Theorem tfindsg2 6707

Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal suc B instead of zero. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsg2.1	|- ( x = suc B -> ( ph <-> ps ) )
tfindsg2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
tfindsg2.3	|- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
tfindsg2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
tfindsg2.5	|- ( B e. On -> ps )
tfindsg2.6	|- ( ( y e. On /\ B e. y ) -> ( ch -> th ) )
tfindsg2.7	|- ( ( Lim x /\ B e. x ) -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
tfindsg2	|- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem tfindsg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 5455	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> B e. On )
2		sucelon 6663	. . 3 |- ( B e. On <-> suc B e. On )
3	1, 2	sylib 201	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> suc B e. On )
4		eloni 5440	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord A )
5		ordsucss 6664	. . . 4 |- ( Ord A -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( A e. On -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
7	6	imp 436	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> suc B C_ A )
8		tfindsg2.1	. . . . 5 |- ( x = suc B -> ( ph <-> ps ) )
9		tfindsg2.2	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
10		tfindsg2.3	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
11		tfindsg2.4	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
12		tfindsg2.5	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ps )
13	2, 12	sylbir 218	. . . . 5 |- ( suc B e. On -> ps )
14		eloni 5440	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> Ord y )
15		ordelsuc 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ Ord y ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
16	14, 15	sylan2 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
17	16	ancoms 460	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
18		tfindsg2.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ B e. y ) -> ( ch -> th ) )
19	18	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> ( B e. y -> ( ch -> th ) ) )
20	19	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B e. y -> ( ch -> th ) ) )
21	17, 20	sylbird 243	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( suc B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
22	2, 21	sylan2br 484	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ suc B e. On ) -> ( suc B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
23	22	imp 436	. . . . 5 |- ( ( ( y e. On /\ suc B e. On ) /\ suc B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
24		tfindsg2.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ B e. x ) -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) )
25	24	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( Lim x -> ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) )
26	25	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) )
27		vex 3034	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
28		limelon 5493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
29	27, 28	mpan 684	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> x e. On )
30		eloni 5440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> Ord x )
31		ordelsuc 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ Ord x ) -> ( B e. x <-> suc B C_ x ) )
32	30, 31	sylan2 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( B e. x <-> suc B C_ x ) )
33		onelon 5455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
34	33, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> Ord y )
35	34, 15	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. On /\ ( x e. On /\ y e. x ) ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
36	35	anassrs 660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. On /\ x e. On ) /\ y e. x ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
37	36	imbi1d 324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ x e. On ) /\ y e. x ) -> ( ( B e. y -> ch ) <-> ( suc B C_ y -> ch ) ) )
38	37	ralbidva 2828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) <-> A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) ) )
39	38	imbi1d 324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) <-> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) )
40	32, 39	imbi12d 327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) <-> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) ) )
41	29, 40	sylan2 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) <-> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) ) )
42	41	ancoms 460	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) <-> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) ) )
43	26, 42	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) )
44	2, 43	sylan2br 484	. . . . . 6 |- ( ( Lim x /\ suc B e. On ) -> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) )
45	44	imp 436	. . . . 5 |- ( ( ( Lim x /\ suc B e. On ) /\ suc B C_ x ) -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) )
46	8, 9, 10, 11, 13, 23, 45	tfindsg 6706	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ suc B e. On ) /\ suc B C_ A ) -> ta )
47	46	expl 630	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( suc B e. On /\ suc B C_ A ) -> ta ) )
48	47	adantr 472	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> ( ( suc B e. On /\ suc B C_ A ) -> ta ) )
49	3, 7, 48	mp2and 693	1 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   Ord word 5429   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436

This theorem is referenced by:  oeordi  7306