Theorem tgcgrxfr 24035

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	|- P = ( Base ` G )
tgcgrxfr.m	|- .- = ( dist ` G )
tgcgrxfr.i	|- I = (Itv ` G )
tgcgrxfr.r	|- .~ = (cgrG ` G )
tgcgrxfr.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgcgrxfr.a	|- ( ph -> A e. P )
tgcgrxfr.b	|- ( ph -> B e. P )
tgcgrxfr.c	|- ( ph -> C e. P )
tgcgrxfr.d	|- ( ph -> D e. P )
tgcgrxfr.f	|- ( ph -> F e. P )
tgcgrxfr.1	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgcgrxfr.2	|- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )

Assertion

Ref	Expression
tgcgrxfr	|- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )

Distinct variable groups:   A, e   B, e   C, e   D, e   e, F   e, I   P, e   .- , e   .~ , e   ph, e

Allowed substitution hint:   G( e)

Proof of Theorem tgcgrxfr

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. P )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
3		tgcgrxfr.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
4		tgcgrxfr.m	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
5		tgcgrxfr.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
6		tgcgrxfr.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
7	6	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
8		tgcgrxfr.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. P )
9	8	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
10		tgcgrxfr.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. P )
11	10	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> F e. P )
12		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
13	3, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12	tgldim0itv 24021	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. ( D I F ) )
14		tgcgrxfr.r	. . . 4 |- .~ = (cgrG ` G )
15		tgcgrxfr.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. P )
16	15	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
17		tgcgrxfr.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. P )
18	17	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
19	3, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2	tgldim0cgr 24022	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( D .- A ) )
20	3, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11	tgldim0cgr 24022	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( B .- C ) = ( A .- F ) )
21	3, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9	tgldim0cgr 24022	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
22	3, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21	trgcgr 24033	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> <" A B C "> .~ <" D A F "> )
23		eleq1 2529	. . . . 5 |- ( e = A -> ( e e. ( D I F ) <-> A e. ( D I F ) ) )
24		eqidd 2458	. . . . . . 7 |- ( e = A -> D = D )
25		id 22	. . . . . . 7 |- ( e = A -> e = A )
26		eqidd 2458	. . . . . . 7 |- ( e = A -> F = F )
27	24, 25, 26	s3eqd 12840	. . . . . 6 |- ( e = A -> <" D e F "> = <" D A F "> )
28	27	breq2d 4468	. . . . 5 |- ( e = A -> ( <" A B C "> .~ <" D e F "> <-> <" A B C "> .~ <" D A F "> ) )
29	23, 28	anbi12d 710	. . . 4 |- ( e = A -> ( ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) <-> ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) )
30	29	rspcev 3210	. . 3 |- ( ( A e. P /\ ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
31	2, 13, 22, 30	syl12anc 1226	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
32	6	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> G e. TarskiG )
33		simplr 755	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> g e. P )
34	8	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> D e. P )
35	1	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> A e. P )
36	15	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> B e. P )
37	3, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36	axtgsegcon 23987	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
38	6	ad7antr 737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> G e. TarskiG )
39	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> g e. P )
40	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g e. P )
41	8	ad7antr 737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. P )
42		simplr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> e e. P )
43	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. P )
44		simplr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f e. P )
45		simpllr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
46	45	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I e ) )
47		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( g I f ) )
48	3, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47	tgbtwnexch3 24011	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I f ) )
49	1	ad7antr 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> A e. P )
50	17	ad7antr 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> C e. P )
51	10	ad7antr 737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> F e. P )
52		simp-5r 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
53	52	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D =/= g )
54	53	necomd 2728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g =/= D )
55	3, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47	tgbtwnexch 24015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I f ) )
56	52	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( F I g ) )
57	3, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56	tgbtwncom 24005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I F ) )
58	15	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. P )
59		tgcgrxfr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
60	59	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. ( A I C ) )
61	45	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- e ) = ( A .- B ) )
62		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( B .- C ) )
63	3, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62	tgcgrextend 24002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- f ) = ( A .- C ) )
64		tgcgrxfr.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
65	64	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
66	65	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- F ) = ( A .- C ) )
67	3, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66	tgsegconeq 24003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f = F )
68	67	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D I f ) = ( D I F ) )
69	48, 68	eleqtrd 2547	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I F ) )
70	61	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- B ) = ( D .- e ) )
71	67	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( e .- F ) )
72	62, 71	eqtr3d 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( B .- C ) = ( e .- F ) )
73	3, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 64	tgcgrcomlr 23997	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
74	73	ad7antr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
75	3, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74	trgcgr 24033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> <" A B C "> .~ <" D e F "> )
76	69, 75	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
77	32	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> G e. TarskiG )
78	36	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> B e. P )
79	17	ad5antr 733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> C e. P )
80	3, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79	axtgsegcon 23987	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> E. f e. P ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) )
81	76, 80	r19.29a 2999	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
82	81	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) -> ( ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
83	82	reximdva 2932	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> ( E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
84	37, 83	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
85	6	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
86	10	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> F e. P )
87	8	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> D e. P )
88		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
89	3, 4, 5, 85, 86, 87, 88	tgbtwndiff 24023	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. g e. P ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
90	84, 89	r19.29a 2999	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
91	3, 1	tgldimor 24019	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
92	31, 90, 91	mpjaodan 786	1 |- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510   <_ cle 9646   2c2 10606   #chash 12408   <"cs3 12819   Basecbs 14644   distcds 14721  TarskiGcstrkg 23951  Itvcitv 23958  cgrGccgrg 24028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-s2 12825  df-s3 12826  df-trkgc 23970  df-trkgb 23971  df-trkgcb 23972  df-trkg 23976  df-cgrg 24029

This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  24044  lnext  24080  midexlem  24195