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Theorem tfisg 27616
Description: A closed form of tfis 6460. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
tfisg  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  A. x  e.  On  ph )
Distinct variable groups:    ph, y    x, y
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem tfisg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3432 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  ph }  C_  On
2 dfss3 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  { x  e.  On  |  ph }  <->  A. y  e.  z  y  e.  { x  e.  On  |  ph }
)
3 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x On
43elrabsf 3220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e.  On  |  ph }  <->  ( y  e.  On  /\  [. y  /  x ]. ph ) )
54simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e.  On  |  ph }  ->  [. y  /  x ]. ph )
65ralimi 2786 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  z  y  e.  { x  e.  On  |  ph }  ->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
72, 6sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph )
8 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
z
9 nfsbc1v 3201 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x [. y  /  x ]. ph
108, 9nfral 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph
11 nfsbc1v 3201 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. z  /  x ]. ph
1210, 11nfim 1852 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph )
13 raleq 2912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  <->  A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph )
)
14 sbceq1a 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph ) )
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  z 
[. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
1612, 15rspc 3062 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
1716impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  ( A. y  e.  z  [. y  /  x ]. ph  ->  [. z  /  x ]. ph ) )
187, 17syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  (
z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  [. z  /  x ]. ph ) )
19 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  z  e.  On )
2018, 19jctild 543 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  (
z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  ( z  e.  On  /\ 
[. z  /  x ]. ph ) ) )
213elrabsf 3220 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  On  |  ph }  <->  ( z  e.  On  /\  [. z  /  x ]. ph ) )
2220, 21syl6ibr 227 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  /\  z  e.  On )  ->  (
z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  z  e.  { x  e.  On  |  ph }
) )
2322ralrimiva 2794 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  A. z  e.  On  ( z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  z  e.  { x  e.  On  |  ph } ) )
24 tfi 6459 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  On  |  ph }  C_  On  /\ 
A. z  e.  On  ( z  C_  { x  e.  On  |  ph }  ->  z  e.  { x  e.  On  |  ph }
) )  ->  { x  e.  On  |  ph }  =  On )
251, 23, 24sylancr 663 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  { x  e.  On  |  ph }  =  On )
2625eqcomd 2443 . 2  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  On  =  { x  e.  On  |  ph } )
27 rabid2 2893 . 2  |-  ( On  =  { x  e.  On  |  ph }  <->  A. x  e.  On  ph )
2826, 27sylib 196 1  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ph 
->  ph )  ->  A. x  e.  On  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714   [.wsbc 3181    C_ wss 3323   Oncon0 4714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718
This theorem is referenced by:  soseq  27666
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