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Theorem tfindsg2 4800
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction hypothesis for successors, and the induction hypothesis for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal  suc  B instead of zero. (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
tfindsg2.1  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( ph  <->  ps ) )
tfindsg2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
tfindsg2.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
tfindsg2.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
tfindsg2.5  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
tfindsg2.6  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  y )  ->  ( ch  ->  th )
)
tfindsg2.7  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
tfindsg2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem tfindsg2
StepHypRef Expression
1 onelon 4566 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
2 sucelon 4756 . . 3  |-  ( B  e.  On  <->  suc  B  e.  On )
31, 2sylib 189 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  suc  B  e.  On )
4 eloni 4551 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
5 ordsucss 4757 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( B  e.  A  ->  suc  B  C_  A ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  A  ->  suc 
B  C_  A )
)
76imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  suc  B  C_  A
)
8 tfindsg2.1 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  B  -> 
( ph  <->  ps ) )
9 tfindsg2.2 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
10 tfindsg2.3 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
11 tfindsg2.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
12 tfindsg2.5 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
132, 12sylbir 205 . . . . 5  |-  ( suc 
B  e.  On  ->  ps )
14 eloni 4551 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
15 ordelsuc 4759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  Ord  y )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y ) )
1614, 15sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y )
)
1716ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y )
)
18 tfindsg2.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  y )  ->  ( ch  ->  th )
)
1918ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
2019adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  e.  y  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2117, 20sylbird 227 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( suc  B  C_  y  ->  ( ch  ->  th ) ) )
222, 21sylan2br 463 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  On  /\  suc  B  e.  On )  ->  ( suc  B  C_  y  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2322imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  B  e.  On )  /\  suc  B  C_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
24 tfindsg2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )
)
2524ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) ) )
2625adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )
) )
27 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
28 limelon 4604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  x  e.  On )
2927, 28mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  x  e.  On )
30 eloni 4551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
31 ordelsuc 4759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  Ord  x )  ->  ( B  e.  x  <->  suc  B  C_  x ) )
3230, 31sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( B  e.  x  <->  suc 
B  C_  x )
)
33 onelon 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  On )
3433, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
3534, 15sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  x ) )  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y
) )
3635anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( B  e.  y  <->  suc  B  C_  y
) )
3736imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( B  e.  y  ->  ch )  <->  ( suc  B  C_  y  ->  ch )
) )
3837ralbidva 2682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  <->  A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch ) ) )
3938imbi1d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph )  <->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) ) )
4032, 39imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) )  <-> 
( suc  B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) ) ) )
4129, 40sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) )  <->  ( suc  B 
C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
) ) )
4241ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  (
( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ch )  ->  ph ) )  <->  ( suc  B 
C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
) ) )
4326, 42mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  ->  ( suc  B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
) )
442, 43sylan2br 463 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  x  /\  suc  B  e.  On )  -> 
( suc  B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) ) )
4544imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  B  e.  On )  /\  suc  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  B  C_  y  ->  ch )  ->  ph )
)
468, 9, 10, 11, 13, 23, 45tfindsg 4799 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\ 
suc  B  e.  On )  /\  suc  B  C_  A )  ->  ta )
4746expl 602 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( suc  B  e.  On  /\  suc  B  C_  A )  ->  ta ) )
4847adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ( ( suc  B  e.  On  /\  suc  B  C_  A )  ->  ta ) )
493, 7, 48mp2and 661 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   Ord word 4540   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543
This theorem is referenced by:  oeordi  6789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547
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