Theorem tfindsg2 6688

Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal suc B instead of zero. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsg2.1	|- ( x = suc B -> ( ph <-> ps ) )
tfindsg2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
tfindsg2.3	|- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
tfindsg2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
tfindsg2.5	|- ( B e. On -> ps )
tfindsg2.6	|- ( ( y e. On /\ B e. y ) -> ( ch -> th ) )
tfindsg2.7	|- ( ( Lim x /\ B e. x ) -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
tfindsg2	|- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem tfindsg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 5448	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> B e. On )
2		sucelon 6644	. . 3 |- ( B e. On <-> suc B e. On )
3	1, 2	sylib 200	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> suc B e. On )
4		eloni 5433	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord A )
5		ordsucss 6645	. . . 4 |- ( Ord A -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( A e. On -> ( B e. A -> suc B C_ A ) )
7	6	imp 431	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> suc B C_ A )
8		tfindsg2.1	. . . . 5 |- ( x = suc B -> ( ph <-> ps ) )
9		tfindsg2.2	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
10		tfindsg2.3	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
11		tfindsg2.4	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
12		tfindsg2.5	. . . . . 6 |- ( B e. On -> ps )
13	2, 12	sylbir 217	. . . . 5 |- ( suc B e. On -> ps )
14		eloni 5433	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> Ord y )
15		ordelsuc 6647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ Ord y ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
16	14, 15	sylan2 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
17	16	ancoms 455	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
18		tfindsg2.6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ B e. y ) -> ( ch -> th ) )
19	18	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> ( B e. y -> ( ch -> th ) ) )
20	19	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B e. y -> ( ch -> th ) ) )
21	17, 20	sylbird 239	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( suc B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
22	2, 21	sylan2br 479	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ suc B e. On ) -> ( suc B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
23	22	imp 431	. . . . 5 |- ( ( ( y e. On /\ suc B e. On ) /\ suc B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
24		tfindsg2.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ B e. x ) -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) )
25	24	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( Lim x -> ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) )
26	25	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) )
27		vex 3048	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
28		limelon 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
29	27, 28	mpan 676	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim x -> x e. On )
30		eloni 5433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> Ord x )
31		ordelsuc 6647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ Ord x ) -> ( B e. x <-> suc B C_ x ) )
32	30, 31	sylan2 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( B e. x <-> suc B C_ x ) )
33		onelon 5448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
34	33, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> Ord y )
35	34, 15	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. On /\ ( x e. On /\ y e. x ) ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
36	35	anassrs 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. On /\ x e. On ) /\ y e. x ) -> ( B e. y <-> suc B C_ y ) )
37	36	imbi1d 319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ x e. On ) /\ y e. x ) -> ( ( B e. y -> ch ) <-> ( suc B C_ y -> ch ) ) )
38	37	ralbidva 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) <-> A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) ) )
39	38	imbi1d 319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) <-> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) )
40	32, 39	imbi12d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) <-> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) ) )
41	29, 40	sylan2 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) <-> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) ) )
42	41	ancoms 455	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( ( B e. x -> ( A. y e. x ( B e. y -> ch ) -> ph ) ) <-> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) ) )
43	26, 42	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) )
44	2, 43	sylan2br 479	. . . . . 6 |- ( ( Lim x /\ suc B e. On ) -> ( suc B C_ x -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) ) )
45	44	imp 431	. . . . 5 |- ( ( ( Lim x /\ suc B e. On ) /\ suc B C_ x ) -> ( A. y e. x ( suc B C_ y -> ch ) -> ph ) )
46	8, 9, 10, 11, 13, 23, 45	tfindsg 6687	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ suc B e. On ) /\ suc B C_ A ) -> ta )
47	46	expl 624	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( suc B e. On /\ suc B C_ A ) -> ta ) )
48	47	adantr 467	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> ( ( suc B e. On /\ suc B C_ A ) -> ta ) )
49	3, 7, 48	mp2and 685	1 |- ( ( A e. On /\ B e. A ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   Ord word 5422   Oncon0 5423   Lim wlim 5424   suc csuc 5425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429

This theorem is referenced by:  oeordi  7288