Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrxfr Structured version   Unicode version

Theorem tgcgrxfr 23775
 Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p
tgcgrxfr.m
tgcgrxfr.i Itv
tgcgrxfr.r cgrG
tgcgrxfr.g TarskiG
tgcgrxfr.a
tgcgrxfr.b
tgcgrxfr.c
tgcgrxfr.d
tgcgrxfr.f
tgcgrxfr.1
tgcgrxfr.2
Assertion
Ref Expression
tgcgrxfr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tgcgrxfr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.a . . . 4
21adantr 465 . . 3
3 tgcgrxfr.p . . . . 5
4 tgcgrxfr.m . . . . 5
5 tgcgrxfr.i . . . . 5 Itv
6 tgcgrxfr.g . . . . . 6 TarskiG
76adantr 465 . . . . 5 TarskiG
8 tgcgrxfr.d . . . . . 6
98adantr 465 . . . . 5
10 tgcgrxfr.f . . . . . 6
1110adantr 465 . . . . 5
12 simpr 461 . . . . 5
133, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12tgldim0itv 23761 . . . 4
14 tgcgrxfr.r . . . . 5 cgrG
15 tgcgrxfr.b . . . . . 6
1615adantr 465 . . . . 5
17 tgcgrxfr.c . . . . . 6
1817adantr 465 . . . . 5
193, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2tgldim0cgr 23762 . . . . 5
203, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11tgldim0cgr 23762 . . . . 5
213, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9tgldim0cgr 23762 . . . . 5
223, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21trgcgr 23773 . . . 4
2313, 22jca 532 . . 3
24 eleq1 2539 . . . . 5
25 eqidd 2468 . . . . . . 7
26 id 22 . . . . . . 7
27 eqidd 2468 . . . . . . 7
2825, 26, 27s3eqd 12808 . . . . . 6
2928breq2d 4465 . . . . 5
3024, 29anbi12d 710 . . . 4
3130rspcev 3219 . . 3
322, 23, 31syl2anc 661 . 2
336adantr 465 . . . . . 6 TarskiG
3433ad2antrr 725 . . . . 5 TarskiG
35 simplr 754 . . . . 5
368adantr 465 . . . . . 6
3736ad2antrr 725 . . . . 5
381ad3antrrr 729 . . . . 5
3915ad3antrrr 729 . . . . 5
403, 4, 5, 34, 35, 37, 38, 39axtgsegcon 23727 . . . 4
4134ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 TarskiG
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 TarskiG
4335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
4537ad4antr 731 . . . . . . . . . 10
46 simplr 754 . . . . . . . . . . 11
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
48 simplr 754 . . . . . . . . . 10
49 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11
5049simpld 459 . . . . . . . . . 10
51 simprl 755 . . . . . . . . . 10
523, 4, 5, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51tgbtwnexch3 23751 . . . . . . . . 9
5338ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11
5417ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
5610adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
5756ad6antr 735 . . . . . . . . . . 11
58 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . 13
5958simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
6059necomd 2738 . . . . . . . . . . 11
613, 4, 5, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51tgbtwnexch 23755 . . . . . . . . . . 11
6258simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
633, 4, 5, 42, 57, 45, 44, 62tgbtwncom 23745 . . . . . . . . . . 11
6439ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
66 tgcgrxfr.1 . . . . . . . . . . . . 13
6766ad7antr 737 . . . . . . . . . . . 12
6849simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
69 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12
703, 4, 5, 42, 45, 47, 48, 53, 65, 55, 52, 67, 68, 69tgcgrextend 23742 . . . . . . . . . . 11
71 tgcgrxfr.2 . . . . . . . . . . . . 13
7271ad7antr 737 . . . . . . . . . . . 12
7372eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11
743, 4, 5, 42, 45, 53, 55, 44, 48, 57, 60, 61, 63, 70, 73tgsegconeq 23743 . . . . . . . . . 10
7574oveq2d 6311 . . . . . . . . 9
7652, 75eleqtrd 2557 . . . . . . . 8
7768eqcomd 2475 . . . . . . . . 9
7874oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10
7969, 78eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9
803, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 71tgcgrcomlr 23737 . . . . . . . . . 10
8180ad7antr 737 . . . . . . . . 9
823, 4, 14, 42, 53, 65, 55, 45, 47, 57, 77, 79, 81trgcgr 23773 . . . . . . . 8
8376, 82jca 532 . . . . . . 7
843, 4, 5, 41, 43, 46, 64, 54axtgsegcon 23727 . . . . . . 7
8583, 84r19.29a 3008 . . . . . 6
8685ex 434 . . . . 5
8786reximdva 2942 . . . 4
8840, 87mpd 15 . . 3
89 simpr 461 . . . 4
903, 4, 5, 33, 56, 36, 89tgbtwndiff 23763 . . 3
9188, 90r19.29a 3008 . 2
923, 1tgldimor 23759 . 2
9332, 91, 92mpjaodan 784 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wrex 2818   class class class wbr 4453  cfv 5594  (class class class)co 6295  c1 9505   cle 9641  c2 10597  chash 12385  cs3 12787  cbs 14507  cds 14581  TarskiGcstrkg 23691  Itvcitv 23698  cgrGccgrg 23768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-s2 12793  df-s3 12794  df-trkgc 23710  df-trkgb 23711  df-trkgcb 23712  df-trkg 23716  df-cgrg 23769 This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  23784  lnext  23819  midexlem  23915
 Copyright terms: Public domain W3C validator