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Theorem termoeu1 15891
 Description: Terminal objects are essentially unique (strong form), i.e. there is a unique isomorphism between two terminal objects, see statement in [Lang] p. 58 ("... if P, P' are two universal objects [...] then there exists a unique isomorphism between them.". (Proposed by BJ, 14-Apr-2020.) (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
termoeu1.c
termoeu1.a TermO
termoeu1.b TermO
Assertion
Ref Expression
termoeu1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem termoeu1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 termoeu1.b . . 3 TermO
2 eqid 2420 . . . 4
3 eqid 2420 . . . 4
4 termoeu1.c . . . 4
52, 3, 4istermoi 15877 . . 3 TermO
61, 5mpdan 672 . 2
7 termoeu1.a . . . . 5 TermO
82, 3, 4istermoi 15877 . . . . 5 TermO
97, 8mpdan 672 . . . 4
10 oveq1 6304 . . . . . . . . . . 11
1110eleq2d 2490 . . . . . . . . . 10
1211eubidv 2284 . . . . . . . . 9
1312rspcv 3175 . . . . . . . 8
14 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15
154adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15
182, 3, 14, 15, 16, 17isohom 15659 . . . . . . . . . . . . . 14
1918adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13
20 euex 2288 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 oveq1 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2322eleq2d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2423eubidv 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2524rspcva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26 euex 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2827ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Inv Inv
3115ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3216ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3317ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
344, 7, 12termoinv 15890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Inv
35343exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Inv
3635adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Inv
3736imp31 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Inv
382, 30, 31, 32, 33, 14, 37inviso1 15649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3938ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039eximdv 1754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241exlimiv 1766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342com3l 84 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443impd 432 . . . . . . . . . . . . . . 15
4521, 29, 44syl2and 485 . . . . . . . . . . . . . 14
4645imp 430 . . . . . . . . . . . . 13
47 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13
48 euelss 3757 . . . . . . . . . . . . 13
4919, 46, 47, 48syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
5049exp42 614 . . . . . . . . . . 11
5150com24 90 . . . . . . . . . 10
5251com14 91 . . . . . . . . 9
5352expd 437 . . . . . . . 8
5413, 53syld 45 . . . . . . 7
5554com12 32 . . . . . 6
5655com15 96 . . . . 5
5756impd 432 . . . 4
589, 57mpd 15 . . 3
5958impd 432 . 2
606, 59mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437  wex 1659   wcel 1867  weu 2263  wral 2773   wss 3433   class class class wbr 4417  cfv 5593  (class class class)co 6297  cbs 15099   chom 15179  ccat 15548  Invcinv 15628   ciso 15629  TermOctermo 15862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-cat 15552  df-cid 15553  df-sect 15630  df-inv 15631  df-iso 15632  df-termo 15865 This theorem is referenced by:  termoeu1w  15892
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