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Theorem tgcgrxfr 24035
Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgcgrxfr.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgcgrxfr.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgcgrxfr.r  |-  .~  =  (cgrG `  G )
tgcgrxfr.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgcgrxfr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgcgrxfr.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgcgrxfr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgcgrxfr.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgcgrxfr.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgcgrxfr.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
tgcgrxfr.2  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F ) )
Assertion
Ref Expression
tgcgrxfr  |-  ( ph  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
Distinct variable groups:    A, e    B, e    C, e    D, e   
e, F    e, I    P, e    .- , e    .~ , e    ph, e
Allowed substitution hint:    G( e)

Proof of Theorem tgcgrxfr
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
21adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  P
)
3 tgcgrxfr.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 tgcgrxfr.m . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 tgcgrxfr.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
6 tgcgrxfr.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
8 tgcgrxfr.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
10 tgcgrxfr.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  F  e.  P
)
12 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
133, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12tgldim0itv 24021 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  ( D I F ) )
14 tgcgrxfr.r . . . 4  |-  .~  =  (cgrG `  G )
15 tgcgrxfr.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
17 tgcgrxfr.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  C  e.  P
)
193, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2tgldim0cgr 24022 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  A ) )
203, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11tgldim0cgr 24022 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( B  .-  C )  =  ( A  .-  F ) )
213, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9tgldim0cgr 24022 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D ) )
223, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21trgcgr 24033 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  <" A B C ">  .~  <" D A F "> )
23 eleq1 2529 . . . . 5  |-  ( e  =  A  ->  (
e  e.  ( D I F )  <->  A  e.  ( D I F ) ) )
24 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( e  =  A  ->  D  =  D )
25 id 22 . . . . . . 7  |-  ( e  =  A  ->  e  =  A )
26 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( e  =  A  ->  F  =  F )
2724, 25, 26s3eqd 12840 . . . . . 6  |-  ( e  =  A  ->  <" D
e F ">  =  <" D A F "> )
2827breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( e  =  A  ->  ( <" A B C ">  .~  <" D e F "> 
<-> 
<" A B C ">  .~  <" D A F "> ) )
2923, 28anbi12d 710 . . . 4  |-  ( e  =  A  ->  (
( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> )  <->  ( A  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D A F "> ) ) )
3029rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( A  e.  P  /\  ( A  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D A F "> ) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
312, 13, 22, 30syl12anc 1226 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
326ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  G  e. TarskiG )
33 simplr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  g  e.  P
)
348ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  D  e.  P
)
351ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  A  e.  P
)
3615ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  B  e.  P
)
373, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36axtgsegcon 23987 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  E. e  e.  P  ( D  e.  (
g I e )  /\  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B ) ) )
386ad7antr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
3933ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  -> 
g  e.  P )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  g  e.  P )
418ad7antr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  P )
42 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  -> 
e  e.  P )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  P )
44 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  f  e.  P )
45 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  e.  ( g
I e )  /\  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B ) ) )
4645simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( g I e ) )
47 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  ( g I f ) )
483, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch3 24011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  ( D I f ) )
491ad7antr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  A  e.  P )
5017ad7antr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  C  e.  P )
5110ad7antr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  F  e.  P )
52 simp-5r 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )
5352simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  =/=  g )
5453necomd 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  g  =/=  D )
553, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47tgbtwnexch 24015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( g I f ) )
5652simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( F I g ) )
573, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56tgbtwncom 24005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  D  e.  ( g I F ) )
5815ad7antr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  B  e.  P )
59 tgcgrxfr.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
6059ad7antr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  B  e.  ( A I C ) )
6145simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B
) )
62 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) )
633, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62tgcgrextend 24002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  .-  f )  =  ( A  .-  C
) )
64 tgcgrxfr.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( D 
.-  F ) )
6564ad7antr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( A  .-  C )  =  ( D  .-  F
) )
6665eqcomd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D  .-  F )  =  ( A  .-  C
) )
673, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66tgsegconeq 24003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  f  =  F )
6867oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( D I f )  =  ( D I F ) )
6948, 68eleqtrd 2547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  e  e.  ( D I F ) )
7061eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( D  .-  e
) )
7167oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
e  .-  f )  =  ( e  .-  F ) )
7262, 71eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( B  .-  C )  =  ( e  .-  F
) )
733, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 64tgcgrcomlr 23997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( F 
.-  D ) )
7473ad7antr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  ( C  .-  A )  =  ( F  .-  D
) )
753, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74trgcgr 24033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  <" A B C ">  .~  <" D e F "> )
7669, 75jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  /\  f  e.  P )  /\  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )  ->  (
e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
7732ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  G  e. TarskiG )
7836ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  B  e.  P )
7917ad5antr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  C  e.  P )
803, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79axtgsegcon 23987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  ->  E. f  e.  P  ( e  e.  ( g I f )  /\  ( e  .-  f )  =  ( B  .-  C ) ) )
8176, 80r19.29a 2999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  /\  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) ) )  -> 
( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
8281ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  /\  e  e.  P
)  ->  ( ( D  e.  ( g
I e )  /\  ( D  .-  e )  =  ( A  .-  B ) )  -> 
( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) ) )
8382reximdva 2932 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  ( E. e  e.  P  ( D  e.  ( g I e )  /\  ( D 
.-  e )  =  ( A  .-  B
) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) ) )
8437, 83mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  g  e.  P )  /\  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
856adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  G  e. TarskiG )
8610adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  F  e.  P )
878adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  D  e.  P )
88 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
893, 4, 5, 85, 86, 87, 88tgbtwndiff 24023 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. g  e.  P  ( D  e.  ( F I g )  /\  D  =/=  g ) )
9084, 89r19.29a 2999 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
913, 1tgldimor 24019 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
9231, 90, 91mpjaodan 786 1  |-  ( ph  ->  E. e  e.  P  ( e  e.  ( D I F )  /\  <" A B C ">  .~  <" D e F "> ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510    <_ cle 9646   2c2 10606   #chash 12408   <"cs3 12819   Basecbs 14644   distcds 14721  TarskiGcstrkg 23951  Itvcitv 23958  cgrGccgrg 24028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-s2 12825  df-s3 12826  df-trkgc 23970  df-trkgb 23971  df-trkgcb 23972  df-trkg 23976  df-cgrg 24029
This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  24044  lnext  24080  midexlem  24195
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