Theorem tgcgrxfr 24563

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	|- P = ( Base ` G )
tgcgrxfr.m	|- .- = ( dist ` G )
tgcgrxfr.i	|- I = (Itv ` G )
tgcgrxfr.r	|- .~ = (cgrG ` G )
tgcgrxfr.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgcgrxfr.a	|- ( ph -> A e. P )
tgcgrxfr.b	|- ( ph -> B e. P )
tgcgrxfr.c	|- ( ph -> C e. P )
tgcgrxfr.d	|- ( ph -> D e. P )
tgcgrxfr.f	|- ( ph -> F e. P )
tgcgrxfr.1	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgcgrxfr.2	|- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )

Assertion

Ref	Expression
tgcgrxfr	|- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )

Distinct variable groups:   A, e   B, e   C, e   D, e   e, F   e, I   P, e   .- , e   .~ , e   ph, e

Allowed substitution hint:   G( e)

Proof of Theorem tgcgrxfr

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. P )
2	1	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
3		tgcgrxfr.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
4		tgcgrxfr.m	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
5		tgcgrxfr.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
6		tgcgrxfr.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
7	6	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
8		tgcgrxfr.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. P )
9	8	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
10		tgcgrxfr.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. P )
11	10	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> F e. P )
12		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
13	3, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12	tgldim0itv 24548	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. ( D I F ) )
14		tgcgrxfr.r	. . . 4 |- .~ = (cgrG ` G )
15		tgcgrxfr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. P )
16	15	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
17		tgcgrxfr.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. P )
18	17	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
19	3, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2	tgldim0cgr 24549	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( D .- A ) )
20	3, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11	tgldim0cgr 24549	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( B .- C ) = ( A .- F ) )
21	3, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9	tgldim0cgr 24549	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
22	3, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21	trgcgr 24561	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> <" A B C "> .~ <" D A F "> )
23		eleq1 2517	. . . . 5 |- ( e = A -> ( e e. ( D I F ) <-> A e. ( D I F ) ) )
24		eqidd 2452	. . . . . . 7 |- ( e = A -> D = D )
25		id 22	. . . . . . 7 |- ( e = A -> e = A )
26		eqidd 2452	. . . . . . 7 |- ( e = A -> F = F )
27	24, 25, 26	s3eqd 12959	. . . . . 6 |- ( e = A -> <" D e F "> = <" D A F "> )
28	27	breq2d 4414	. . . . 5 |- ( e = A -> ( <" A B C "> .~ <" D e F "> <-> <" A B C "> .~ <" D A F "> ) )
29	23, 28	anbi12d 717	. . . 4 |- ( e = A -> ( ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) <-> ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) )
30	29	rspcev 3150	. . 3 |- ( ( A e. P /\ ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
31	2, 13, 22, 30	syl12anc 1266	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
32	6	ad3antrrr 736	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> G e. TarskiG )
33		simplr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> g e. P )
34	8	ad3antrrr 736	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> D e. P )
35	1	ad3antrrr 736	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> A e. P )
36	15	ad3antrrr 736	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> B e. P )
37	3, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36	axtgsegcon 24512	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
38	6	ad7antr 744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> G e. TarskiG )
39	33	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> g e. P )
40	39	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g e. P )
41	8	ad7antr 744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. P )
42		simplr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> e e. P )
43	42	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. P )
44		simplr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f e. P )
45		simpllr 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
46	45	simpld 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I e ) )
47		simprl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( g I f ) )
48	3, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47	tgbtwnexch3 24538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I f ) )
49	1	ad7antr 744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> A e. P )
50	17	ad7antr 744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> C e. P )
51	10	ad7antr 744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> F e. P )
52		simp-5r 779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
53	52	simprd 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D =/= g )
54	53	necomd 2679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g =/= D )
55	3, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47	tgbtwnexch 24542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I f ) )
56	52	simpld 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( F I g ) )
57	3, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56	tgbtwncom 24532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I F ) )
58	15	ad7antr 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. P )
59		tgcgrxfr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
60	59	ad7antr 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. ( A I C ) )
61	45	simprd 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- e ) = ( A .- B ) )
62		simprr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( B .- C ) )
63	3, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62	tgcgrextend 24529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- f ) = ( A .- C ) )
64		tgcgrxfr.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
65	64	ad7antr 744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
66	65	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- F ) = ( A .- C ) )
67	3, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66	tgsegconeq 24530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f = F )
68	67	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D I f ) = ( D I F ) )
69	48, 68	eleqtrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I F ) )
70	61	eqcomd 2457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- B ) = ( D .- e ) )
71	67	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( e .- F ) )
72	62, 71	eqtr3d 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( B .- C ) = ( e .- F ) )
73	3, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 64	tgcgrcomlr 24524	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
74	73	ad7antr 744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
75	3, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74	trgcgr 24561	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> <" A B C "> .~ <" D e F "> )
76	69, 75	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
77	32	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> G e. TarskiG )
78	36	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> B e. P )
79	17	ad5antr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> C e. P )
80	3, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79	axtgsegcon 24512	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> E. f e. P ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) )
81	76, 80	r19.29a 2932	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
82	81	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) -> ( ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
83	82	reximdva 2862	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> ( E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
84	37, 83	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
85	6	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
86	10	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> F e. P )
87	8	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> D e. P )
88		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
89	3, 4, 5, 85, 86, 87, 88	tgbtwndiff 24550	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. g e. P ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
90	84, 89	r19.29a 2932	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
91	3, 1	tgldimor 24546	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
92	31, 90, 91	mpjaodan 795	1 |- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540   <_ cle 9676   2c2 10659   #chash 12515   <"cs3 12938   Basecbs 15121   distcds 15199  TarskiGcstrkg 24478  Itvcitv 24484  cgrGccgrg 24555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-s2 12944  df-s3 12945  df-trkgc 24496  df-trkgb 24497  df-trkgcb 24498  df-trkg 24501  df-cgrg 24556

This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  24575  lnext  24612  midexlem  24737