Theorem tfr2ALT 13978

Description: tfr2 5133 via well-founded recursion.

Hypotheses

Ref	Expression
tfrALT.1	|- A = {f | E.x e. On (f Fn x /\ A.y e. x (f` y) = (G` (f |` y)))}
tfrALT.2	|- F = U.A

Assertion

Ref	Expression
tfr2ALT	|- (z e. On -> (F` z) = (G` (F |` z)))

Distinct variable groups:   f,F,x,y   f,G,x,y   y,z

Proof of Theorem tfr2ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		epweon 3864	. . 3 |- _E We On
2		epsetlike 13905	. . 3 |- A.x e. On Pred( _E , On, x) e. _V
3		tfrALT.1	. . . 4 |- A = {f | E.x e. On (f Fn x /\ A.y e. x (f` y) = (G` (f |` y)))}
4		tfrALTlem 13976	. . . 4 |- {f | E.x e. On (f Fn x /\ A.y e. x (f` y) = (G` (f |` y)))} = {f | E.x(f Fn x /\ (x C_ On /\ A.y e. x Pred( _E , On, y) C_ x) /\ A.y e. x (f` y) = (G` (f |` Pred( _E , On, y))))}
5	3, 4	eqtri 1908	. . 3 |- A = {f | E.x(f Fn x /\ (x C_ On /\ A.y e. x Pred( _E , On, y) C_ x) /\ A.y e. x (f` y) = (G` (f |` Pred( _E , On, y))))}
6		tfrALT.2	. . 3 |- F = U.A
7	1, 2, 5, 6	wfr2 13974	. 2 |- (z e. On -> (F` z) = (G` (F |` Pred( _E , On, z))))
8		predon 13904	. . . 4 |- (z e. On -> Pred( _E , On, z) = z)
9		reseq2 4219	. . . 4 |- (Pred( _E , On, z) = z -> (F |` Pred( _E , On, z)) = (F |` z))
10	8, 9	syl 12	. . 3 |- (z e. On -> (F |` Pred( _E , On, z)) = (F |` z))
11	10	fveq2d 4685	. 2 |- (z e. On -> (G` (F |` Pred( _E , On, z))) = (G` (F |` z)))
12	7, 11	eqtrd 1925	1 |- (z e. On -> (F` z) = (G` (F |` z)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177   _E cep 3581  Oncon0 3657   |` cres 3988   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  Predcpred 13879

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-pred 13880

Copyright terms: Public domain