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Theorem tfrqfree 29785
Description: Calculate a quantifier-free version of the function from tfr1 7084 through tfr3 7086. (Contributed by Scott Fenton, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
tfrqfree  |-  ( (
Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
Distinct variable group:    x, f, y, G

Proof of Theorem tfrqfree
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3683 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  <-> 
( f  e.  Funs  /\  f  e.  ( `'Domain " On ) ) )
2 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
32elfuns 29749 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  Funs  <->  Fun  f )
4 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
54, 2brcnv 5195 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `'Domain f  <->  fDomain x )
62, 4brdomain 29767 . . . . . . . . . 10  |-  ( fDomain
x  <->  x  =  dom  f )
75, 6bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x `'Domain f  <->  x  =  dom  f )
87rexbii 2959 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  x `'Domain f  <->  E. x  e.  On  x  =  dom  f )
92elima 5352 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( `'Domain " On ) 
<->  E. x  e.  On  x `'Domain f )
10 risset 2982 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  e.  On  <->  E. x  e.  On  x  =  dom  f )
118, 9, 103bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( `'Domain " On ) 
<->  dom  f  e.  On )
123, 11anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  Funs  /\  f  e.  ( `'Domain " On ) )  <->  ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On ) )
131, 12bitri 249 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  <-> 
( Fun  f  /\  dom  f  e.  On ) )
14 eldif 3481 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  ( <. f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  /\  -.  <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )
15 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
162, 15opelco 5184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  <->  E. x ( fDomain x  /\  x `'  _E  y
) )
174, 15brcnv 5195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x `'  _E  y  <->  y  _E  x )
18 epel 4803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
1917, 18bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x `'  _E  y  <->  y  e.  x )
206, 19anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( fDomain x  /\  x `'  _E  y )  <->  ( x  =  dom  f  /\  y  e.  x ) )
2120exbii 1668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( fDomain x  /\  x `'  _E  y
)  <->  E. x ( x  =  dom  f  /\  y  e.  x )
)
222dmex 6732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  f  e.  _V
23 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( y  e.  x  <->  y  e.  dom  f ) )
2422, 23ceqsexv 3146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( x  =  dom  f  /\  y  e.  x )  <->  y  e.  dom  f )
2516, 21, 243bitri 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  <-> 
y  e.  dom  f
)
26 opex 4720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. f ,  y >.  e.  _V
2726elfix 29737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) )  <->  <. f ,  y >. ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) <.
f ,  y >.
)
2826, 26brco 5183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
f ,  y >.
( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) <.
f ,  y >.  <->  E. x ( <. f ,  y >. (FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. ) )
2926, 4brco 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
f ,  y >.
(FullFun G  o. Restrict ) x  <->  E. z ( <. f ,  y >.Restrict z  /\  zFullFun G x ) )
30 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
312, 15, 30brrestrict 29783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
f ,  y >.Restrict z  <-> 
z  =  ( f  |`  y ) )
3230, 4brfullfun 29782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( zFullFun
G x  <->  x  =  ( G `  z ) )
3331, 32anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. f ,  y >.Restrict z  /\  zFullFun G x )  <->  ( z  =  ( f  |`  y
)  /\  x  =  ( G `  z ) ) )
3433exbii 1668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z ( <. f ,  y >.Restrict z  /\  zFullFun G x )  <->  E. z
( z  =  ( f  |`  y )  /\  x  =  ( G `  z )
) )
352resex 5327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  |`  y )  e.  _V
36 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( f  |`  y )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )
3736eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( f  |`  y )  ->  (
x  =  ( G `
 z )  <->  x  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
3835, 37ceqsexv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z ( z  =  ( f  |`  y
)  /\  x  =  ( G `  z ) )  <->  x  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
3929, 34, 383bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
f ,  y >.
(FullFun G  o. Restrict ) x  <-> 
x  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )
404, 26brcnv 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x `'Apply <. f ,  y
>. 
<-> 
<. f ,  y >.Apply x )
412, 15, 4brapply 29772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
f ,  y >.Apply x 
<->  x  =  ( f `
 y ) )
4240, 41bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x `'Apply <. f ,  y
>. 
<->  x  =  ( f `
 y ) )
4339, 42anbi12ci 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. f ,  y >.
(FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y >. )  <->  ( x  =  ( f `
 y )  /\  x  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )
4443exbii 1668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x ( <. f ,  y >. (FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. )  <->  E. x ( x  =  ( f `  y )  /\  x  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )
45 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f `
 y )  e. 
_V
46 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  y )  ->  (
x  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
4745, 46ceqsexv 3146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x ( x  =  ( f `  y
)  /\  x  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) )
4844, 47bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x ( <. f ,  y >. (FullFun G  o. Restrict ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
4927, 28, 483bitri 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) )  <->  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
5049notbii 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
<. f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) )  <->  -.  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )
5125, 50anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. f ,  y >.  e.  ( `'  _E  o. Domain )  /\  -.  <. f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  ( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
5214, 51bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  ( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )
5352exbii 1668 . . . . . . . 8  |-  ( E. y <. f ,  y
>.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  E. y
( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) )
542eldm2 5211 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  E. y <. f ,  y >.  e.  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )
55 df-rex 2813 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  dom  f  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  E. y
( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) )
5653, 54, 553bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  E. y  e.  dom  f  -.  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )
57 rexnal 2905 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  dom  f  -.  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  -.  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) )
5856, 57bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) )  <->  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )
5958con1bii 331 . . . . 5  |-  ( -.  f  e.  dom  (
( `'  _E  o. Domain ) 
\  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) )  <->  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )
6013, 59anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )
61 anass 649 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  A. y  e. 
dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
6260, 61bitri 249 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
63 eldif 3481 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e. 
dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) ) )
64 df-rex 2813 . . . 4  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  E. x
( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) ) )
65 an12 797 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )
66 df-fn 5597 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  x  <->  ( Fun  f  /\  dom  f  =  x ) )
67 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  =  x )  <->  ( dom  f  =  x  /\  Fun  f ) )
68 eqcom 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  f  =  x  <->  x  =  dom  f )
6968anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  f  =  x  /\  Fun  f )  <-> 
( x  =  dom  f  /\  Fun  f ) )
7066, 67, 693bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  x  <->  ( x  =  dom  f  /\  Fun  f ) )
7170anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( ( x  =  dom  f  /\  Fun  f )  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )
72 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  dom  f  /\  Fun  f )  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
7365, 71, 723bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
7473exbii 1668 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) )  <->  E. x ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) ) )
75 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( x  e.  On  <->  dom  f  e.  On ) )
76 raleq 3054 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) )
7775, 76anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( dom  f  e.  On  /\  A. y  e. 
dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
7877anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( ( Fun  f  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) ) )
7922, 78ceqsexv 3146 . . . 4  |-  ( E. x ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
8064, 74, 793bitri 271 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  ( G `  (
f  |`  y ) ) ) ) )
8162, 63, 803bitr4i 277 . 2  |-  ( f  e.  ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) ) )
8281abbi2i 2590 1  |-  ( (
Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  (FullFun G  o. Restrict ) ) ) )  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    i^i cin 3470   <.cop 4038   class class class wbr 4456    _E cep 4798   Oncon0 4887   `'ccnv 5007   dom cdm 5008    |` cres 5010   "cima 5011    o. ccom 5012   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   ` cfv 5594   Fixcfix 29668   Funscfuns 29670  Domaincdomain 29676  Applycapply 29678  FullFuncfullfn 29683  Restrictcrestrict 29684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-symdif 3725  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-eprel 4800  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fo 5600  df-fv 5602  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-txp 29687  df-pprod 29688  df-bigcup 29691  df-fix 29692  df-funs 29694  df-singleton 29695  df-singles 29696  df-image 29697  df-cart 29698  df-img 29699  df-domain 29700  df-range 29701  df-cap 29703  df-restrict 29704  df-apply 29706  df-funpart 29707  df-fullfun 29708
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