Theorem tfindsg 6469

Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal B instead of zero. Remark in [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-Mar-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsg.1	|- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
tfindsg.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
tfindsg.3	|- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
tfindsg.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
tfindsg.5	|- ( B e. On -> ps )
tfindsg.6	|- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
tfindsg.7	|- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
tfindsg	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem tfindsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3376	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
2	1	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
3		eqeq2 2450	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( x = B <-> x = (/) ) )
4		tfindsg.1	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
5	3, 4	syl6bir 229	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
6	5	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ph <-> ps ) )
7	2, 6	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
8	1	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ph ) ) )
9		ss0 3666	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ (/) -> B = (/) )
10	9	con3i 135	. . . . . . . 8 |- ( -. B = (/) -> -. B C_ (/) )
11	10	pm2.21d 106	. . . . . . 7 |- ( -. B = (/) -> ( B C_ (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
12	11	pm5.74d 247	. . . . . 6 |- ( -. B = (/) -> ( ( B C_ (/) -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
13	8, 12	sylan9bbr 700	. . . . 5 |- ( ( -. B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
14	7, 13	pm2.61ian 788	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
15	14	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) ) ) )
16		sseq2 3376	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B C_ x <-> B C_ y ) )
17		tfindsg.2	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
18	16, 17	imbi12d 320	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ y -> ch ) ) )
19	18	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) ) )
20		sseq2 3376	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B C_ x <-> B C_ suc y ) )
21		tfindsg.3	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
22	20, 21	imbi12d 320	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ suc y -> th ) ) )
23	22	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
24		sseq2 3376	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C_ x <-> B C_ A ) )
25		tfindsg.4	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
26	24, 25	imbi12d 320	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ A -> ta ) ) )
27	26	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) ) )
28		tfindsg.5	. . . 4 |- ( B e. On -> ps )
29	28	a1d 25	. . 3 |- ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) )
30		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
31	30	sucex 6420	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc y e. _V
32	31	eqvinc 3084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y = B <-> E. x ( x = suc y /\ x = B ) )
33	28, 4	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( B e. On -> ph ) )
34	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( ph -> th ) )
35	33, 34	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
36	35	exlimiv 1688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
37	32, 36	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc y = B -> ( B e. On -> th ) )
38	37	eqcoms 2444	. . . . . . . . . 10 |- ( B = suc y -> ( B e. On -> th ) )
39	38	imim2i 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) )
40	39	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) ) )
41	40	com4r 86	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
42	41	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
43		df-ne 2606	. . . . . . . . 9 |- ( B =/= suc y <-> -. B = suc y )
44	43	anbi2i 694	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) )
45		annim 425	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
46	44, 45	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
47		onsssuc 4804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> B e. suc y ) )
48		suceloni 6422	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> suc y e. On )
49		onelpss 4757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ suc y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
50	48, 49	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
51	47, 50	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
52	51	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
53		tfindsg.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
54	53	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
55		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> ( B C_ suc y -> th ) )
56	54, 55	syl8 70	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
57	56	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ y -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
58	57	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
59	52, 58	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
60	46, 59	syl5bir 218	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
61	42, 60	pm2.61d 158	. . . . 5 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) )
62	61	ex 434	. . . 4 |- ( y e. On -> ( B e. On -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
63	62	a2d 26	. . 3 |- ( y e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
64		pm2.27 39	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B C_ y -> ch ) ) )
65	64	ralimdv 2793	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
66	65	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
67		tfindsg.7	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )
68	66, 67	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) )
69	68	exp31 604	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
70	69	com3l 81	. . . 4 |- ( B e. On -> ( B C_ x -> ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
71	70	com4t 85	. . 3 |- ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) ) )
72	15, 19, 23, 27, 29, 63, 71	tfinds 6468	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) )
73	72	imp31 432	1 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2604   A.wral 2713   C_ wss 3326   (/)c0 3635   Oncon0 4717   Lim wlim 4718   suc csuc 4719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723

This theorem is referenced by:  tfindsg2  6470  oaordi  6983  infensuc  7487  r1ordg  7983