Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfr2b Structured version   Unicode version

Theorem tfr2b 7126
 Description: Without assuming ax-rep 4536, we can show that all proper initial subsets of recs are sets, while nothing larger is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1 recs
Assertion
Ref Expression
tfr2b

Proof of Theorem tfr2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordeleqon 6630 . 2
2 eqid 2422 . . . . 5
32tfrlem15 7122 . . . 4 recs recs
4 tfr.1 . . . . . 6 recs
54dmeqi 5055 . . . . 5 recs
65eleq2i 2499 . . . 4 recs
74reseq1i 5120 . . . . 5 recs
87eleq1i 2498 . . . 4 recs
93, 6, 83bitr4g 291 . . 3
10 onprc 6626 . . . . . 6
11 elex 3089 . . . . . 6
1210, 11mto 179 . . . . 5
13 eleq1 2495 . . . . 5
1412, 13mtbiri 304 . . . 4
152tfrlem13 7120 . . . . . 6 recs
164eleq1i 2498 . . . . . 6 recs
1715, 16mtbir 300 . . . . 5
18 reseq2 5119 . . . . . . 7
194tfr1a 7124 . . . . . . . . . 10
2019simpli 459 . . . . . . . . 9
21 funrel 5618 . . . . . . . . 9
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8
2319simpri 463 . . . . . . . . 9
24 limord 5501 . . . . . . . . 9
25 ordsson 6631 . . . . . . . . 9
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8
27 relssres 5161 . . . . . . . 8
2822, 26, 27mp2an 676 . . . . . . 7
2918, 28syl6eq 2479 . . . . . 6
3029eleq1d 2491 . . . . 5
3117, 30mtbiri 304 . . . 4
3214, 312falsed 352 . . 3
339, 32jaoi 380 . 2
341, 33sylbi 198 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cab 2407  wral 2771  wrex 2772  cvv 3080   wss 3436   cdm 4853   cres 4855   wrel 4858   word 5441  con0 5442   wlim 5443   wfun 5595   wfn 5596  cfv 5601  recscrecs 7101 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-wrecs 7040  df-recs 7102 This theorem is referenced by:  ordtypelem3  8045  ordtypelem9  8051
 Copyright terms: Public domain W3C validator