Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgr4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tgcgr4 24655
 Description: Two quadrilaterals to be congruent to each other if one triangle formed by their vertices is, and the additional points are equidistant too. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p
tgcgrxfr.m
tgcgrxfr.i Itv
tgcgrxfr.r cgrG
tgcgrxfr.g TarskiG
tgcgr4.a
tgcgr4.b
tgcgr4.c
tgcgr4.d
tgcgr4.w
tgcgr4.x
tgcgr4.y
tgcgr4.z
Assertion
Ref Expression
tgcgr4

Proof of Theorem tgcgr4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.p . . 3
2 tgcgrxfr.m . . 3
3 tgcgrxfr.r . . 3 cgrG
4 tgcgrxfr.g . . 3 TarskiG
5 fzo0ssnn0 12023 . . . . 5 ..^
6 nn0ssre 10897 . . . . 5
75, 6sstri 3427 . . . 4 ..^
87a1i 11 . . 3 ..^
9 tgcgr4.a . . . . . 6
10 tgcgr4.b . . . . . 6
11 tgcgr4.c . . . . . 6
12 tgcgr4.d . . . . . 6
139, 10, 11, 12s4cld 13027 . . . . 5 Word
14 wrdf 12723 . . . . 5 Word ..^
1513, 14syl 17 . . . 4 ..^
16 s4len 13053 . . . . . 6
1716oveq2i 6319 . . . . 5 ..^ ..^
1817feq2i 5731 . . . 4 ..^ ..^
1915, 18sylib 201 . . 3 ..^
20 tgcgr4.w . . . . . 6
21 tgcgr4.x . . . . . 6
22 tgcgr4.y . . . . . 6
23 tgcgr4.z . . . . . 6
2420, 21, 22, 23s4cld 13027 . . . . 5 Word
25 wrdf 12723 . . . . 5 Word ..^
2624, 25syl 17 . . . 4 ..^
27 s4len 13053 . . . . . 6
2827oveq2i 6319 . . . . 5 ..^ ..^
2928feq2i 5731 . . . 4 ..^ ..^
3026, 29sylib 201 . . 3 ..^
311, 2, 3, 4, 8, 19, 30iscgrglt 24638 . 2
32 fdm 5745 . . . . . . . 8 ..^ ..^
3319, 32syl 17 . . . . . . 7 ..^
34 3p1e4 10758 . . . . . . . . 9
3534oveq2i 6319 . . . . . . . 8 ..^ ..^
36 3nn0 10911 . . . . . . . . . 10
37 nn0uz 11217 . . . . . . . . . 10
3836, 37eleqtri 2547 . . . . . . . . 9
39 fzosplitsn 12048 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 ..^ ..^
4135, 40eqtr3i 2495 . . . . . . 7 ..^ ..^
4233, 41syl6eq 2521 . . . . . 6 ..^
4342raleqdv 2979 . . . . 5 ..^
44 breq2 4399 . . . . . . . 8
45 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
4645oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
47 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
4847oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
4946, 48eqeq12d 2486 . . . . . . . 8
5044, 49imbi12d 327 . . . . . . 7
5150ralunsn 4178 . . . . . 6 ..^ ..^
5236, 51ax-mp 5 . . . . 5 ..^ ..^
5343, 52syl6bb 269 . . . 4 ..^
5453ralbidv 2829 . . 3 ..^
5542raleqdv 2979 . . . 4 ..^ ..^ ..^
56 fzo0ssnn0 12023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
5756, 6sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
58 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
5957, 58sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
60 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
616, 36sselii 3415 . . . . . . . . . . . . . . 15
6260, 61syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
63 elfzolt2 11956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
6463adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
6564, 60breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
66 ltnsym 9750 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14
6859, 62, 65, 67syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
6968pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . 12 ..^
70 tbtru 1462 . . . . . . . . . . . 12
7169, 70sylib 201 . . . . . . . . . . 11 ..^
7271ralbidva 2828 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
73 3nn 10791 . . . . . . . . . . . . 13
74 lbfzo0 11983 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7573, 74mpbir 214 . . . . . . . . . . . 12 ..^
7675ne0ii 3729 . . . . . . . . . . 11 ..^
77 r19.3rzv 3853 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
7876, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ..^
7972, 78syl6bbr 271 . . . . . . . . 9 ..^
80 breq1 4398 . . . . . . . . . . . 12
8161ltnri 9761 . . . . . . . . . . . . 13
8281bifal 1465 . . . . . . . . . . . 12
8380, 82syl6bb 269 . . . . . . . . . . 11
8483imbi1d 324 . . . . . . . . . 10
85 falim 1466 . . . . . . . . . . 11
8685bitru 1464 . . . . . . . . . 10
8784, 86syl6bb 269 . . . . . . . . 9
8879, 87anbi12d 725 . . . . . . . 8 ..^
89 anidm 656 . . . . . . . 8
9088, 89syl6bb 269 . . . . . . 7 ..^
9190ralunsn 4178 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
9236, 91ax-mp 5 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^
93 ancom 457 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^
94 truan 1469 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^
9592, 93, 943bitri 279 . . . 4 ..^ ..^ ..^ ..^
9655, 95syl6bb 269 . . 3 ..^ ..^ ..^
9754, 96bitrd 261 . 2 ..^ ..^
98 r19.26 2904 . . 3 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
999, 10, 11s3cld 13026 . . . . . . . . 9 Word
100 wrdf 12723 . . . . . . . . 9 Word ..^
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 ..^
102 s3len 13048 . . . . . . . . . 10
103102oveq2i 6319 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
104103feq2i 5731 . . . . . . . 8 ..^ ..^
105101, 104sylib 201 . . . . . . 7 ..^
106 fdm 5745 . . . . . . 7 ..^ ..^
107105, 106syl 17 . . . . . 6 ..^
108 raleq 2973 . . . . . . 7 ..^ ..^
109105, 106, 1083syl 18 . . . . . 6 ..^
110107, 109raleqbidv 2987 . . . . 5 ..^ ..^
11157a1i 11 . . . . . 6 ..^
11220, 21, 22s3cld 13026 . . . . . . . 8 Word
113 wrdf 12723 . . . . . . . 8 Word ..^
114112, 113syl 17 . . . . . . 7 ..^
115 s3len 13048 . . . . . . . . 9
116115oveq2i 6319 . . . . . . . 8 ..^ ..^
117116feq2i 5731 . . . . . . 7 ..^ ..^
118114, 117sylib 201 . . . . . 6 ..^
1191, 2, 3, 4, 111, 105, 118iscgrglt 24638 . . . . 5
120 df-s4 13005 . . . . . . . . . . 11 ++
121120fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10 ++
1229adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
12310adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
12411adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
125122, 123, 124s3cld 13026 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ Word
12612adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
127126s1cld 12795 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ Word
128 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^
129128, 103syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^
130 ccatval1 12773 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ ++
131125, 127, 129, 130syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ++
132121, 131syl5eq 2517 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
133120fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10 ++
134 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^
135134, 103syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^
136 ccatval1 12773 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ ++
137125, 127, 135, 136syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ++
138133, 137syl5eq 2517 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
139132, 138oveq12d 6326 . . . . . . . 8 ..^ ..^
140 df-s4 13005 . . . . . . . . . . 11 ++
141140fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10 ++
14220adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
14321adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
14422adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
145142, 143, 144s3cld 13026 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ Word
14623adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
147146s1cld 12795 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ Word
148128, 116syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^
149 ccatval1 12773 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ ++
150145, 147, 148, 149syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ++
151141, 150syl5eq 2517 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
152140fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10 ++
153134, 116syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^
154 ccatval1 12773 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ ++
155145, 147, 153, 154syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ ++
156152, 155syl5eq 2517 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
157151, 156oveq12d 6326 . . . . . . . 8 ..^ ..^
158139, 157eqeq12d 2486 . . . . . . 7 ..^ ..^
159158imbi2d 323 . . . . . 6 ..^ ..^
1601592ralbidva 2831 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^
161110, 119, 1603bitr4rd 294 . . . 4 ..^ ..^
162 fzo0to3tp 12028 . . . . . 6 ..^
163 raleq 2973 . . . . . 6 ..^ ..^
164162, 163mp1i 13 . . . . 5 ..^
165 3pos 10725 . . . . . . . . . 10
166 breq1 4398 . . . . . . . . . 10
167165, 166mpbiri 241 . . . . . . . . 9
168167adantl 473 . . . . . . . 8
169 biimt 342 . . . . . . . 8
170168, 169syl 17 . . . . . . 7
171 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
172171fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
173 s4fv0 13049 . . . . . . . . . . . 12
1749, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11
175174adantr 472 . . . . . . . . . 10
176172, 175eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
177 s4fv3 13052 . . . . . . . . . . 11
17812, 177syl 17 . . . . . . . . . 10
179178adantr 472 . . . . . . . . 9
180176, 179oveq12d 6326 . . . . . . . 8
181171fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
182 s4fv0 13049 . . . . . . . . . . . 12
18320, 182syl 17 . . . . . . . . . . 11
184183adantr 472 . . . . . . . . . 10
185181, 184eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
186 s4fv3 13052 . . . . . . . . . . 11
18723, 186syl 17 . . . . . . . . . 10
188187adantr 472 . . . . . . . . 9
189185, 188oveq12d 6326 . . . . . . . 8
190180, 189eqeq12d 2486 . . . . . . 7
191170, 190bitr3d 263 . . . . . 6
192 1lt3 10801 . . . . . . . . . 10
193 breq1 4398 . . . . . . . . . 10
194192, 193mpbiri 241 . . . . . . . . 9
195194adantl 473 . . . . . . . 8
196195, 169syl 17 . . . . . . 7
197 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
198197fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
199 s4fv1 13050 . . . . . . . . . . . 12
20010, 199syl 17 . . . . . . . . . . 11
201200adantr 472 . . . . . . . . . 10
202198, 201eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
203178adantr 472 . . . . . . . . 9
204202, 203oveq12d 6326 . . . . . . . 8
205197fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
206 s4fv1 13050 . . . . . . . . . . . 12
20721, 206syl 17 . . . . . . . . . . 11
208207adantr 472 . . . . . . . . . 10
209205, 208eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
210187adantr 472 . . . . . . . . 9
211209, 210oveq12d 6326 . . . . . . . 8
212204, 211eqeq12d 2486 . . . . . . 7
213196, 212bitr3d 263 . . . . . 6
214 2lt3 10800 . . . . . . . . . 10
215 breq1 4398 . . . . . . . . . 10
216214, 215mpbiri 241 . . . . . . . . 9
217216adantl 473 . . . . . . . 8
218217, 169syl 17 . . . . . . 7
219 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
220219fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
221 s4fv2 13051 . . . . . . . . . . . 12
22211, 221syl 17 . . . . . . . . . . 11
223222adantr 472 . . . . . . . . . 10
224220, 223eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
225178adantr 472 . . . . . . . . 9
226224, 225oveq12d 6326 . . . . . . . 8
227219fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
228 s4fv2 13051 . . . . . . . . . . . 12
22922, 228syl 17 . . . . . . . . . . 11
230229adantr 472 . . . . . . . . . 10
231227, 230eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
232187adantr 472 . . . . . . . . 9
233231, 232oveq12d 6326 . . . . . . . 8
234226, 233eqeq12d 2486 . . . . . . 7
235218, 234bitr3d 263 . . . . . 6
236 0red 9662 . . . . . 6
237 1red 9676 . . . . . 6
238 2re 10701 . . . . . . 7
239238a1i 11 . . . . . 6
240191, 213, 235, 236, 237, 239raltpd 4086 . . . . 5
241164, 240bitrd 261 . . . 4 ..^
242161, 241anbi12d 725 . . 3 ..^ ..^ ..^
24398, 242syl5bb 265 . 2 ..^ ..^
24431, 97, 2433bitrd 287 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wtru 1453   wfal 1457   wcel 1904   wne 2641  wral 2756   cun 3388   wss 3390  c0 3722  csn 3959  ctp 3963   class class class wbr 4395   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693  cn 10631  c2 10681  c3 10682  c4 10683  cn0 10893  cuz 11182  ..^cfzo 11942  chash 12553  Word cword 12703   ++ cconcat 12705  cs1 12706  cs3 12997  cs4 12998  cbs 15199  cds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  cgrGccgrg 24634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-s4 13005  df-trkgc 24575  df-trkgcb 24577  df-trkg 24580  df-cgrg 24635 This theorem is referenced by:  cgrg3col4  24963
 Copyright terms: Public domain W3C validator