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Theorem tgcgrxfr 24563
Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgcgrxfr.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgcgrxfr.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgcgrxfr.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
tgcgrxfr.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgcgrxfr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgcgrxfr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgcgrxfr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgcgrxfr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgcgrxfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgcgrxfr.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
tgcgrxfr.2  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F ) )
Assertion
Ref Expression
tgcgrxfr  |-  ( ph  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
Distinct variable groups:    A, e    B, e    C, e    D, e   
e, F    e, I    P, e    .- , e    .~ , e    ph, e
Allowed substitution hint:    G( e)

Proof of Theorem tgcgrxfr
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
21adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  P
)
3 tgcgrxfr.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 tgcgrxfr.m . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 tgcgrxfr.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
6 tgcgrxfr.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
8 tgcgrxfr.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
10 tgcgrxfr.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1110adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  F  e.  P
)
12 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
133, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12tgldim0itv 24548 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  ( D I F ) )
14 tgcgrxfr.r . . . 4  |-  .~  =  (cgrG `  G )
15 tgcgrxfr.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1615adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
17 tgcgrxfr.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1817adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  C  e.  P
)
193, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2tgldim0cgr 24549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  A ) )
203, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11tgldim0cgr 24549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( B  .-  C )  =  ( A  .-  F ) )
213, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9tgldim0cgr 24549 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )
223, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21trgcgr 24561 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  <" A B C ">  .~  <" D A F "> )
23 eleq1 2517 . . . . 5  |-  ( e  =  A  ->  (
e  e.  ( D I F )  <->  A  e.  ( D I F ) ) )
24 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( e  =  A  ->  D  =  D )
25 id 22 . . . . . . 7  |-  ( e  =  A  ->  e  =  A )
26 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( e  =  A  ->  F  =  F )
2724, 25, 26s3eqd 12959 . . . . . 6  |-  ( e  =  A  ->  <" D
e F ">  =  <" D A F "> )
2827breq2d 4414 . . . . 5  |-  ( e  =  A  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D e F "> 
<-> 
<" A B C ">  .~  <" D A F "> ) )
2923, 28anbi12d 717 . . . 4  |-  ( e  =  A  ->  (
( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> )  <->  ( A  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D A F "> ) ) )
3029rspcev 3150 . . 3  |-  ( ( A  e.  P  /\  ( A  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D A F "> ) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
312, 13, 22, 30syl12anc 1266 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
326ad3antrrr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  G  e. TarskiG )
33 simplr 762 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  g  e.  P
)
348ad3antrrr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  D  e.  P
)
351ad3antrrr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  A  e.  P
)
3615ad3antrrr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  B  e.  P
)
373, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36axtgsegcon 24512 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  E. e  e.  P  ( D  e.  (
g I e )  /\  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B ) ) )
386ad7antr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
3933ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  -> 
g  e.  P )
4039ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  g  e.  P )
418ad7antr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  P )
42 simplr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  -> 
e  e.  P )
4342ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  P )
44 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  f  e.  P )
45 simpllr 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  e.  ( g
I e )  /\  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B ) ) )
4645simpld 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( g I e ) )
47 simprl 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  ( g I f ) )
483, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch3 24538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  ( D I f ) )
491ad7antr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  A  e.  P )
5017ad7antr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  C  e.  P )
5110ad7antr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  F  e.  P )
52 simp-5r 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )
5352simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  =/=  g )
5453necomd 2679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  g  =/=  D )
553, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch 24542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( g I f ) )
5652simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( F I g ) )
573, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56tgbtwncom 24532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( g I F ) )
5815ad7antr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  B  e.  P )
59 tgcgrxfr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
6059ad7antr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  B  e.  ( A I C ) )
6145simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B
) )
62 simprr 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) )
633, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62tgcgrextend 24529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  .-  f )  =  ( A  .-  C
) )
64 tgcgrxfr.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F ) )
6564ad7antr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
) )
6665eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  .-  F )  =  ( A  .-  C
) )
673, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66tgsegconeq 24530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  f  =  F )
6867oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D I f )  =  ( D I F ) )
6948, 68eleqtrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  ( D I F ) )
7061eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  e
) )
7167oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
e  .-  f )  =  ( e  .-  F ) )
7262, 71eqtr3d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( e  .-  F
) )
733, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 64tgcgrcomlr 24524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D ) )
7473ad7antr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) )
753, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74trgcgr 24561 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  <" A B C ">  .~  <" D e F "> )
7669, 75jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
7732ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  G  e. TarskiG )
7836ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  B  e.  P )
7917ad5antr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  C  e.  P )
803, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79axtgsegcon 24512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  E. f  e.  P  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )
8176, 80r19.29a 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  -> 
( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
8281ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  ->  ( ( D  e.  ( g
I e )  /\  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B ) )  -> 
( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) ) )
8382reximdva 2862 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  ( E. e  e.  P  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) ) )
8437, 83mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
856adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  G  e. TarskiG )
8610adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  F  e.  P )
878adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  D  e.  P )
88 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
893, 4, 5, 85, 86, 87, 88tgbtwndiff 24550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. g  e.  P  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )
9084, 89r19.29a 2932 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
913, 1tgldimor 24546 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
9231, 90, 91mpjaodan 795 1  |-  ( ph  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540    <_ cle 9676   2c2 10659   #chash 12515   <"cs3 12938   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  cgrGccgrg 24555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556
This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  24575  lnext  24612  midexlem  24737
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