Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnxfr Structured version   Unicode version

Theorem tgbtwnxfr 23784
 Description: A condition for extending betweenness to a new set of points based on congruence with another set of points. Theorem 4.6 of [Schwabhauser] p. 36. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p
tgcgrxfr.m
tgcgrxfr.i Itv
tgcgrxfr.r cgrG
tgcgrxfr.g TarskiG
tgbtwnxfr.a
tgbtwnxfr.b
tgbtwnxfr.c
tgbtwnxfr.d
tgbtwnxfr.e
tgbtwnxfr.f
tgbtwnxfr.2
tgbtwnxfr.1
Assertion
Ref Expression
tgbtwnxfr

Proof of Theorem tgbtwnxfr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.p . . . 4
2 tgcgrxfr.m . . . 4
3 tgcgrxfr.i . . . 4 Itv
4 tgcgrxfr.g . . . . 5 TarskiG
54ad2antrr 725 . . . 4 TarskiG
6 simplr 754 . . . 4
7 tgbtwnxfr.e . . . . 5
87ad2antrr 725 . . . 4
9 tgbtwnxfr.d . . . . . 6
109ad2antrr 725 . . . . 5
11 tgbtwnxfr.f . . . . . 6
1211ad2antrr 725 . . . . 5
13 simprl 755 . . . . 5
14 eqidd 2468 . . . . 5
15 eqidd 2468 . . . . 5
16 tgcgrxfr.r . . . . . 6 cgrG
17 tgbtwnxfr.a . . . . . . . . 9
1817ad2antrr 725 . . . . . . . 8
19 tgbtwnxfr.b . . . . . . . . 9
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8
21 tgbtwnxfr.c . . . . . . . . 9
2221ad2antrr 725 . . . . . . . 8
23 simprr 756 . . . . . . . . 9
241, 2, 3, 16, 5, 18, 20, 22, 10, 6, 12, 23trgcgrcom 23782 . . . . . . . 8
25 tgbtwnxfr.2 . . . . . . . . 9
2625ad2antrr 725 . . . . . . . 8
271, 2, 3, 16, 5, 10, 6, 12, 18, 20, 22, 24, 10, 8, 12, 26cgr3tr 23783 . . . . . . 7
281, 2, 3, 16, 5, 10, 6, 12, 10, 8, 12, 27trgcgrcom 23782 . . . . . 6
291, 2, 3, 16, 5, 10, 8, 12, 10, 6, 12, 28cgr3simp1 23777 . . . . 5
301, 2, 3, 16, 5, 10, 8, 12, 10, 6, 12, 28cgr3simp2 23778 . . . . . 6
311, 2, 3, 5, 8, 12, 6, 12, 30tgcgrcomlr 23737 . . . . 5
321, 2, 3, 5, 10, 6, 12, 8, 10, 6, 12, 6, 13, 13, 14, 15, 29, 31tgifscgr 23766 . . . 4
331, 2, 3, 5, 6, 8, 6, 32axtgcgrid 23726 . . 3
3433, 13eqeltrrd 2556 . 2
35 tgbtwnxfr.1 . . 3
361, 2, 3, 16, 4, 17, 19, 21, 9, 7, 11, 25cgr3simp3 23779 . . . 4
371, 2, 3, 4, 21, 17, 11, 9, 36tgcgrcomlr 23737 . . 3
381, 2, 3, 16, 4, 17, 19, 21, 9, 11, 35, 37tgcgrxfr 23775 . 2
3934, 38r19.29a 3008 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   class class class wbr 4453  cfv 5594  (class class class)co 6295  cs3 12787  cbs 14507  cds 14581  TarskiGcstrkg 23691  Itvcitv 23698  cgrGccgrg 23768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-s2 12793  df-s3 12794  df-trkgc 23710  df-trkgb 23711  df-trkgcb 23712  df-trkg 23716  df-cgrg 23769 This theorem is referenced by:  lnxfr  23818  tgfscgr  23820  legov  23837  legov2  23838  legtrd  23841  mirbtwni  23903
 Copyright terms: Public domain W3C validator