Theorem tfindsg 6706

Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal B instead of zero. Remark in [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-Mar-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsg.1	|- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
tfindsg.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
tfindsg.3	|- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
tfindsg.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
tfindsg.5	|- ( B e. On -> ps )
tfindsg.6	|- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
tfindsg.7	|- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
tfindsg	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem tfindsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3440	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
2	1	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
3		eqeq2 2482	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( x = B <-> x = (/) ) )
4		tfindsg.1	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
5	3, 4	syl6bir 237	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
6	5	imp 436	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ph <-> ps ) )
7	2, 6	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
8	1	imbi1d 324	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ph ) ) )
9		ss0 3768	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ (/) -> B = (/) )
10	9	con3i 142	. . . . . . . 8 |- ( -. B = (/) -> -. B C_ (/) )
11	10	pm2.21d 109	. . . . . . 7 |- ( -. B = (/) -> ( B C_ (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
12	11	pm5.74d 255	. . . . . 6 |- ( -. B = (/) -> ( ( B C_ (/) -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
13	8, 12	sylan9bbr 715	. . . . 5 |- ( ( -. B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
14	7, 13	pm2.61ian 807	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
15	14	imbi2d 323	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) ) ) )
16		sseq2 3440	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B C_ x <-> B C_ y ) )
17		tfindsg.2	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
18	16, 17	imbi12d 327	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ y -> ch ) ) )
19	18	imbi2d 323	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) ) )
20		sseq2 3440	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B C_ x <-> B C_ suc y ) )
21		tfindsg.3	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
22	20, 21	imbi12d 327	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ suc y -> th ) ) )
23	22	imbi2d 323	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
24		sseq2 3440	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C_ x <-> B C_ A ) )
25		tfindsg.4	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
26	24, 25	imbi12d 327	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ A -> ta ) ) )
27	26	imbi2d 323	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) ) )
28		tfindsg.5	. . . 4 |- ( B e. On -> ps )
29	28	a1d 25	. . 3 |- ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) )
30		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
31	30	sucex 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc y e. _V
32	31	eqvinc 3154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y = B <-> E. x ( x = suc y /\ x = B ) )
33	28, 4	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( B e. On -> ph ) )
34	21	biimpd 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( ph -> th ) )
35	33, 34	sylan9r 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
36	35	exlimiv 1784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
37	32, 36	sylbi 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc y = B -> ( B e. On -> th ) )
38	37	eqcoms 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( B = suc y -> ( B e. On -> th ) )
39	38	imim2i 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) )
40	39	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) ) )
41	40	com4r 88	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
42	41	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
43		df-ne 2643	. . . . . . . . 9 |- ( B =/= suc y <-> -. B = suc y )
44	43	anbi2i 708	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) )
45		annim 432	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
46	44, 45	bitri 257	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
47		onsssuc 5517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> B e. suc y ) )
48		suceloni 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> suc y e. On )
49		onelpss 5470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ suc y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
50	48, 49	sylan2 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
51	47, 50	bitrd 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
52	51	ancoms 460	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
53		tfindsg.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
54	53	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
55		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> ( B C_ suc y -> th ) )
56	54, 55	syl8 71	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
57	56	a2d 28	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ y -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
58	57	com23 80	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
59	52, 58	sylbird 243	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
60	46, 59	syl5bir 226	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
61	42, 60	pm2.61d 163	. . . . 5 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) )
62	61	ex 441	. . . 4 |- ( y e. On -> ( B e. On -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
63	62	a2d 28	. . 3 |- ( y e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
64		pm2.27 39	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B C_ y -> ch ) ) )
65	64	ralimdv 2806	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
66	65	ad2antlr 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
67		tfindsg.7	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )
68	66, 67	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) )
69	68	exp31 615	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
70	69	com3l 83	. . . 4 |- ( B e. On -> ( B C_ x -> ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
71	70	com4t 87	. . 3 |- ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) ) )
72	15, 19, 23, 27, 29, 63, 71	tfinds 6705	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) )
73	72	imp31 439	1 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   C_ wss 3390   (/)c0 3722   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436

This theorem is referenced by:  tfindsg2  6707  oaordi  7265  infensuc  7768  r1ordg  8267