Theorem tfindsg 6673

Description: Transfinite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last three are the basis, the induction step for successors, and the induction step for limit ordinals. The basis of this version is an arbitrary ordinal B instead of zero. Remark in [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 5-Mar-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfindsg.1	|- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
tfindsg.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
tfindsg.3	|- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
tfindsg.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
tfindsg.5	|- ( B e. On -> ps )
tfindsg.6	|- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
tfindsg.7	|- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
tfindsg	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   ch, x   th, x   ta, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)

Proof of Theorem tfindsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3526	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
2	1	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( B C_ x <-> B C_ (/) ) )
3		eqeq2 2482	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( x = B <-> x = (/) ) )
4		tfindsg.1	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
5	3, 4	syl6bir 229	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
6	5	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ph <-> ps ) )
7	2, 6	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( ( B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
8	1	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ph ) ) )
9		ss0 3816	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ (/) -> B = (/) )
10	9	con3i 135	. . . . . . . 8 |- ( -. B = (/) -> -. B C_ (/) )
11	10	pm2.21d 106	. . . . . . 7 |- ( -. B = (/) -> ( B C_ (/) -> ( ph <-> ps ) ) )
12	11	pm5.74d 247	. . . . . 6 |- ( -. B = (/) -> ( ( B C_ (/) -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
13	8, 12	sylan9bbr 700	. . . . 5 |- ( ( -. B = (/) /\ x = (/) ) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
14	7, 13	pm2.61ian 788	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ (/) -> ps ) ) )
15	14	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) ) ) )
16		sseq2 3526	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B C_ x <-> B C_ y ) )
17		tfindsg.2	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
18	16, 17	imbi12d 320	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ y -> ch ) ) )
19	18	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) ) )
20		sseq2 3526	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( B C_ x <-> B C_ suc y ) )
21		tfindsg.3	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) )
22	20, 21	imbi12d 320	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ suc y -> th ) ) )
23	22	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = suc y -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
24		sseq2 3526	. . . . 5 |- ( x = A -> ( B C_ x <-> B C_ A ) )
25		tfindsg.4	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
26	24, 25	imbi12d 320	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( B C_ x -> ph ) <-> ( B C_ A -> ta ) ) )
27	26	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) <-> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) ) )
28		tfindsg.5	. . . 4 |- ( B e. On -> ps )
29	28	a1d 25	. . 3 |- ( B e. On -> ( B C_ (/) -> ps ) )
30		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
31	30	sucex 6624	. . . . . . . . . . . . 13 |- suc y e. _V
32	31	eqvinc 3230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y = B <-> E. x ( x = suc y /\ x = B ) )
33	28, 4	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( B e. On -> ph ) )
34	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( ph -> th ) )
35	33, 34	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
36	35	exlimiv 1698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x ( x = suc y /\ x = B ) -> ( B e. On -> th ) )
37	32, 36	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc y = B -> ( B e. On -> th ) )
38	37	eqcoms 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( B = suc y -> ( B e. On -> th ) )
39	38	imim2i 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) )
40	39	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> ( B e. On -> th ) ) ) )
41	40	com4r 86	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
42	41	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
43		df-ne 2664	. . . . . . . . 9 |- ( B =/= suc y <-> -. B = suc y )
44	43	anbi2i 694	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) )
45		annim 425	. . . . . . . 8 |- ( ( B C_ suc y /\ -. B = suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
46	44, 45	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) <-> -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) )
47		onsssuc 4965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> B e. suc y ) )
48		suceloni 6626	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> suc y e. On )
49		onelpss 4918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. On /\ suc y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
50	48, 49	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B e. suc y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
51	47, 50	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
52	51	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y <-> ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) ) )
53		tfindsg.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. On /\ B e. On ) /\ B C_ y ) -> ( ch -> th ) )
54	53	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> th ) ) )
55		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> ( B C_ suc y -> th ) )
56	54, 55	syl8 70	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ch -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
57	56	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ y -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
58	57	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( B C_ y -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
59	52, 58	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ suc y /\ B =/= suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
60	46, 59	syl5bir 218	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( -. ( B C_ suc y -> B = suc y ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
61	42, 60	pm2.61d 158	. . . . 5 |- ( ( y e. On /\ B e. On ) -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) )
62	61	ex 434	. . . 4 |- ( y e. On -> ( B e. On -> ( ( B C_ y -> ch ) -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
63	62	a2d 26	. . 3 |- ( y e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ suc y -> th ) ) ) )
64		pm2.27 39	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B C_ y -> ch ) ) )
65	64	ralimdv 2874	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
66	65	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> A. y e. x ( B C_ y -> ch ) ) )
67		tfindsg.7	. . . . . . 7 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B C_ y -> ch ) -> ph ) )
68	66, 67	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( Lim x /\ B e. On ) /\ B C_ x ) -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) )
69	68	exp31 604	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
70	69	com3l 81	. . . 4 |- ( B e. On -> ( B C_ x -> ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ph ) ) ) )
71	70	com4t 85	. . 3 |- ( Lim x -> ( A. y e. x ( B e. On -> ( B C_ y -> ch ) ) -> ( B e. On -> ( B C_ x -> ph ) ) ) )
72	15, 19, 23, 27, 29, 63, 71	tfinds 6672	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( B C_ A -> ta ) ) )
73	72	imp31 432	1 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ B C_ A ) -> ta )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   C_ wss 3476   (/)c0 3785   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884

This theorem is referenced by:  tfindsg2  6674  oaordi  7192  infensuc  7692  r1ordg  8192