Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfrlem5 Structured version   Unicode version

Theorem tfrlem5 7109
 Description: Lemma for transfinite recursion. The values of two acceptable functions are the same within their domains. (Contributed by NM, 9-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1
Assertion
Ref Expression
tfrlem5
Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)

Proof of Theorem tfrlem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlem.1 . . 3
2 vex 3083 . . 3
31, 2tfrlem3a 7106 . 2
4 vex 3083 . . 3
51, 4tfrlem3a 7106 . 2
6 reeanv 2993 . . 3
7 simp2ll 1072 . . . . . . . . 9
8 simp3l 1033 . . . . . . . . 9
9 fnbr 5696 . . . . . . . . 9
107, 8, 9syl2anc 665 . . . . . . . 8
11 simp2rl 1074 . . . . . . . . 9
12 simp3r 1034 . . . . . . . . 9
13 fnbr 5696 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13syl2anc 665 . . . . . . . 8
1510, 14elind 3650 . . . . . . 7
16 onin 5473 . . . . . . . . 9
17163ad2ant1 1026 . . . . . . . 8
18 fnfun 5691 . . . . . . . . . 10
197, 18syl 17 . . . . . . . . 9
20 inss1 3682 . . . . . . . . . 10
21 fndm 5693 . . . . . . . . . . 11
227, 21syl 17 . . . . . . . . . 10
2320, 22syl5sseqr 3513 . . . . . . . . 9
2419, 23jca 534 . . . . . . . 8
25 fnfun 5691 . . . . . . . . . 10
2611, 25syl 17 . . . . . . . . 9
27 inss2 3683 . . . . . . . . . 10
28 fndm 5693 . . . . . . . . . . 11
2911, 28syl 17 . . . . . . . . . 10
3027, 29syl5sseqr 3513 . . . . . . . . 9
3126, 30jca 534 . . . . . . . 8
32 simp2lr 1073 . . . . . . . . 9
33 ssralv 3525 . . . . . . . . 9
3420, 32, 33mpsyl 65 . . . . . . . 8
35 simp2rr 1075 . . . . . . . . 9
36 ssralv 3525 . . . . . . . . 9
3727, 35, 36mpsyl 65 . . . . . . . 8
3817, 24, 31, 34, 37tfrlem1 7105 . . . . . . 7
39 fveq2 5881 . . . . . . . . 9
40 fveq2 5881 . . . . . . . . 9
4139, 40eqeq12d 2444 . . . . . . . 8
4241rspcv 3178 . . . . . . 7
4315, 38, 42sylc 62 . . . . . 6
44 funbrfv 5919 . . . . . . 7
4519, 8, 44sylc 62 . . . . . 6
46 funbrfv 5919 . . . . . . 7
4726, 12, 46sylc 62 . . . . . 6
4843, 45, 473eqtr3d 2471 . . . . 5
49483exp 1204 . . . 4
5049rexlimivv 2919 . . 3
516, 50sylbir 216 . 2
523, 5, 51syl2anb 481 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  cab 2407  wral 2771  wrex 2772   cin 3435   wss 3436   class class class wbr 4423   cdm 4853   cres 4855  con0 5442   wfun 5595   wfn 5596  cfv 5601 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-fv 5609 This theorem is referenced by:  tfrlem7  7112
 Copyright terms: Public domain W3C validator