Theorem tgcgrxfr 23775

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	|- P = ( Base ` G )
tgcgrxfr.m	|- .- = ( dist ` G )
tgcgrxfr.i	|- I = (Itv ` G )
tgcgrxfr.r	|- .~ = (cgrG ` G )
tgcgrxfr.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgcgrxfr.a	|- ( ph -> A e. P )
tgcgrxfr.b	|- ( ph -> B e. P )
tgcgrxfr.c	|- ( ph -> C e. P )
tgcgrxfr.d	|- ( ph -> D e. P )
tgcgrxfr.f	|- ( ph -> F e. P )
tgcgrxfr.1	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgcgrxfr.2	|- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )

Assertion

Ref	Expression
tgcgrxfr	|- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )

Distinct variable groups:   A, e   B, e   C, e   D, e   e, F   e, I   P, e   .- , e   .~ , e   ph, e

Allowed substitution hint:   G( e)

Proof of Theorem tgcgrxfr

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. P )
2	1	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
3		tgcgrxfr.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
4		tgcgrxfr.m	. . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
5		tgcgrxfr.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
6		tgcgrxfr.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
7	6	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
8		tgcgrxfr.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. P )
9	8	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
10		tgcgrxfr.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. P )
11	10	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> F e. P )
12		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
13	3, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12	tgldim0itv 23761	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. ( D I F ) )
14		tgcgrxfr.r	. . . . 5 |- .~ = (cgrG ` G )
15		tgcgrxfr.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. P )
16	15	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
17		tgcgrxfr.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. P )
18	17	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
19	3, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2	tgldim0cgr 23762	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( D .- A ) )
20	3, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11	tgldim0cgr 23762	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( B .- C ) = ( A .- F ) )
21	3, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9	tgldim0cgr 23762	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
22	3, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21	trgcgr 23773	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> <" A B C "> .~ <" D A F "> )
23	13, 22	jca 532	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) )
24		eleq1 2539	. . . . 5 |- ( e = A -> ( e e. ( D I F ) <-> A e. ( D I F ) ) )
25		eqidd 2468	. . . . . . 7 |- ( e = A -> D = D )
26		id 22	. . . . . . 7 |- ( e = A -> e = A )
27		eqidd 2468	. . . . . . 7 |- ( e = A -> F = F )
28	25, 26, 27	s3eqd 12808	. . . . . 6 |- ( e = A -> <" D e F "> = <" D A F "> )
29	28	breq2d 4465	. . . . 5 |- ( e = A -> ( <" A B C "> .~ <" D e F "> <-> <" A B C "> .~ <" D A F "> ) )
30	24, 29	anbi12d 710	. . . 4 |- ( e = A -> ( ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) <-> ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) )
31	30	rspcev 3219	. . 3 |- ( ( A e. P /\ ( A e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D A F "> ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
32	2, 23, 31	syl2anc 661	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
33	6	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
34	33	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> G e. TarskiG )
35		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> g e. P )
36	8	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> D e. P )
37	36	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> D e. P )
38	1	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> A e. P )
39	15	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> B e. P )
40	3, 4, 5, 34, 35, 37, 38, 39	axtgsegcon 23727	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
41	34	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> G e. TarskiG )
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> G e. TarskiG )
43	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> g e. P )
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g e. P )
45	37	ad4antr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. P )
46		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> e e. P )
47	46	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. P )
48		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f e. P )
49		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) )
50	49	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I e ) )
51		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( g I f ) )
52	3, 4, 5, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51	tgbtwnexch3 23751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I f ) )
53	38	ad4antr 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> A e. P )
54	17	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> C e. P )
55	54	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> C e. P )
56	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> F e. P )
57	56	ad6antr 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> F e. P )
58		simp-5r 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
59	58	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D =/= g )
60	59	necomd 2738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> g =/= D )
61	3, 4, 5, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51	tgbtwnexch 23755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I f ) )
62	58	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( F I g ) )
63	3, 4, 5, 42, 57, 45, 44, 62	tgbtwncom 23745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> D e. ( g I F ) )
64	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> B e. P )
65	64	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. P )
66		tgcgrxfr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
67	66	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> B e. ( A I C ) )
68	49	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- e ) = ( A .- B ) )
69		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( B .- C ) )
70	3, 4, 5, 42, 45, 47, 48, 53, 65, 55, 52, 67, 68, 69	tgcgrextend 23742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- f ) = ( A .- C ) )
71		tgcgrxfr.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
72	71	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- C ) = ( D .- F ) )
73	72	eqcomd 2475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D .- F ) = ( A .- C ) )
74	3, 4, 5, 42, 45, 53, 55, 44, 48, 57, 60, 61, 63, 70, 73	tgsegconeq 23743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> f = F )
75	74	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( D I f ) = ( D I F ) )
76	52, 75	eleqtrd 2557	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> e e. ( D I F ) )
77	68	eqcomd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( A .- B ) = ( D .- e ) )
78	74	oveq2d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e .- f ) = ( e .- F ) )
79	69, 78	eqtr3d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( B .- C ) = ( e .- F ) )
80	3, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 71	tgcgrcomlr 23737	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
81	80	ad7antr 737	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( C .- A ) = ( F .- D ) )
82	3, 4, 14, 42, 53, 65, 55, 45, 47, 57, 77, 79, 81	trgcgr 23773	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> <" A B C "> .~ <" D e F "> )
83	76, 82	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) /\ f e. P ) /\ ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
84	3, 4, 5, 41, 43, 46, 64, 54	axtgsegcon 23727	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> E. f e. P ( e e. ( g I f ) /\ ( e .- f ) = ( B .- C ) ) )
85	83, 84	r19.29a 3008	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) /\ ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
86	85	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) /\ e e. P ) -> ( ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
87	86	reximdva 2942	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> ( E. e e. P ( D e. ( g I e ) /\ ( D .- e ) = ( A .- B ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) ) )
88	40, 87	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ g e. P ) /\ ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
89		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
90	3, 4, 5, 33, 56, 36, 89	tgbtwndiff 23763	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. g e. P ( D e. ( F I g ) /\ D =/= g ) )
91	88, 90	r19.29a 3008	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )
92	3, 1	tgldimor 23759	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
93	32, 91, 92	mpjaodan 784	1 |- ( ph -> E. e e. P ( e e. ( D I F ) /\ <" A B C "> .~ <" D e F "> ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505   <_ cle 9641   2c2 10597   #chash 12385   <"cs3 12787   Basecbs 14507   distcds 14581  TarskiGcstrkg 23691  Itvcitv 23698  cgrGccgrg 23768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-s2 12793  df-s3 12794  df-trkgc 23710  df-trkgb 23711  df-trkgcb 23712  df-trkg 23716  df-cgrg 23769

This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  23784  lnext  23819  midexlem  23915