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Theorem tgcl 18705
Description: Show that a basis generates a topology. Remark in [Munkres] p. 79. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgcl  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )

Proof of Theorem tgcl
Dummy variables  x  y  z  u  t 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4219 . . . . . . . 8  |-  ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
21adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
3 unitg 18703 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )
52, 4sseqtrd 3499 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. B )
6 eluni2 4202 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. u  <->  E. t  e.  u  x  e.  t )
7 ssel2 3458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  ( topGen `  B )
)
8 eltg2b 18695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
9 rsp 2892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  -> 
( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
108, 9syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  ->  ( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) ) )
1110imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  t  e.  ( topGen `  B ) )  /\  x  e.  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1211an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  t  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
137, 12sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  ( u  C_  ( topGen `
 B )  /\  t  e.  u )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1413an42s 823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
15 elssuni 4228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  u  ->  t  C_ 
U. u )
16 sstr2 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  t  ->  (
t  C_  U. u  ->  y  C_  U. u
) )
1715, 16syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  u  ->  (
y  C_  t  ->  y 
C_  U. u ) )
1817anim2d 565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  u  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  t
)  ->  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
1918reximdv 2931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  u  ->  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  ( E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2114, 20mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
2221rexlimdvaa 2946 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( E. t  e.  u  x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
236, 22syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  U. u  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
2423ralrimiv 2827 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
255, 24jca 532 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2625ex 434 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) ) )
27 eltg2 18694 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( U. u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) ) )
2826, 27sylibrd 234 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) ) )
2928alrimiv 1686 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
) )
30 inss1 3677 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
31 tg1 18700 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  u  C_  U. B
)
3230, 31syl5ss 3474 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( u  i^i  v )  C_  U. B
)
3332ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
u  i^i  v )  C_ 
U. B )
34 eltg2 18694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( u  C_  U. B  /\  A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) ) )
3534simplbda 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
36 rsp 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  -> 
( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
38 eltg2 18694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( v  e.  ( topGen `  B )  <->  ( v  C_  U. B  /\  A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
3938simplbda 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  v  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )
40 rsp 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v )  -> 
( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4237, 41im2anan9 831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( x  e.  u  /\  x  e.  v
)  ->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
43 elin 3646 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( u  i^i  v )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  v ) )
44 reeanv 2992 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  <->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4542, 43, 443imtr4g 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
4645anandis 826 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
47 elin 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  w ) )
4847biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  x  e.  ( z  i^i  w ) )
49 ss2in 3684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )
5048, 49anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w
)  /\  ( z  C_  u  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
5150an4s 822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
52 basis2 18687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  z  e.  B )  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  (
z  i^i  w )
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
5352adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  x  e.  ( z  i^i  w ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) ) )
5453adantrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
55 sstr2 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5655com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
t  C_  ( z  i^i  w )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5756anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
( x  e.  t  /\  t  C_  (
z  i^i  w )
)  ->  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5857reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  ( E. t  e.  B  (
x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6154, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6251, 61sylanr2 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6362rexlimdvaa 2946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6463rexlimdva 2945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v
) )  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6564ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( x  e.  ( u  i^i  v
)  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6665a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6766imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6846, 67syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6968ralrimiv 2827 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  A. x  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
7033, 69jca 532 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7170ex 434 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( (
u  i^i  v )  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) ) )
72 eltg2 18694 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )  <->  ( ( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
7371, 72sylibrd 234 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  (
topGen `  B ) ) )
7473ralrimivv 2911 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u  e.  (
topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `  B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )
)
75 fvex 5808 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
76 istopg 18639 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
_V  ->  ( ( topGen `  B )  e.  Top  <->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) )  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top 
<->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
)  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) )
7829, 74, 77sylanbrc 664 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   _Vcvv 3076    i^i cin 3434    C_ wss 3435   U.cuni 4198   ` cfv 5525   topGenctg 14494   Topctop 18629   TopBasesctb 18633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fv 5533  df-topgen 14500  df-top 18634  df-bases 18636
This theorem is referenced by:  tgclb  18706  tgtopon  18707  bastop  18717  elcls3  18818  resttop  18895  leordtval2  18947  tgcmp  19135  2ndctop  19182  2ndcsb  19184  2ndcsep  19194  txtop  19273  pttop  19286  xkotop  19292  alexsubALT  19754  retop  20471  onsuctop  28422  kelac2lem  29564
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