Theorem tfindsg 6694

Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal B instead of zero. Remark in [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-Mar-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsg.1	|- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
tfindsg.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
tfindsg.3	|- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
tfindsg.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
tfindsg.5	|- ( B e. On -> ps )
tfindsg.6	|- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
tfindsg.7	|- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
tfindsg	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem tfindsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3521	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
2	1	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
3		eqeq2 2472	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( x = B <-> x = (/) ) )
4		tfindsg.1	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
5	3, 4	syl6bir 229	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
6	5	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ph <-> ps ) )
7	2, 6	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
8	1	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ph ) ) )
9		ss0 3825	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ (/) -> B = (/) )
10	9	con3i 135	. . . . . . . 8 |- ( -. B = (/) -> -. B C_ (/) )
11	10	pm2.21d 106	. . . . . . 7 |- ( -. B = (/) -> ( B C_ (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
12	11	pm5.74d 247	. . . . . 6 |- ( -. B = (/) -> ( ( B C_ (/) -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
13	8, 12	sylan9bbr 700	. . . . 5 |- ( ( -. B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
14	7, 13	pm2.61ian 790	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
15	14	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) ) ) )
16		sseq2 3521	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B C_ x <-> B C_ y ) )
17		tfindsg.2	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
18	16, 17	imbi12d 320	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ y -> ch ) ) )
19	18	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) ) )
20		sseq2 3521	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B C_ x <-> B C_ suc y ) )
21		tfindsg.3	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
22	20, 21	imbi12d 320	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ suc y -> th ) ) )
23	22	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
24		sseq2 3521	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C_ x <-> B C_ A ) )
25		tfindsg.4	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
26	24, 25	imbi12d 320	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ A -> ta ) ) )
27	26	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) ) )
28		tfindsg.5	. . . 4 |- ( B e. On -> ps )
29	28	a1d 25	. . 3 |- ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) )
30		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
31	30	sucex 6645	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc y e. _V
32	31	eqvinc 3226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y = B <-> E. x ( x = suc y /\ x = B ) )
33	28, 4	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( B e. On -> ph ) )
34	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( ph -> th ) )
35	33, 34	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
36	35	exlimiv 1723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
37	32, 36	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc y = B -> ( B e. On -> th ) )
38	37	eqcoms 2469	. . . . . . . . . 10 |- ( B = suc y -> ( B e. On -> th ) )
39	38	imim2i 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) )
40	39	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) ) )
41	40	com4r 86	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
42	41	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
43		df-ne 2654	. . . . . . . . 9 |- ( B =/= suc y <-> -. B = suc y )
44	43	anbi2i 694	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) )
45		annim 425	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
46	44, 45	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
47		onsssuc 4974	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> B e. suc y ) )
48		suceloni 6647	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> suc y e. On )
49		onelpss 4927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ suc y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
50	48, 49	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
51	47, 50	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
52	51	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
53		tfindsg.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
54	53	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
55		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> ( B C_ suc y -> th ) )
56	54, 55	syl8 70	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
57	56	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ y -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
58	57	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
59	52, 58	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
60	46, 59	syl5bir 218	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
61	42, 60	pm2.61d 158	. . . . 5 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) )
62	61	ex 434	. . . 4 |- ( y e. On -> ( B e. On -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
63	62	a2d 26	. . 3 |- ( y e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
64		pm2.27 39	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B C_ y -> ch ) ) )
65	64	ralimdv 2867	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
66	65	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
67		tfindsg.7	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )
68	66, 67	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) )
69	68	exp31 604	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
70	69	com3l 81	. . . 4 |- ( B e. On -> ( B C_ x -> ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
71	70	com4t 85	. . 3 |- ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) ) )
72	15, 19, 23, 27, 29, 63, 71	tfinds 6693	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) )
73	72	imp31 432	1 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   C_ wss 3471   (/)c0 3793   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   suc csuc 4889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893

This theorem is referenced by:  tfindsg2  6695  oaordi  7213  infensuc  7714  r1ordg  8213