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Theorem tfindsg 6706
Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal  B instead of zero. Remark in [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-Mar-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
tfindsg.1  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
tfindsg.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
tfindsg.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
tfindsg.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
tfindsg.5  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
tfindsg.6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
tfindsg.7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
tfindsg  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  A
)  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem tfindsg
StepHypRef Expression
1 sseq2 3440 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B 
C_  x  <->  B  C_  (/) ) )
21adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  (/) ) )
3 eqeq2 2482 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  =  B  <->  x  =  (/) ) )
4 tfindsg.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
53, 4syl6bir 237 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )
65imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
72, 6imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( ( B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  ->  (
( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) )
81imbi1d 324 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/) 
->  ph ) ) )
9 ss0 3768 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
109con3i 142 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  B  C_  (/) )
1110pm2.21d 109 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  =  (/)  ->  ( B  C_  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )
1211pm5.74d 255 . . . . . 6  |-  ( -.  B  =  (/)  ->  (
( B  C_  (/)  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) )
138, 12sylan9bbr 715 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  -> 
( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) )
147, 13pm2.61ian 807 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/) 
->  ps ) ) )
1514imbi2d 323 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) ) )
16 sseq2 3440 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  y
) )
17 tfindsg.2 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1816, 17imbi12d 327 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  y  ->  ch )
) )
1918imbi2d 323 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch )
) ) )
20 sseq2 3440 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  C_  x  <->  B 
C_  suc  y )
)
21 tfindsg.3 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
2220, 21imbi12d 327 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_ 
suc  y  ->  th )
) )
2322imbi2d 323 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <-> 
( B  e.  On  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
24 sseq2 3440 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  A
) )
25 tfindsg.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2624, 25imbi12d 327 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  A  ->  ta )
) )
2726imbi2d 323 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  A  ->  ta )
) ) )
28 tfindsg.5 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ps )
2928a1d 25 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  (/)  ->  ps )
)
30 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
3130sucex 6657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  y  e.  _V
3231eqvinc 3154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  =  B  <->  E. x
( x  =  suc  y  /\  x  =  B ) )
3328, 4syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( B  e.  On  ->  ph ) )
3421biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  ->  th )
)
3533, 34sylan9r 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  x  =  B
)  ->  ( B  e.  On  ->  th )
)
3635exlimiv 1784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( x  =  suc  y  /\  x  =  B )  ->  ( B  e.  On  ->  th ) )
3732, 36sylbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  y  =  B  -> 
( B  e.  On  ->  th ) )
3837eqcoms 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  suc  y  -> 
( B  e.  On  ->  th ) )
3938imim2i 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  ( B  e.  On  ->  th )
) )
4039a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  ( ( B 
C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  ( B  e.  On  ->  th )
) ) )
4140com4r 88 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  (
( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  (
( B  C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
4241adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  -> 
( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
43 df-ne 2643 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  suc  y  <->  -.  B  =  suc  y )
4443anbi2i 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )  <->  ( B  C_  suc  y  /\  -.  B  =  suc  y ) )
45 annim 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  suc  y  /\  -.  B  =  suc  y )  <->  -.  ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y ) )
4644, 45bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )  <->  -.  ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y ) )
47 onsssuc 5517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  C_  y  <->  B  e.  suc  y ) )
48 suceloni 6659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
49 onelpss 5470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  y  e.  On )  ->  ( B  e. 
suc  y  <->  ( B  C_ 
suc  y  /\  B  =/=  suc  y ) ) )
5048, 49sylan2 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  y 
<->  ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y ) ) )
5147, 50bitrd 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  C_  y  <->  ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )
) )
5251ancoms 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  C_  y  <->  ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )
) )
53 tfindsg.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
5453ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  C_  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
55 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( th 
->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) )
5654, 55syl8 71 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  C_  y  ->  ( ch  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
5756a2d 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  y  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
5857com23 80 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  C_  y  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
5952, 58sylbird 243 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( B  C_  suc  y  /\  B  =/= 
suc  y )  -> 
( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
6046, 59syl5bir 226 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( -.  ( B 
C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  ( ( B 
C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th )
) ) )
6142, 60pm2.61d 163 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) )
6261ex 441 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
6362a2d 28 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  (
( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  -> 
( B  e.  On  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
64 pm2.27 39 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  (
( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  -> 
( B  C_  y  ->  ch ) ) )
6564ralimdv 2806 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  ->  A. y  e.  x  ( B  C_  y  ->  ch ) ) )
6665ad2antlr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch )
)  ->  A. y  e.  x  ( B  C_  y  ->  ch )
) )
67 tfindsg.7 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  C_  y  ->  ch )  ->  ph ) )
6866, 67syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch )
)  ->  ph ) )
6968exp31 615 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  ->  ph )
) ) )
7069com3l 83 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  ->  ph )
) ) )
7170com4t 87 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  ->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) ) ) )
7215, 19, 23, 27, 29, 63, 71tfinds 6705 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  A  ->  ta ) ) )
7372imp31 439 1  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  B  C_  A
)  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    C_ wss 3390   (/)c0 3722   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436
This theorem is referenced by:  tfindsg2  6707  oaordi  7265  infensuc  7768  r1ordg  8267
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