MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tfindsg2 Structured version   Unicode version

Theorem tfindsg2 6669
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal  suc  B instead of zero. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
tfindsg2.1  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( ph  <->  ps ) )
tfindsg2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
tfindsg2.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
tfindsg2.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
tfindsg2.5  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
tfindsg2.6  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  y )  ->  ( ch  ->  th )
)
tfindsg2.7  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
tfindsg2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem tfindsg2
StepHypRef Expression
1 onelon 4892 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
2 sucelon 6625 . . 3  |-  ( B  e.  On  <->  suc  B  e.  On )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  suc  B  e.  On )
4 eloni 4877 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
5 ordsucss 6626 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( B  e.  A  ->  suc  B  C_  A ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  A  ->  suc 
B  C_  A )
)
76imp 427 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  suc  B  C_  A
)
8 tfindsg2.1 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( ph  <->  ps ) )
9 tfindsg2.2 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
10 tfindsg2.3 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
11 tfindsg2.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
12 tfindsg2.5 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
132, 12sylbir 213 . . . . 5  |-  ( suc 
B  e.  On  ->  ps )
14 eloni 4877 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
15 ordelsuc 6628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  Ord  y )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y ) )
1614, 15sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y )
)
1716ancoms 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y )
)
18 tfindsg2.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  y )  ->  ( ch  ->  th )
)
1918ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
2019adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  e.  y  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2117, 20sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( suc  B  C_  y  ->  ( ch  ->  th ) ) )
222, 21sylan2br 474 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  On  /\  suc  B  e.  On )  ->  ( suc  B  C_  y  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2322imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  B  e.  On )  /\  suc  B  C_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
24 tfindsg2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )
)
2524ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) ) )
2625adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )
) )
27 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
28 limelon 4930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
2927, 28mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
30 eloni 4877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
31 ordelsuc 6628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Ord  x )  ->  ( B  e.  x  <->  suc  B  C_  x ) )
3230, 31sylan2 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  e.  x  <->  suc 
B  C_  x )
)
33 onelon 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
3433, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
3534, 15sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  x ) )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y
) )
3635anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y
) )
3736imbi1d 315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( B  e.  y  ->  ch )  <->  ( suc  B  C_  y  ->  ch )
) )
3837ralbidva 2890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  <->  A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch ) ) )
3938imbi1d 315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) ) )
4032, 39imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) )  <-> 
( suc  B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) ) ) )
4129, 40sylan2 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) )  <->  ( suc  B 
C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
) ) )
4241ancoms 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) )  <->  ( suc  B 
C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
) ) )
4326, 42mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( suc  B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
) )
442, 43sylan2br 474 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  x  /\  suc  B  e.  On )  -> 
( suc  B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) ) )
4544imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  B  e.  On )  /\  suc  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
)
468, 9, 10, 11, 13, 23, 45tfindsg 6668 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
suc  B  e.  On )  /\  suc  B  C_  A )  ->  ta )
4746expl 616 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( suc  B  e.  On  /\  suc  B  C_  A )  ->  ta ) )
4847adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ( ( suc  B  e.  On  /\  suc  B  C_  A )  ->  ta ) )
493, 7, 48mp2and 677 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   Ord word 4866   Oncon0 4867   Lim wlim 4868   suc csuc 4869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873
This theorem is referenced by:  oeordi  7228
  Copyright terms: Public domain W3C validator