Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwndiff Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tgbtwndiff 24629
 Description: There is always a distinct from such that lies between and . Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. The condition "the space is of dimension 1 or more" is written here as for simplicity. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwndiff.p
tgbtwndiff.d
tgbtwndiff.i Itv
tgbtwndiff.g TarskiG
tgbtwndiff.a
tgbtwndiff.b
tgbtwndiff.l
Assertion
Ref Expression
tgbtwndiff
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem tgbtwndiff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwndiff.p . . . 4
2 tgbtwndiff.d . . . 4
3 tgbtwndiff.i . . . 4 Itv
4 tgbtwndiff.g . . . . 5 TarskiG
54ad3antrrr 744 . . . 4 TarskiG
6 tgbtwndiff.a . . . . 5
76ad3antrrr 744 . . . 4
8 tgbtwndiff.b . . . . 5
98ad3antrrr 744 . . . 4
10 simpllr 777 . . . 4
11 simplr 770 . . . 4
121, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11axtgsegcon 24591 . . 3
135ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9 TarskiG
1410ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9
1511ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9
169ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9
17 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
1817oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
19 simplr 770 . . . . . . . . . 10
2018, 19eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9
211, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 20axtgcgrid 24590 . . . . . . . 8
22 simp-4r 785 . . . . . . . . 9
2322neneqd 2648 . . . . . . . 8
2421, 23pm2.65da 586 . . . . . . 7
2524neqned 2650 . . . . . 6
2625ex 441 . . . . 5
2726anim2d 575 . . . 4
2827reximdva 2858 . . 3
2912, 28mpd 15 . 2
30 tgbtwndiff.l . . 3
311, 2, 3, 4, 30tglowdim1 24623 . 2
3229, 31r19.29vva 2920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308   cle 9694  c2 10681  chash 12553  cbs 15199  cds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-trkgc 24575  df-trkgcb 24577  df-trkg 24580 This theorem is referenced by:  tgifscgr  24632  tgcgrxfr  24642  tgbtwnconn3  24701  legtrid  24715  hlcgrex  24740  hlcgreulem  24741  midexlem  24816  hpgerlem  24886
 Copyright terms: Public domain W3C validator