Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrxfr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tgcgrxfr 24563
 Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p
tgcgrxfr.m
tgcgrxfr.i Itv
tgcgrxfr.r cgrG
tgcgrxfr.g TarskiG
tgcgrxfr.a
tgcgrxfr.b
tgcgrxfr.c
tgcgrxfr.d
tgcgrxfr.f
tgcgrxfr.1
tgcgrxfr.2
Assertion
Ref Expression
tgcgrxfr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tgcgrxfr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.a . . . 4
3 tgcgrxfr.p . . . 4
4 tgcgrxfr.m . . . 4
5 tgcgrxfr.i . . . 4 Itv
6 tgcgrxfr.g . . . . 5 TarskiG
76adantr 467 . . . 4 TarskiG
8 tgcgrxfr.d . . . . 5
98adantr 467 . . . 4
10 tgcgrxfr.f . . . . 5
1110adantr 467 . . . 4
12 simpr 463 . . . 4
133, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12tgldim0itv 24548 . . 3
14 tgcgrxfr.r . . . 4 cgrG
15 tgcgrxfr.b . . . . 5
1615adantr 467 . . . 4
17 tgcgrxfr.c . . . . 5
1817adantr 467 . . . 4
193, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2tgldim0cgr 24549 . . . 4
203, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11tgldim0cgr 24549 . . . 4
213, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9tgldim0cgr 24549 . . . 4
223, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21trgcgr 24561 . . 3
23 eleq1 2517 . . . . 5
24 eqidd 2452 . . . . . . 7
25 id 22 . . . . . . 7
26 eqidd 2452 . . . . . . 7
2724, 25, 26s3eqd 12959 . . . . . 6
2827breq2d 4414 . . . . 5
2923, 28anbi12d 717 . . . 4
3029rspcev 3150 . . 3
312, 13, 22, 30syl12anc 1266 . 2
326ad3antrrr 736 . . . . 5 TarskiG
33 simplr 762 . . . . 5
348ad3antrrr 736 . . . . 5
351ad3antrrr 736 . . . . 5
3615ad3antrrr 736 . . . . 5
373, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36axtgsegcon 24512 . . . 4
386ad7antr 744 . . . . . . . . . 10 TarskiG
3933ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11
4039ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10
418ad7antr 744 . . . . . . . . . 10
42 simplr 762 . . . . . . . . . . 11
4342ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10
44 simplr 762 . . . . . . . . . 10
45 simpllr 769 . . . . . . . . . . 11
4645simpld 461 . . . . . . . . . 10
47 simprl 764 . . . . . . . . . 10
483, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch3 24538 . . . . . . . . 9
491ad7antr 744 . . . . . . . . . . 11
5017ad7antr 744 . . . . . . . . . . 11
5110ad7antr 744 . . . . . . . . . . 11
52 simp-5r 779 . . . . . . . . . . . . 13
5352simprd 465 . . . . . . . . . . . 12
5453necomd 2679 . . . . . . . . . . 11
553, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch 24542 . . . . . . . . . . 11
5652simpld 461 . . . . . . . . . . . 12
573, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56tgbtwncom 24532 . . . . . . . . . . 11
5815ad7antr 744 . . . . . . . . . . . 12
59 tgcgrxfr.1 . . . . . . . . . . . . 13
6059ad7antr 744 . . . . . . . . . . . 12
6145simprd 465 . . . . . . . . . . . 12
62 simprr 766 . . . . . . . . . . . 12
633, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62tgcgrextend 24529 . . . . . . . . . . 11
64 tgcgrxfr.2 . . . . . . . . . . . . 13
6564ad7antr 744 . . . . . . . . . . . 12
6665eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11
673, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66tgsegconeq 24530 . . . . . . . . . 10
6867oveq2d 6306 . . . . . . . . 9
6948, 68eleqtrd 2531 . . . . . . . 8
7061eqcomd 2457 . . . . . . . . 9
7167oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10
7262, 71eqtr3d 2487 . . . . . . . . 9
733, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 64tgcgrcomlr 24524 . . . . . . . . . 10
7473ad7antr 744 . . . . . . . . 9
753, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74trgcgr 24561 . . . . . . . 8
7669, 75jca 535 . . . . . . 7
7732ad2antrr 732 . . . . . . . 8 TarskiG
7836ad2antrr 732 . . . . . . . 8
7917ad5antr 740 . . . . . . . 8
803, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79axtgsegcon 24512 . . . . . . 7
8176, 80r19.29a 2932 . . . . . 6
8281ex 436 . . . . 5
8382reximdva 2862 . . . 4
8437, 83mpd 15 . . 3
856adantr 467 . . . 4 TarskiG
8610adantr 467 . . . 4
878adantr 467 . . . 4
88 simpr 463 . . . 4
893, 4, 5, 85, 86, 87, 88tgbtwndiff 24550 . . 3
9084, 89r19.29a 2932 . 2
913, 1tgldimor 24546 . 2
9231, 90, 91mpjaodan 795 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wrex 2738   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290  c1 9540   cle 9676  c2 10659  chash 12515  cs3 12938  cbs 15121  cds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  cgrGccgrg 24555 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556 This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  24575  lnext  24612  midexlem  24737
 Copyright terms: Public domain W3C validator