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Theorem tfindsg2 6581
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal  suc  B instead of zero. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
tfindsg2.1  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( ph  <->  ps ) )
tfindsg2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
tfindsg2.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
tfindsg2.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
tfindsg2.5  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
tfindsg2.6  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  y )  ->  ( ch  ->  th )
)
tfindsg2.7  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
tfindsg2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem tfindsg2
StepHypRef Expression
1 onelon 4851 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
2 sucelon 6537 . . 3  |-  ( B  e.  On  <->  suc  B  e.  On )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  suc  B  e.  On )
4 eloni 4836 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
5 ordsucss 6538 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( B  e.  A  ->  suc  B  C_  A ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  A  ->  suc 
B  C_  A )
)
76imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  suc  B  C_  A
)
8 tfindsg2.1 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( ph  <->  ps ) )
9 tfindsg2.2 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
10 tfindsg2.3 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
11 tfindsg2.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
12 tfindsg2.5 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
132, 12sylbir 213 . . . . 5  |-  ( suc 
B  e.  On  ->  ps )
14 eloni 4836 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
15 ordelsuc 6540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  Ord  y )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y ) )
1614, 15sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y )
)
1716ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y )
)
18 tfindsg2.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  y )  ->  ( ch  ->  th )
)
1918ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  e.  y  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2117, 20sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( suc  B  C_  y  ->  ( ch  ->  th ) ) )
222, 21sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  On  /\  suc  B  e.  On )  ->  ( suc  B  C_  y  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2322imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  B  e.  On )  /\  suc  B  C_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
24 tfindsg2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )
)
2524ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) ) )
2625adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )
) )
27 vex 3079 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
28 limelon 4889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
2927, 28mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
30 eloni 4836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
31 ordelsuc 6540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Ord  x )  ->  ( B  e.  x  <->  suc  B  C_  x ) )
3230, 31sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  e.  x  <->  suc 
B  C_  x )
)
33 onelon 4851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
3433, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
3534, 15sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  x ) )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y
) )
3635anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y
) )
3736imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( B  e.  y  ->  ch )  <->  ( suc  B  C_  y  ->  ch )
) )
3837ralbidva 2843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  <->  A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch ) ) )
3938imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) ) )
4032, 39imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) )  <-> 
( suc  B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) ) ) )
4129, 40sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) )  <->  ( suc  B 
C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
) ) )
4241ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) )  <->  ( suc  B 
C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
) ) )
4326, 42mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( suc  B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
) )
442, 43sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  x  /\  suc  B  e.  On )  -> 
( suc  B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) ) )
4544imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  B  e.  On )  /\  suc  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
)
468, 9, 10, 11, 13, 23, 45tfindsg 6580 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
suc  B  e.  On )  /\  suc  B  C_  A )  ->  ta )
4746expl 618 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( suc  B  e.  On  /\  suc  B  C_  A )  ->  ta ) )
4847adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ( ( suc  B  e.  On  /\  suc  B  C_  A )  ->  ta ) )
493, 7, 48mp2and 679 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   _Vcvv 3076    C_ wss 3435   Ord word 4825   Oncon0 4826   Lim wlim 4827   suc csuc 4828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832
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