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Theorem tgbtwnconn1lem3 24479
Description: Lemma for tgbtwnconn1 24480 (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn1.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
tgbtwnconn1.i  |-  I  =  (Itv `  G )
tgbtwnconn1.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
tgbtwnconn1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
tgbtwnconn1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
tgbtwnconn1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
tgbtwnconn1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
tgbtwnconn1.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
tgbtwnconn1.2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
tgbtwnconn1.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I D ) )
tgbtwnconn1.m  |-  .-  =  ( dist `  G )
tgbtwnconn1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
tgbtwnconn1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
tgbtwnconn1.h  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
tgbtwnconn1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  P )
tgbtwnconn1.4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( A I E ) )
tgbtwnconn1.5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I F ) )
tgbtwnconn1.6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( A I H ) )
tgbtwnconn1.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A I J ) )
tgbtwnconn1.8  |-  ( ph  ->  ( E  .-  D
)  =  ( C 
.-  D ) )
tgbtwnconn1.9  |-  ( ph  ->  ( C  .-  F
)  =  ( C 
.-  D ) )
tgbtwnconn1.10  |-  ( ph  ->  ( E  .-  H
)  =  ( B 
.-  C ) )
tgbtwnconn1.11  |-  ( ph  ->  ( F  .-  J
)  =  ( B 
.-  D ) )
tgbtwnconn1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
tgbtwnconn1.12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( C I E ) )
tgbtwnconn1.13  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D I F ) )
tgbtwnconn1.14  |-  ( ph  ->  C  =/=  E )
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn1lem3  |-  ( ph  ->  D  =  F )

Proof of Theorem tgbtwnconn1lem3
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn1.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 tgbtwnconn1.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 tgbtwnconn1.i . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  G )
4 tgbtwnconn1.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
54ad6antr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
6 tgbtwnconn1.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  P )
76ad6antr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  F  e.  P )
8 tgbtwnconn1.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
98ad6antr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  D  e.  P )
10 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  q  e.  P )
115adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  G  e. TarskiG )
129adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  D  e.  P )
13 simpllr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  q  e.  P )
141, 2, 3, 11, 12, 13tgcgrtriv 24391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( D  .-  D
)  =  ( q 
.-  q ) )
15 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  F  =  X )
16 tgbtwnconn1.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
1716ad6antr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  X  e.  P )
1817adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  X  e.  P )
19 tgbtwnconn1.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
20 tgbtwnconn1.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E  e.  P )
21 tgbtwnconn1.12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  ( C I E ) )
22 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  .-  E
)  =  ( C 
.-  E ) )
23 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X  .-  E
)  =  ( X 
.-  E ) )
24 tgbtwnconn1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( C  .-  F
)  =  ( C 
.-  D ) )
2524eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( C 
.-  F ) )
26 tgbtwnconn1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  .-  D
)  =  ( C 
.-  D ) )
27 tgbtwnconn1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
28 tgbtwnconn1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
29 tgbtwnconn1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
30 tgbtwnconn1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
31 tgbtwnconn1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I D ) )
32 tgbtwnconn1.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  H  e.  P )
33 tgbtwnconn1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  P )
34 tgbtwnconn1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  e.  ( A I E ) )
35 tgbtwnconn1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I F ) )
36 tgbtwnconn1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E  e.  ( A I H ) )
37 tgbtwnconn1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A I J ) )
38 tgbtwnconn1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( E  .-  H
)  =  ( B 
.-  C ) )
39 tgbtwnconn1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F  .-  J
)  =  ( B 
.-  D ) )
401, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39tgbtwnconn1lem2 24478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E  .-  F
)  =  ( C 
.-  D ) )
4126, 40eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E  .-  D
)  =  ( E 
.-  F ) )
421, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 8, 19, 16, 20, 6, 21, 21, 22, 23, 25, 41tgifscgr 24416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  .-  D
)  =  ( X 
.-  F ) )
4342ad6antr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( X  .-  D )  =  ( X  .-  F
) )
4443adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( X  .-  D
)  =  ( X 
.-  F ) )
4515oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( X  .-  F
)  =  ( X 
.-  X ) )
4644, 45eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( X  .-  D
)  =  ( X 
.-  X ) )
471, 2, 3, 11, 18, 12, 18, 46axtgcgrid 24374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  X  =  D )
4815, 47eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  F  =  D )
4948oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( F  .-  D
)  =  ( D 
.-  D ) )
507adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  F  e.  P )
51 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C 
.-  p )  =  ( C  .-  F
) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  ->  p  e.  P )
5251ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  p  e.  P )
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  p  e.  P )
54 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  r  e.  P )
5554adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  r  e.  P )
5619ad6antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  e.  P )
57 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  C  =  F )
584adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  G  e. TarskiG )
5919adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  C  e.  P )
606adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  F  e.  P )
6120adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  E  e.  P )
6224, 40eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( C  .-  F
)  =  ( E 
.-  F ) )
6362adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  ( C  .-  F )  =  ( E  .-  F
) )
641, 2, 3, 58, 59, 60, 61, 60, 63, 57tgcgreq 24389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  E  =  F )
6557, 64eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  C  =  E )
66 tgbtwnconn1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  C  =/=  E )
6766adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  C  =/=  E )
6867neneqd 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  C  =  F )  ->  -.  C  =  E )
6965, 68pm2.65da 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  C  =  F )
7069neqned 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  C  =/=  F )
7170necomd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  =/=  C )
7271ad6antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  F  =/=  C )
73 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )
7473simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  e.  ( F I r ) )
7520ad6antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  E  e.  P )
761, 2, 3, 4, 19, 16, 20, 21tgbtwncom 24395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  ( E I C ) )
7776ad6antr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  X  e.  ( E I C ) )
78 simp-5r 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )
7978simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  e.  ( E I p ) )
801, 2, 3, 5, 75, 17, 56, 52, 77, 79tgbtwnexch3 24401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  e.  ( X I p ) )
811, 2, 3, 5, 17, 56, 52, 80tgbtwncom 24395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  e.  ( p I X ) )
8278simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F
) )
8382eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( C  .-  F )  =  ( C  .-  p
) )
841, 2, 3, 5, 56, 7, 56, 52, 83tgcgrcomlr 24387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( F  .-  C )  =  ( p  .-  C
) )
8573simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X
) )
861, 2, 3, 5, 7, 52axtgcgrrflx 24373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( F  .-  p )  =  ( p  .-  F
) )
871, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 52, 56, 17, 52, 7, 72, 74, 81, 84, 85, 86, 82axtg5seg 24376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  (
r  .-  p )  =  ( X  .-  F ) )
8887eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( X  .-  F )  =  ( r  .-  p
) )
891, 2, 3, 5, 17, 7, 54, 52, 88tgcgrcomlr 24387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( F  .-  X )  =  ( p  .-  r
) )
9089adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( F  .-  X
)  =  ( p 
.-  r ) )
911, 2, 3, 11, 50, 18, 53, 55, 90, 15tgcgreq 24389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  p  =  r )
92 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  (
r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) )
9392adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( r  .-  q
)  =  ( r 
.-  p ) )
9491oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( r  .-  p
)  =  ( r 
.-  r ) )
9593, 94eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( r  .-  q
)  =  ( r 
.-  r ) )
961, 2, 3, 11, 55, 13, 55, 95axtgcgrid 24374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  r  =  q )
9791, 96eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  p  =  q )
9897oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( p  .-  q
)  =  ( q 
.-  q ) )
9914, 49, 983eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( F  .-  D
)  =  ( p 
.-  q ) )
1005adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  ->  G  e. TarskiG )
1017adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  ->  F  e.  P )
10217adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  ->  X  e.  P )
1039adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  ->  D  e.  P )
10452adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  ->  p  e.  P )
10554adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  -> 
r  e.  P )
106 simpllr 767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  -> 
q  e.  P )
107 tgbtwnconn1.13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D I F ) )
1081, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 107tgbtwncom 24395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( F I D ) )
109108ad7antr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  ->  X  e.  ( F I D ) )
110 simplrl 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  -> 
r  e.  ( p I q ) )
11189adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  -> 
( F  .-  X
)  =  ( p 
.-  r ) )
11287, 92, 433eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( X  .-  D )  =  ( r  .-  q
) )
113112adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  -> 
( X  .-  D
)  =  ( r 
.-  q ) )
1141, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 109, 110, 111, 113tgcgrextend 24392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  -> 
( F  .-  D
)  =  ( p 
.-  q ) )
11599, 114pm2.61dane 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( F  .-  D )  =  ( p  .-  q
) )
116 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  (LineG `  G )  =  (LineG `  G )
117 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
11866ad6antr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  =/=  E )
1191, 116, 3, 5, 56, 52, 75, 79btwncolg2 24461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( E  e.  ( C
(LineG `  G )
p )  \/  C  =  p ) )
12024ad6antr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( C  .-  F )  =  ( C  .-  D
) )
12184adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( F  .-  C
)  =  ( p 
.-  C ) )
12248oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( F  .-  C
)  =  ( D 
.-  C ) )
12397oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( p  .-  C
)  =  ( q 
.-  C ) )
124121, 122, 1233eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =  X )  ->  ( D  .-  C
)  =  ( q 
.-  C ) )
12556adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  ->  C  e.  P )
126 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  ->  F  =/=  X )
12784adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  -> 
( F  .-  C
)  =  ( p 
.-  C ) )
12885eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( C  .-  X )  =  ( C  .-  r
) )
1291, 2, 3, 5, 56, 17, 56, 54, 128tgcgrcomlr 24387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( X  .-  C )  =  ( r  .-  C
) )
130129adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  -> 
( X  .-  C
)  =  ( r 
.-  C ) )
1311, 2, 3, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 125, 125, 126, 109, 110, 111, 113, 127, 130axtg5seg 24376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  F  =/=  X )  -> 
( D  .-  C
)  =  ( q 
.-  C ) )
132124, 131pm2.61dane 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( D  .-  C )  =  ( q  .-  C
) )
1331, 2, 3, 5, 9, 56, 10, 56, 132tgcgrcomlr 24387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( C  .-  D )  =  ( C  .-  q
) )
13482, 120, 1333eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  q
) )
13528ad6antr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  B  e.  P )
13633ad6antr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  J  e.  P )
1375adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  G  e. TarskiG )
138136adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  J  e.  P )
13956adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  C  e.  P )
1401, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37tgbtwnexch 24405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A I J ) )
1411, 2, 3, 4, 27, 28, 19, 33, 30, 140tgbtwnexch3 24401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B I J ) )
142141ad7antr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  C  e.  ( B I J ) )
143 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  B  =  J )
144143oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  ( B I J )  =  ( J I J ) )
145142, 144eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  C  e.  ( J I J ) )
1461, 2, 3, 137, 138, 139, 145axtgbtwnid 24377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  J  =  C )
1477adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  F  e.  P )
1481, 2, 3, 4, 27, 19, 6, 33, 35, 37tgbtwnexch3 24401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C I J ) )
1491, 2, 3, 4, 28, 19, 6, 33, 141, 148tgbtwnexch2 24403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  e.  ( B I J ) )
150149ad7antr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  F  e.  ( B I J ) )
151150, 144eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  F  e.  ( J I J ) )
1521, 2, 3, 137, 138, 147, 151axtgbtwnid 24377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  J  =  F )
153146, 152eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  C  =  F )
15469ad7antr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  B  =  J )  ->  -.  C  =  F )
155153, 154pm2.65da 578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  -.  B  =  J )
156155neqned 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  B  =/=  J )
1571, 2, 3, 4, 27, 28, 8, 20, 31, 34tgbtwnexch 24405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I E ) )
1581, 3, 4, 27, 28, 19, 8, 29, 30, 31, 2, 20, 6, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 26, 24, 38, 39tgbtwnconn1lem1 24477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  =  J )
159158oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A I H )  =  ( A I J ) )
16036, 159eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  e.  ( A I J ) )
1611, 2, 3, 4, 27, 28, 20, 33, 157, 160tgbtwnexch3 24401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  ( B I J ) )
162161ad6antr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  E  e.  ( B I J ) )
1631, 116, 3, 5, 135, 75, 136, 162btwncolg3 24462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( J  e.  ( B
(LineG `  G ) E )  \/  B  =  E ) )
16470ad6antr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  =/=  F )
1651, 2, 3, 4, 6, 19, 28, 33, 148, 141tgbtwnintr 24400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( F I B ) )
166165ad6antr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  e.  ( F I B ) )
1671, 116, 3, 5, 56, 135, 7, 166btwncolg2 24461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( F  e.  ( C
(LineG `  G ) B )  \/  C  =  B ) )
1685adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  G  e. TarskiG )
16956adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  C  e.  P )
17054adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  r  e.  P )
17117adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  X  e.  P )
17285adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  ( C  .-  r
)  =  ( C 
.-  X ) )
173 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  C  =  r )
1741, 2, 3, 168, 169, 170, 169, 171, 172, 173tgcgreq 24389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  C  =  X )
17575adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  E  e.  P )
176 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D  .-  F
)  =  ( D 
.-  F ) )
177 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  .-  F
)  =  ( X 
.-  F ) )
17826eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  =  ( E 
.-  D ) )
1791, 2, 3, 4, 19, 8, 20, 8, 178tgcgrcomlr 24387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D  .-  C
)  =  ( D 
.-  E ) )
1801, 2, 3, 4, 19, 6, 20, 6, 62tgcgrcomlr 24387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F  .-  C
)  =  ( F 
.-  E ) )
1811, 2, 3, 4, 8, 16, 6, 19, 8, 16, 6, 20, 107, 107, 176, 177, 179, 180tgifscgr 24416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  .-  C
)  =  ( X 
.-  E ) )
182181ad7antr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  ( X  .-  C
)  =  ( X 
.-  E ) )
183174oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  ( X  .-  C
)  =  ( X 
.-  X ) )
184182, 183eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  ( X  .-  E
)  =  ( X 
.-  X ) )
1851, 2, 3, 168, 171, 175, 171, 184axtgcgrid 24374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  X  =  E )
186174, 185eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  C  =  E )
18766neneqd 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  C  =  E )
188187ad7antr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  /\  q  e.  P
)  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )  /\  C  =  r )  ->  -.  C  =  E )
189186, 188pm2.65da 578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  -.  C  =  r )
190189neqned 2634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  =/=  r )
1911, 2, 3, 5, 7, 56, 54, 74tgbtwncom 24395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  C  e.  ( r I F ) )
1921, 116, 3, 5, 56, 7, 54, 191btwncolg2 24461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  (
r  e.  ( C (LineG `  G ) F )  \/  C  =  F ) )
19392eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  (
r  .-  p )  =  ( r  .-  q ) )
1941, 116, 3, 5, 56, 54, 7, 117, 52, 10, 2, 190, 192, 134, 193lncgr 24474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( F  .-  p )  =  ( F  .-  q
) )
1951, 116, 3, 5, 56, 7, 135, 117, 52, 10, 2, 164, 167, 134, 194lncgr 24474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( B  .-  p )  =  ( B  .-  q
) )
196148ad6antr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  F  e.  ( C I J ) )
1971, 116, 3, 5, 56, 136, 7, 196btwncolg1 24460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( F  e.  ( C
(LineG `  G ) J )  \/  C  =  J ) )
1981, 116, 3, 5, 56, 7, 136, 117, 52, 10, 2, 164, 197, 134, 194lncgr 24474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( J  .-  p )  =  ( J  .-  q
) )
1991, 116, 3, 5, 135, 136, 75, 117, 52, 10, 2, 156, 163, 195, 198lncgr 24474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( E  .-  p )  =  ( E  .-  q
) )
2001, 116, 3, 5, 56, 75, 52, 117, 10, 56, 2, 118, 119, 134, 199lnid 24475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  p  =  q )
201200oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  (
p  .-  q )  =  ( q  .-  q ) )
202115, 201eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  ( F  .-  D )  =  ( q  .-  q
) )
2031, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 202axtgcgrid 24374 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  F  =  D )
204203eqcomd 2437 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  /\  r  e.  P
)  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C 
.-  r )  =  ( C  .-  X
) ) )  /\  q  e.  P )  /\  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r  .-  q )  =  ( r  .-  p ) ) )  ->  D  =  F )
2054ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
206205ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C 
.-  p )  =  ( C  .-  F
) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
207 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C 
.-  p )  =  ( C  .-  F
) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  ->  r  e.  P )
2081, 2, 3, 206, 51, 207, 207, 51axtgsegcon 24375 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C 
.-  p )  =  ( C  .-  F
) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  ->  E. q  e.  P  ( r  e.  ( p I q )  /\  ( r 
.-  q )  =  ( r  .-  p
) ) )
209204, 208r19.29a 2977 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C 
.-  p )  =  ( C  .-  F
) ) )  /\  r  e.  P )  /\  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )  ->  D  =  F )
2106ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  ->  F  e.  P
)
21119ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  ->  C  e.  P
)
21216ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  ->  X  e.  P
)
2131, 2, 3, 205, 210, 211, 211, 212axtgsegcon 24375 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  ->  E. r  e.  P  ( C  e.  ( F I r )  /\  ( C  .-  r )  =  ( C  .-  X ) ) )
214209, 213r19.29a 2977 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  P )  /\  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )  ->  D  =  F )
2151, 2, 3, 4, 20, 19, 19, 6axtgsegcon 24375 . 2  |-  ( ph  ->  E. p  e.  P  ( C  e.  ( E I p )  /\  ( C  .-  p )  =  ( C  .-  F ) ) )
216214, 215r19.29a 2977 1  |-  ( ph  ->  D  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   distcds 15161  TarskiGcstrkg 24341  Itvcitv 24347  LineGclng 24348  cgrGccgrg 24418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-concat 12653  df-s1 12654  df-s2 12929  df-s3 12930  df-trkgc 24359  df-trkgb 24360  df-trkgcb 24361  df-trkg 24364  df-cgrg 24419
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