Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn2 Structured version   Unicode version

Theorem tgbtwnconn2 23828
 Description: Another connectivity law for betweenness. Theorem 5.2 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p
tgbtwnconn.i Itv
tgbtwnconn.g TarskiG
tgbtwnconn.a
tgbtwnconn.b
tgbtwnconn.c
tgbtwnconn.d
tgbtwnconn2.1
tgbtwnconn2.2
tgbtwnconn2.3
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn2

Proof of Theorem tgbtwnconn2
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . . 4
2 eqid 2467 . . . 4
3 tgbtwnconn.i . . . 4 Itv
4 tgbtwnconn.g . . . . 5 TarskiG
54adantr 465 . . . 4 TarskiG
6 tgbtwnconn.a . . . . 5
76adantr 465 . . . 4
8 tgbtwnconn.b . . . . 5
98adantr 465 . . . 4
10 tgbtwnconn.c . . . . 5
1110adantr 465 . . . 4
12 tgbtwnconn.d . . . . 5
1312adantr 465 . . . 4
14 tgbtwnconn2.2 . . . . 5
1514adantr 465 . . . 4
16 simpr 461 . . . 4
171, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16tgbtwnexch3 23751 . . 3
1817orcd 392 . 2
194adantr 465 . . . 4 TarskiG
206adantr 465 . . . 4
218adantr 465 . . . 4
2212adantr 465 . . . 4
2310adantr 465 . . . 4
24 tgbtwnconn2.3 . . . . 5
2524adantr 465 . . . 4
26 simpr 461 . . . 4
271, 2, 3, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26tgbtwnexch3 23751 . . 3
2827olcd 393 . 2
29 tgbtwnconn2.1 . . 3
301, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 29, 14, 24tgbtwnconn1 23827 . 2
3118, 28, 30mpjaodan 784 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507  cds 14581  TarskiGcstrkg 23691  Itvcitv 23698 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-s2 12793  df-s3 12794  df-trkgc 23710  df-trkgb 23711  df-trkgcb 23712  df-trkg 23716  df-cgrg 23769 This theorem is referenced by:  tgbtwnconn3  23829  tgbtwnconn22  23831  tgbtwnconnln2  23833  legtrid  23843  krippenlem  23915
 Copyright terms: Public domain W3C validator