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Theorem tfrqfree 28004
Description: Calculate a quantifier-free version of the function from tfr1 6877 through tfr3 6879. (Contributed by Scott Fenton, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
tfrqfree  |-  ( (
Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
Distinct variable group:    x, f, y, G

Proof of Theorem tfrqfree
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3560 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  <-> 
( f  e.  Funs  /\  f  e.  ( `'Domain " On ) ) )
2 vex 2996 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
32elfuns 27968 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  Funs  <->  Fun  f )
4 vex 2996 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
54, 2brcnv 5043 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'Domain f  <->  fDomain x )
62, 4brdomain 27986 . . . . . . . . . 10  |-  ( fDomain
x  <->  x  =  dom  f )
75, 6bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x `'Domain f  <->  x  =  dom  f )
87rexbii 2761 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  x `'Domain f  <->  E. x  e.  On  x  =  dom  f )
92elima 5195 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( `'Domain " On ) 
<->  E. x  e.  On  x `'Domain f )
10 risset 2784 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  e.  On  <->  E. x  e.  On  x  =  dom  f )
118, 9, 103bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( `'Domain " On ) 
<->  dom  f  e.  On )
123, 11anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  Funs  /\  f  e.  ( `'Domain " On ) )  <->  ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On ) )
131, 12bitri 249 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  <-> 
( Fun  f  /\  dom  f  e.  On ) )
14 eldif 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  ( <. f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  /\  -.  <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )
15 vex 2996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
162, 15opelco 5032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  <->  E. x ( fDomain x  /\  x `'  _E  y
) )
174, 15brcnv 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x `'  _E  y  <->  y  _E  x )
18 epel 4656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1917, 18bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x `'  _E  y  <->  y  e.  x )
206, 19anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( fDomain x  /\  x `'  _E  y )  <->  ( x  =  dom  f  /\  y  e.  x ) )
2120exbii 1634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( fDomain x  /\  x `'  _E  y
)  <->  E. x ( x  =  dom  f  /\  y  e.  x )
)
222dmex 6532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  f  e.  _V
23 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( y  e.  x  <->  y  e.  dom  f ) )
2422, 23ceqsexv 3030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( x  =  dom  f  /\  y  e.  x )  <->  y  e.  dom  f )
2516, 21, 243bitri 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  <-> 
y  e.  dom  f
)
26 opex 4577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. f ,  y >.  e.  _V
2726elfix 27956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) )  <->  <. f ,  y >. ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) <.
f ,  y >.
)
2826, 26brco 5031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
f ,  y >.
( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) <.
f ,  y >.  <->  E. x ( <. f ,  y >. (FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. ) )
2926, 4brco 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
f ,  y >.
(FullFun G  o. Restrict ) x  <->  E. z ( <. f ,  y >.Restrict z  /\  zFullFun G x ) )
30 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
312, 15, 30brrestrict 28002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
f ,  y >.Restrict z  <-> 
z  =  ( f  |`  y ) )
3230, 4brfullfun 28001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( zFullFun
G x  <->  x  =  ( G `  z ) )
3331, 32anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. f ,  y >.Restrict z  /\  zFullFun G x )  <->  ( z  =  ( f  |`  y
)  /\  x  =  ( G `  z ) ) )
3433exbii 1634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z ( <. f ,  y >.Restrict z  /\  zFullFun G x )  <->  E. z
( z  =  ( f  |`  y )  /\  x  =  ( G `  z )
) )
352resex 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  |`  y )  e.  _V
36 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( f  |`  y )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )
3736eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( f  |`  y )  ->  (
x  =  ( G `
 z )  <->  x  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
3835, 37ceqsexv 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z ( z  =  ( f  |`  y
)  /\  x  =  ( G `  z ) )  <->  x  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
3929, 34, 383bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
f ,  y >.
(FullFun G  o. Restrict ) x  <-> 
x  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )
404, 26brcnv 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x `'Apply <. f ,  y
>. 
<-> 
<. f ,  y >.Apply x )
412, 15, 4brapply 27991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
f ,  y >.Apply x 
<->  x  =  ( f `
 y ) )
4240, 41bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x `'Apply <. f ,  y
>. 
<->  x  =  ( f `
 y ) )
4339, 42anbi12ci 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. f ,  y >.
(FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y >. )  <->  ( x  =  ( f `
 y )  /\  x  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )
4443exbii 1634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x ( <. f ,  y >. (FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. )  <->  E. x ( x  =  ( f `  y )  /\  x  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )
45 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 y )  e. 
_V
46 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  y )  ->  (
x  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
4745, 46ceqsexv 3030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x ( x  =  ( f `  y
)  /\  x  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )
4844, 47bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x ( <. f ,  y >. (FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
4927, 28, 483bitri 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
5049notbii 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
<. f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) )  <->  -.  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )
5125, 50anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  /\  -.  <. f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  ( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
5214, 51bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  ( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
5352exbii 1634 . . . . . . . 8  |-  ( E. y <. f ,  y
>.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  E. y
( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) )
542eldm2 5059 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  E. y <. f ,  y >.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )
55 df-rex 2742 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  dom  f  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  E. y
( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) )
5653, 54, 553bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  E. y  e.  dom  f  -.  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )
57 rexnal 2747 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  dom  f  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  -.  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) )
5856, 57bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) )  <->  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )
5958con1bii 331 . . . . 5  |-  ( -.  f  e.  dom  (
( `'  _E  o. Domain ) 
\  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
6013, 59anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )
61 anass 649 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  A. y  e. 
dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
6260, 61bitri 249 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
63 eldif 3359 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e. 
dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) ) )
64 df-rex 2742 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x
( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) ) )
65 an12 795 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )
66 df-fn 5442 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  x  <->  ( Fun  f  /\  dom  f  =  x ) )
67 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  =  x )  <->  ( dom  f  =  x  /\  Fun  f ) )
68 eqcom 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  f  =  x  <->  x  =  dom  f )
6968anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  f  =  x  /\  Fun  f )  <-> 
( x  =  dom  f  /\  Fun  f ) )
7066, 67, 693bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  x  <->  ( x  =  dom  f  /\  Fun  f ) )
7170anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( ( x  =  dom  f  /\  Fun  f )  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )
72 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  dom  f  /\  Fun  f )  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
7365, 71, 723bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
7473exbii 1634 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )  <->  E. x ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
75 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( x  e.  On  <->  dom  f  e.  On ) )
76 raleq 2938 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) )
7775, 76anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( dom  f  e.  On  /\  A. y  e. 
dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
7877anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( ( Fun  f  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) ) )
7922, 78ceqsexv 3030 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
8064, 74, 793bitri 271 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
8162, 63, 803bitr4i 277 . 2  |-  ( f  e.  ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
8281abbi2i 2560 1  |-  ( (
Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3346    i^i cin 3348   <.cop 3904   class class class wbr 4313    _E cep 4651   Oncon0 4740   `'ccnv 4860   dom cdm 4861    |` cres 4863   "cima 4864    o. ccom 4865   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   ` cfv 5439   Fixcfix 27887   Funscfuns 27889  Domaincdomain 27895  Applycapply 27897  FullFuncfullfn 27902  Restrictcrestrict 27903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-eprel 4653  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-fo 5445  df-fv 5447  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-symdif 27871  df-txp 27906  df-pprod 27907  df-bigcup 27910  df-fix 27911  df-funs 27913  df-singleton 27914  df-singles 27915  df-image 27916  df-cart 27917  df-img 27918  df-domain 27919  df-range 27920  df-cap 27922  df-restrict 27923  df-apply 27925  df-funpart 27926  df-fullfun 27927
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