ( E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2114, 20mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
2221rexlimdvaa 2956 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( E. t  e.  u  x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
236, 22syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  U. u  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
2423ralrimiv 2876 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
255, 24jca 532 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2625ex 434 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) ) )
27 eltg2 19254 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( U. u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) ) )
2826, 27sylibrd 234 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) ) )
2928alrimiv 1695 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
) )
30 inss1 3718 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
31 tg1 19260 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  u  C_  U. B
)
3230, 31syl5ss 3515 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( u  i^i  v )  C_  U. B
)
3332ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
u  i^i  v )  C_ 
U. B )
34 eltg2 19254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( u  C_  U. B  /\  A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) ) )
3534simplbda 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
36 rsp 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  -> 
( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
38 eltg2 19254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( v  e.  ( topGen `  B )  <->  ( v  C_  U. B  /\  A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
3938simplbda 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  v  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )
40 rsp 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v )  -> 
( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4237, 41im2anan9 833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( x  e.  u  /\  x  e.  v
)  ->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
43 elin 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( u  i^i  v )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  v ) )
44 reeanv 3029 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  <->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4542, 43, 443imtr4g 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
4645anandis 828 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
47 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  w ) )
4847biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  x  e.  ( z  i^i  w ) )
49 ss2in 3725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )
5048, 49anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w
)  /\  ( z  C_  u  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
5150an4s 824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
52 basis2 19247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  z  e.  B )  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  (
z  i^i  w )
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
5352adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  x  e.  ( z  i^i  w ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) ) )
5453adantrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
55 sstr2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5655com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
t  C_  ( z  i^i  w )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5756anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
( x  e.  t  /\  t  C_  (
z  i^i  w )
)  ->  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5857reximdv 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  ( E. t  e.  B  (
x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6154, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6251, 61sylanr2 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6362rexlimdvaa 2956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6463rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v
) )  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6564ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( x  e.  ( u  i^i  v
)  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6665a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6766imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6846, 67syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6968ralrimiv 2876 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  A. x  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
7033, 69jca 532 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7170ex 434 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( (
u  i^i  v )  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) ) )
72 eltg2 19254 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )  <->  ( ( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
7371, 72sylibrd 234 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  (
topGen `  B ) ) )
7473ralrimivv 2884 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u  e.  (
topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `  B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )
)
75 fvex 5876 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
76 istopg 19199 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
_V  ->  ( ( topGen `  B )  e.  Top  <->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) )  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top 
<->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
)  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) )
7829, 74, 77sylanbrc 664 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   U.cuni 4245   ` cfv 5588   topGenctg 14693   Topctop 19189   TopBasesctb 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196
This theorem is referenced by:  tgclb  19266  tgtopon  19267  bastop  19277  elcls3  19378  resttop  19455  leordtval2  19507  tgcmp  19695  2ndctop  19742  2ndcsb  19744  2ndcsep  19754  txtop  19833  pttop  19846  xkotop  19852  alexsubALT  20314  retop  21031  onsuctop  29503  kelac2lem  30642
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