Theorem tgcgrxfr 23109

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	|- P = ( Base ` G )
tgcgrxfr.m	|- .- = ( dist ` G )
tgcgrxfr.i	|- I = (Itv ` G )
tgcgrxfr.r	|- .~ = (cgrG ` G )
tgcgrxfr.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgcgrxfr.a	|- ( ph -> A e. P )
tgcgrxfr.b	|- ( ph -> B e. P )
tgcgrxfr.c	|- ( ph -> C e. P )
tgcgrxfr.d	|- ( ph -> D e. P )
tgcgrxfr.f	|- ( ph -> F e. P )
tgcgrxfr.1	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgcgrxfr.2	|- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )

Assertion

Ref	Expression
tgcgrxfr	|- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )

Distinct variable groups:   A, e   B, e   C, e   D, e   e, F   e, I   P, e   .- , e   .~ , e   ph, e

Allowed substitution hint:   G( e)

Proof of Theorem tgcgrxfr

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. P )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
3		tgcgrxfr.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
4		tgcgrxfr.m	. . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
5		tgcgrxfr.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
6		tgcgrxfr.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
7	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
8		tgcgrxfr.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. P )
9	8	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
10		tgcgrxfr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. P )
11	10	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> F e. P )
12		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
13	3, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12	tgldim0itv 23095	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. ( D I F ) )
14		tgcgrxfr.r	. . . . 5 |- .~ = (cgrG ` G )
15		tgcgrxfr.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. P )
16	15	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
17		tgcgrxfr.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. P )
18	17	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
19	3, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2	tgldim0cgr 23096	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( D .- A ) )
20	3, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11	tgldim0cgr 23096	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( B .- C ) = ( A .- F ) )
21	3, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9	tgldim0cgr 23096	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
22	3, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21	trgcgr 23107	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> <" A B C "> .~ <" D A F "> )
23	13, 22	jca 532	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) )
24		eleq1 2526	. . . . 5 |- ( e = A -> ( e e. ( D I F ) <-> A e. ( D I F ) ) )
25		eqidd 2455	. . . . . . 7 |- ( e = A -> D = D )
26		id 22	. . . . . . 7 |- ( e = A -> e = A )
27		eqidd 2455	. . . . . . 7 |- ( e = A -> F = F )
28	25, 26, 27	s3eqd 12611	. . . . . 6 |- ( e = A -> <" D e F "> = <" D A F "> )
29	28	breq2d 4415	. . . . 5 |- ( e = A -> ( <" A B C "> .~ <" D e F "> <-> <" A B C "> .~ <" D A F "> ) )
30	24, 29	anbi12d 710	. . . 4 |- ( e = A -> ( ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) <-> ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) )
31	30	rspcev 3179	. . 3 |- ( ( A e. P /\ ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
32	2, 23, 31	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
33	6	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
34	33	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> G e. TarskiG )
35		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> g e. P )
36	8	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> D e. P )
37	36	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> D e. P )
38	1	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> A e. P )
39	15	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> B e. P )
40	3, 4, 5, 34, 35, 37, 38, 39	axtgsegcon 23061	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
41	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> G e. TarskiG )
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> G e. TarskiG )
43	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> g e. P )
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g e. P )
45	37	ad4antr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. P )
46		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> e e. P )
47	46	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. P )
48		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f e. P )
49		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
50	49	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I e ) )
51		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( g I f ) )
52	3, 4, 5, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51	tgbtwnexch3 23085	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I f ) )
53	38	ad4antr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> A e. P )
54	17	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> C e. P )
55	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> C e. P )
56	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> F e. P )
57	56	ad6antr 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> F e. P )
58		simp-5r 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
59	58	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D =/= g )
60	59	necomd 2723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g =/= D )
61	3, 4, 5, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51	tgbtwnexch 23089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I f ) )
62	58	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( F I g ) )
63	3, 4, 5, 42, 57, 45, 44, 62	tgbtwncom 23079	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I F ) )
64	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> B e. P )
65	64	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. P )
66		tgcgrxfr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
67	66	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. ( A I C ) )
68	49	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- e ) = ( A .- B ) )
69		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( B .- C ) )
70	3, 4, 5, 42, 45, 47, 48, 53, 65, 55, 52, 67, 68, 69	tgcgrextend 23076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- f ) = ( A .- C ) )
71		tgcgrxfr.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
72	71	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
73	72	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- F ) = ( A .- C ) )
74	3, 4, 5, 42, 45, 53, 55, 44, 48, 57, 60, 61, 63, 70, 73	tgsegconeq 23077	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f = F )
75	74	oveq2d 6219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D I f ) = ( D I F ) )
76	52, 75	eleqtrd 2544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I F ) )
77	68	eqcomd 2462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- B ) = ( D .- e ) )
78	74	oveq2d 6219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( e .- F ) )
79	69, 78	eqtr3d 2497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( B .- C ) = ( e .- F ) )
80	3, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 71	tgcgrcomlr 23071	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
81	80	ad7antr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
82	3, 4, 14, 42, 53, 65, 55, 45, 47, 57, 77, 79, 81	trgcgr 23107	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> <" A B C "> .~ <" D e F "> )
83	76, 82	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
84	3, 4, 5, 41, 43, 46, 64, 54	axtgsegcon 23061	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> E. f e. P ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) )
85	83, 84	r19.29a 2968	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
86	85	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) -> ( ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
87	86	reximdva 2934	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> ( E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
88	40, 87	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
89		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
90	3, 4, 5, 33, 56, 36, 89	tgbtwndiff 23097	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. g e. P ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
91	88, 90	r19.29a 2968	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
92	3, 1	tgldimor 23093	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
93	32, 91, 92	mpjaodan 784	1 |- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   E.wrex 2800   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9397   <_ cle 9533   2c2 10485   #chash 12223   <"cs3 12590   Basecbs 14295   distcds 14369  TarskiGcstrkg 23025  Itvcitv 23032  cgrGccgrg 23102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-hash 12224  df-word 12350  df-concat 12352  df-s1 12353  df-s2 12596  df-s3 12597  df-trkgc 23044  df-trkgb 23045  df-trkgcb 23046  df-trkg 23050  df-cgrg 23103

This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  23118  lnext  23139  midexlem  23230