Theorem tfindsg2 6669

Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal suc B instead of zero. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsg2.1	|- ( x = suc B -> ( ph <-> ps ) )
tfindsg2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
tfindsg2.3	|- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
tfindsg2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
tfindsg2.5	|- ( B e. On -> ps )
tfindsg2.6	|- ( ( y e. On /\ B e. y ) -> ( ch -> th ) )
tfindsg2.7	|- ( ( Lim x /\ B e. x ) -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
tfindsg2	|- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem tfindsg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 4892	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> B e. On )
2		sucelon 6625	. . 3 |- ( B e. On <-> suc B e. On )
3	1, 2	sylib 196	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> suc B e. On )
4		eloni 4877	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord A )
5		ordsucss 6626	. . . 4 |- ( Ord A -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
6	4, 5	syl 16	. . 3 |- ( A e. On -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
7	6	imp 427	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> suc B C_ A )
8		tfindsg2.1	. . . . 5 |- ( x = suc B -> ( ph <-> ps ) )
9		tfindsg2.2	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
10		tfindsg2.3	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
11		tfindsg2.4	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
12		tfindsg2.5	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ps )
13	2, 12	sylbir 213	. . . . 5 |- ( suc B e. On -> ps )
14		eloni 4877	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> Ord y )
15		ordelsuc 6628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ Ord y ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
16	14, 15	sylan2 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
17	16	ancoms 451	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
18		tfindsg2.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ B e. y ) -> ( ch -> th ) )
19	18	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> ( B e. y -> ( ch -> th ) ) )
20	19	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B e. y -> ( ch -> th ) ) )
21	17, 20	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( suc B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
22	2, 21	sylan2br 474	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ suc B e. On ) -> ( suc B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
23	22	imp 427	. . . . 5 |- ( ( ( y e. On /\ suc B e. On ) /\ suc B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
24		tfindsg2.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ B e. x ) -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) )
25	24	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( Lim x -> ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) )
26	25	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) )
27		vex 3109	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
28		limelon 4930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
29	27, 28	mpan 668	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> x e. On )
30		eloni 4877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> Ord x )
31		ordelsuc 6628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ Ord x ) -> ( B e. x <-> suc B C_ x ) )
32	30, 31	sylan2 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( B e. x <-> suc B C_ x ) )
33		onelon 4892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
34	33, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> Ord y )
35	34, 15	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. On /\ ( x e. On /\ y e. x ) ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
36	35	anassrs 646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. On /\ x e. On ) /\ y e. x ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
37	36	imbi1d 315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ x e. On ) /\ y e. x ) -> ( ( B e. y -> ch ) <-> ( suc B C_ y -> ch ) ) )
38	37	ralbidva 2890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) <-> A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) ) )
39	38	imbi1d 315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) <-> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) )
40	32, 39	imbi12d 318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) <-> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) ) )
41	29, 40	sylan2 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) <-> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) ) )
42	41	ancoms 451	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) <-> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) ) )
43	26, 42	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) )
44	2, 43	sylan2br 474	. . . . . 6 |- ( ( Lim x /\ suc B e. On ) -> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) )
45	44	imp 427	. . . . 5 |- ( ( ( Lim x /\ suc B e. On ) /\ suc B C_ x ) -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) )
46	8, 9, 10, 11, 13, 23, 45	tfindsg 6668	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ suc B e. On ) /\ suc B C_ A ) -> ta )
47	46	expl 616	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( suc B e. On /\ suc B C_ A ) -> ta ) )
48	47	adantr 463	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> ( ( suc B e. On /\ suc B C_ A ) -> ta ) )
49	3, 7, 48	mp2and 677	1 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   Ord word 4866   Oncon0 4867   Lim wlim 4868   suc csuc 4869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873

This theorem is referenced by:  oeordi  7228