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Theorem tgcl 18554
Description: Show that a basis generates a topology. Remark in [Munkres] p. 79. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgcl  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )

Proof of Theorem tgcl
Dummy variables  x  y  z  u  t 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 4107 . . . . . . . 8  |-  ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
21adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. ( topGen `  B
) )
3 unitg 18552 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. ( topGen `
 B )  = 
U. B )
52, 4sseqtrd 3387 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  U. u  C_ 
U. B )
6 eluni2 4090 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. u  <->  E. t  e.  u  x  e.  t )
7 ssel2 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  C_  ( topGen `  B )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  ( topGen `  B )
)
8 eltg2b 18544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
9 rsp 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  t  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  -> 
( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) )
108, 9syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( t  e.  ( topGen `  B )  ->  ( x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) ) ) )
1110imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  t  e.  ( topGen `  B ) )  /\  x  e.  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1211an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  t  e.  ( topGen `
 B ) )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
137, 12sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  t )  /\  ( u  C_  ( topGen `
 B )  /\  t  e.  u )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
1413an42s 823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t ) )
15 elssuni 4116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  u  ->  t  C_ 
U. u )
16 sstr2 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  t  ->  (
t  C_  U. u  ->  y  C_  U. u
) )
1715, 16syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  u  ->  (
y  C_  t  ->  y 
C_  U. u ) )
1817anim2d 565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  u  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  t
)  ->  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
1918reximdv 2822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  u  ->  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2019ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  ( E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  t )  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2114, 20mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B
) )  /\  (
t  e.  u  /\  x  e.  t )
)  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
2221rexlimdvaa 2837 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( E. t  e.  u  x  e.  t  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
236, 22syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  U. u  ->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) )
2423ralrimiv 2793 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) )
255, 24jca 532 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  C_  ( topGen `  B )
)  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) )
2625ex 434 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_ 
U. u ) ) ) )
27 eltg2 18543 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( U. u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( U. u  C_  U. B  /\  A. x  e.  U. u E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  U. u
) ) ) )
2826, 27sylibrd 234 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) ) )
2928alrimiv 1685 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u ( u 
C_  ( topGen `  B
)  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
) )
30 inss1 3565 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
31 tg1 18549 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  u  C_  U. B
)
3230, 31syl5ss 3362 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( u  i^i  v )  C_  U. B
)
3332ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
u  i^i  v )  C_ 
U. B )
34 eltg2 18543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( u  e.  ( topGen `  B )  <->  ( u  C_  U. B  /\  A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) ) )
3534simplbda 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  u  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) )
36 rsp 2771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  u  E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  -> 
( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  u  ->  E. z  e.  B  ( x  e.  z  /\  z  C_  u ) ) )
38 eltg2 18543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( v  e.  ( topGen `  B )  <->  ( v  C_  U. B  /\  A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
3938simplbda 624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  A. x  e.  v  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )
40 rsp 2771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  v  E. w  e.  B  (
x  e.  w  /\  w  C_  v )  -> 
( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( x  e.  v  ->  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4237, 41im2anan9 831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( x  e.  u  /\  x  e.  v
)  ->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
43 elin 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( u  i^i  v )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  v ) )
44 reeanv 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  <->  ( E. z  e.  B  (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  E. w  e.  B  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )
4542, 43, 443imtr4g 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  /\  ( B  e.  TopBases  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
4645anandis 826 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )
47 elin 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( z  i^i  w )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  w ) )
4847biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w )  ->  x  e.  ( z  i^i  w ) )
49 ss2in 3572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )
5048, 49anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  x  e.  w
)  /\  ( z  C_  u  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
5150an4s 822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w )  C_  (
u  i^i  v )
) )
52 basis2 18536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  z  e.  B )  /\  ( w  e.  B  /\  x  e.  (
z  i^i  w )
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
5352adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  x  e.  ( z  i^i  w ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) ) )
5453adantrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) ) )
55 sstr2 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5655com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
t  C_  ( z  i^i  w )  ->  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5756anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
( x  e.  t  /\  t  C_  (
z  i^i  w )
)  ->  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5857reximdv 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w
) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
6059ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  ( E. t  e.  B  (
x  e.  t  /\  t  C_  ( z  i^i  w ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6154, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( x  e.  (
z  i^i  w )  /\  ( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6251, 61sylanr2 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  TopBases 
/\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  /\  (
w  e.  B  /\  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6362rexlimdvaa 2837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6463rexlimdva 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  x  e.  ( u  i^i  v
) )  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6564ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( x  e.  ( u  i^i  v
)  ->  ( E. z  e.  B  E. w  e.  B  (
( x  e.  z  /\  z  C_  u
)  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6665a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( (
x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  ( x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
6766imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  B  E. w  e.  B  ( ( x  e.  z  /\  z  C_  u )  /\  (
x  e.  w  /\  w  C_  v ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6846, 67syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  v )  ->  E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
6968ralrimiv 2793 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  A. x  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
7033, 69jca 532 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  (
u  e.  ( topGen `  B )  /\  v  e.  ( topGen `  B )
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7170ex 434 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( (
u  i^i  v )  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) ) )
72 eltg2 18543 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )  <->  ( ( u  i^i  v
)  C_  U. B  /\  A. x  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( x  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) )
7371, 72sylibrd 234 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( u  e.  ( topGen `  B
)  /\  v  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( u  i^i  v )  e.  (
topGen `  B ) ) )
7473ralrimivv 2802 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. u  e.  (
topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `  B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B )
)
75 fvex 5696 . . 3  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
76 istopg 18488 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
_V  ->  ( ( topGen `  B )  e.  Top  <->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  (
topGen `  B ) )  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e. 
Top 
<->  ( A. u ( u  C_  ( topGen `  B )  ->  U. u  e.  ( topGen `  B )
)  /\  A. u  e.  ( topGen `  B ) A. v  e.  ( topGen `
 B ) ( u  i^i  v )  e.  ( topGen `  B
) ) )
7829, 74, 77sylanbrc 664 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    i^i cin 3322    C_ wss 3323   U.cuni 4086   ` cfv 5413   topGenctg 14368   Topctop 18478   TopBasesctb 18482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-topgen 14374  df-top 18483  df-bases 18485
This theorem is referenced by:  tgclb  18555  tgtopon  18556  bastop  18566  elcls3  18667  resttop  18744  leordtval2  18796  tgcmp  18984  2ndctop  19031  2ndcsb  19033  2ndcsep  19043  txtop  19122  pttop  19135  xkotop  19141  alexsubALT  19603  retop  20320  onsuctop  28249  kelac2lem  29388
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