Theorem tfindsg 6677

Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal B instead of zero. Remark in [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-Mar-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsg.1	|- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
tfindsg.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
tfindsg.3	|- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
tfindsg.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
tfindsg.5	|- ( B e. On -> ps )
tfindsg.6	|- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
tfindsg.7	|- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
tfindsg	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem tfindsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3463	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
2	1	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
3		eqeq2 2417	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( x = B <-> x = (/) ) )
4		tfindsg.1	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
5	3, 4	syl6bir 229	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
6	5	imp 427	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ph <-> ps ) )
7	2, 6	imbi12d 318	. . . . 5 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
8	1	imbi1d 315	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ph ) ) )
9		ss0 3769	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ (/) -> B = (/) )
10	9	con3i 135	. . . . . . . 8 |- ( -. B = (/) -> -. B C_ (/) )
11	10	pm2.21d 106	. . . . . . 7 |- ( -. B = (/) -> ( B C_ (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
12	11	pm5.74d 247	. . . . . 6 |- ( -. B = (/) -> ( ( B C_ (/) -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
13	8, 12	sylan9bbr 699	. . . . 5 |- ( ( -. B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
14	7, 13	pm2.61ian 791	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
15	14	imbi2d 314	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) ) ) )
16		sseq2 3463	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B C_ x <-> B C_ y ) )
17		tfindsg.2	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
18	16, 17	imbi12d 318	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ y -> ch ) ) )
19	18	imbi2d 314	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) ) )
20		sseq2 3463	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B C_ x <-> B C_ suc y ) )
21		tfindsg.3	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
22	20, 21	imbi12d 318	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ suc y -> th ) ) )
23	22	imbi2d 314	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
24		sseq2 3463	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C_ x <-> B C_ A ) )
25		tfindsg.4	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
26	24, 25	imbi12d 318	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ A -> ta ) ) )
27	26	imbi2d 314	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) ) )
28		tfindsg.5	. . . 4 |- ( B e. On -> ps )
29	28	a1d 25	. . 3 |- ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) )
30		vex 3061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
31	30	sucex 6628	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc y e. _V
32	31	eqvinc 3175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y = B <-> E. x ( x = suc y /\ x = B ) )
33	28, 4	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( B e. On -> ph ) )
34	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( ph -> th ) )
35	33, 34	sylan9r 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
36	35	exlimiv 1743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
37	32, 36	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc y = B -> ( B e. On -> th ) )
38	37	eqcoms 2414	. . . . . . . . . 10 |- ( B = suc y -> ( B e. On -> th ) )
39	38	imim2i 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) )
40	39	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) ) )
41	40	com4r 86	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
42	41	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
43		df-ne 2600	. . . . . . . . 9 |- ( B =/= suc y <-> -. B = suc y )
44	43	anbi2i 692	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) )
45		annim 423	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
46	44, 45	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
47		onsssuc 5496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> B e. suc y ) )
48		suceloni 6630	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> suc y e. On )
49		onelpss 5449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ suc y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
50	48, 49	sylan2 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
51	47, 50	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
52	51	ancoms 451	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
53		tfindsg.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
54	53	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
55		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> ( B C_ suc y -> th ) )
56	54, 55	syl8 69	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
57	56	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ y -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
58	57	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
59	52, 58	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
60	46, 59	syl5bir 218	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
61	42, 60	pm2.61d 158	. . . . 5 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) )
62	61	ex 432	. . . 4 |- ( y e. On -> ( B e. On -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
63	62	a2d 26	. . 3 |- ( y e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
64		pm2.27 37	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B C_ y -> ch ) ) )
65	64	ralimdv 2813	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
66	65	ad2antlr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
67		tfindsg.7	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )
68	66, 67	syld 42	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) )
69	68	exp31 602	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
70	69	com3l 81	. . . 4 |- ( B e. On -> ( B C_ x -> ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
71	70	com4t 85	. . 3 |- ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) ) )
72	15, 19, 23, 27, 29, 63, 71	tfinds 6676	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) )
73	72	imp31 430	1 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2753   C_ wss 3413   (/)c0 3737   Oncon0 5409   Lim wlim 5410   suc csuc 5411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415

This theorem is referenced by:  tfindsg2  6678  oaordi  7231  infensuc  7732  r1ordg  8227