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Theorem tgcgrxfr 23109
Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgcgrxfr.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgcgrxfr.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgcgrxfr.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
tgcgrxfr.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgcgrxfr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgcgrxfr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgcgrxfr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgcgrxfr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgcgrxfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgcgrxfr.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
tgcgrxfr.2  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F ) )
Assertion
Ref Expression
tgcgrxfr  |-  ( ph  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
Distinct variable groups:    A, e    B, e    C, e    D, e   
e, F    e, I    P, e    .- , e    .~ , e    ph, e
Allowed substitution hint:    G( e)

Proof of Theorem tgcgrxfr
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  P
)
3 tgcgrxfr.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 tgcgrxfr.m . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 tgcgrxfr.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
6 tgcgrxfr.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
8 tgcgrxfr.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
10 tgcgrxfr.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  F  e.  P
)
12 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
133, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12tgldim0itv 23095 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  ( D I F ) )
14 tgcgrxfr.r . . . . 5  |-  .~  =  (cgrG `  G )
15 tgcgrxfr.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1615adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
17 tgcgrxfr.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1817adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  C  e.  P
)
193, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2tgldim0cgr 23096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  A ) )
203, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11tgldim0cgr 23096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( B  .-  C )  =  ( A  .-  F ) )
213, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9tgldim0cgr 23096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )
223, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21trgcgr 23107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  <" A B C ">  .~  <" D A F "> )
2313, 22jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D A F "> ) )
24 eleq1 2526 . . . . 5  |-  ( e  =  A  ->  (
e  e.  ( D I F )  <->  A  e.  ( D I F ) ) )
25 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( e  =  A  ->  D  =  D )
26 id 22 . . . . . . 7  |-  ( e  =  A  ->  e  =  A )
27 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( e  =  A  ->  F  =  F )
2825, 26, 27s3eqd 12611 . . . . . 6  |-  ( e  =  A  ->  <" D
e F ">  =  <" D A F "> )
2928breq2d 4415 . . . . 5  |-  ( e  =  A  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D e F "> 
<-> 
<" A B C ">  .~  <" D A F "> ) )
3024, 29anbi12d 710 . . . 4  |-  ( e  =  A  ->  (
( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> )  <->  ( A  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D A F "> ) ) )
3130rspcev 3179 . . 3  |-  ( ( A  e.  P  /\  ( A  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D A F "> ) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
322, 23, 31syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
336adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  G  e. TarskiG )
3433ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  G  e. TarskiG )
35 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  g  e.  P
)
368adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  D  e.  P )
3736ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  D  e.  P
)
381ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  A  e.  P
)
3915ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  B  e.  P
)
403, 4, 5, 34, 35, 37, 38, 39axtgsegcon 23061 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  E. e  e.  P  ( D  e.  (
g I e )  /\  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B ) ) )
4134ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  G  e. TarskiG )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
4335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  -> 
g  e.  P )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  g  e.  P )
4537ad4antr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  P )
46 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  -> 
e  e.  P )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  P )
48 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  f  e.  P )
49 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  e.  ( g
I e )  /\  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B ) ) )
5049simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( g I e ) )
51 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  ( g I f ) )
523, 4, 5, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51tgbtwnexch3 23085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  ( D I f ) )
5338ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  A  e.  P )
5417ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  C  e.  P )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  C  e.  P )
5610adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  F  e.  P )
5756ad6antr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  F  e.  P )
58 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )
5958simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  =/=  g )
6059necomd 2723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  g  =/=  D )
613, 4, 5, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51tgbtwnexch 23089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( g I f ) )
6258simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( F I g ) )
633, 4, 5, 42, 57, 45, 44, 62tgbtwncom 23079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( g I F ) )
6439ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  B  e.  P )
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  B  e.  P )
66 tgcgrxfr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
6766ad7antr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  B  e.  ( A I C ) )
6849simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B
) )
69 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) )
703, 4, 5, 42, 45, 47, 48, 53, 65, 55, 52, 67, 68, 69tgcgrextend 23076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  .-  f )  =  ( A  .-  C
) )
71 tgcgrxfr.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F ) )
7271ad7antr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
) )
7372eqcomd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  .-  F )  =  ( A  .-  C
) )
743, 4, 5, 42, 45, 53, 55, 44, 48, 57, 60, 61, 63, 70, 73tgsegconeq 23077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  f  =  F )
7574oveq2d 6219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D I f )  =  ( D I F ) )
7652, 75eleqtrd 2544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  ( D I F ) )
7768eqcomd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  e
) )
7874oveq2d 6219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
e  .-  f )  =  ( e  .-  F ) )
7969, 78eqtr3d 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( e  .-  F
) )
803, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 71tgcgrcomlr 23071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D ) )
8180ad7antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) )
823, 4, 14, 42, 53, 65, 55, 45, 47, 57, 77, 79, 81trgcgr 23107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  <" A B C ">  .~  <" D e F "> )
8376, 82jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
843, 4, 5, 41, 43, 46, 64, 54axtgsegcon 23061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  E. f  e.  P  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )
8583, 84r19.29a 2968 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  -> 
( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
8685ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  ->  ( ( D  e.  ( g
I e )  /\  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B ) )  -> 
( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) ) )
8786reximdva 2934 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  ( E. e  e.  P  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) ) )
8840, 87mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
89 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
903, 4, 5, 33, 56, 36, 89tgbtwndiff 23097 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. g  e.  P  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )
9188, 90r19.29a 2968 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
923, 1tgldimor 23093 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
9332, 91, 92mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9397    <_ cle 9533   2c2 10485   #chash 12223   <"cs3 12590   Basecbs 14295   distcds 14369  TarskiGcstrkg 23025  Itvcitv 23032  cgrGccgrg 23102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-hash 12224  df-word 12350  df-concat 12352  df-s1 12353  df-s2 12596  df-s3 12597  df-trkgc 23044  df-trkgb 23045  df-trkgcb 23046  df-trkg 23050  df-cgrg 23103
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