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Theorem tendospcanN 35820
Description: Cancellation law for trace-perserving endomorphism values (used as scalar product). (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tendospcan.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendospcan.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendospcan.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendospcan.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendospcan.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
tendospcanN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  <->  F  =  G ) )
Distinct variable groups:    B, f    T, f
Allowed substitution hints:    S( f)    E( f)    F( f)    G( f)    H( f)    K( f)    O( f)    W( f)

Proof of Theorem tendospcanN
StepHypRef Expression
1 tendospcan.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tendospcan.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tendospcan.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
41, 2, 3tendocnv 35818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  `' ( S `  G )  =  ( S `  `' G ) )
543adant3l 1224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  `' ( S `  G )  =  ( S `  `' G ) )
65coeq2d 5163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( S `  F
)  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' G ) ) )
7 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  S  e.  E )
9 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  F  e.  T )
10 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  G  e.  T )
111, 2ltrncnv 34942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
127, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  `' G  e.  T )
131, 2, 3tendospdi1 35817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T ) )  -> 
( S `  ( F  o.  `' G
) )  =  ( ( S `  F
)  o.  ( S `
 `' G ) ) )
147, 8, 9, 12, 13syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  ( S `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( ( S `  F )  o.  ( S `  `' G
) ) )
156, 14eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )  ->  (
( S `  F
)  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( S `
 ( F  o.  `' G ) ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  o.  `' ( S `  G ) )  =  ( S `  ( F  o.  `' G
) ) )
1716eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  ( F  o.  `' G
) )  =  (  _I  |`  B )
) )
18 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
19 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  S  e.  E
)
20 simpl3l 1051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  F  e.  T
)
211, 2, 3tendocl 35563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( S `  F )  e.  T
)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( S `  F )  e.  T
)
23 simpl3r 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  G  e.  T
)
241, 2, 3tendocl 35563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( S `  G )  e.  T
)
2518, 19, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( S `  G )  e.  T
)
26 tendospcan.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  K
)
2726, 1, 2ltrncoidN 34924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  F )  e.  T  /\  ( S `  G
)  e.  T )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  F
)  =  ( S `
 G ) ) )
2818, 22, 25, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( ( S `  F )  o.  `' ( S `
 G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( S `  F
)  =  ( S `
 G ) ) )
2918, 23, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  `' G  e.  T )
301, 2ltrnco 35515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
3118, 20, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )
33 tendospcan.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
3426, 1, 2, 3, 33tendoid0 35621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( ( F  o.  `' G )  e.  T  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( ( S `  ( F  o.  `' G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
S  =  O ) )
3518, 19, 31, 32, 34syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 ( F  o.  `' G ) )  =  (  _I  |`  B )  <-> 
S  =  O ) )
3617, 28, 353bitr3d 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  =  ( S `  G
)  <->  S  =  O
) )
3736biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  `' G )  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( ( S `
 F )  =  ( S `  G
)  ->  S  =  O ) )
3837impancom 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =/=  (  _I  |`  B )  ->  S  =  O ) )
3938necon1d 2692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( S  =/=  O  ->  ( F  o.  `' G )  =  (  _I  |`  B )
) )
40 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41 simpl3l 1051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  F  e.  T )
42 simpl3r 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  G  e.  T )
4326, 1, 2ltrncoidN 34924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  <->  F  =  G ) )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  =  (  _I  |`  B )  <->  F  =  G ) )
4539, 44sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )  ->  ( S  =/=  O  ->  F  =  G ) )
46453exp1 1212 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  (
( S `  F
)  =  ( S `
 G )  -> 
( S  =/=  O  ->  F  =  G ) ) ) ) )
4746com24 87 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  ( S  e.  E  ->  ( S  =/=  O  ->  F  =  G )
) ) ) )
4847imp5a 598 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  ( ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  ->  (
( S  e.  E  /\  S  =/=  O
)  ->  F  =  G ) ) ) )
4948com24 87 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  ->  (
( F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  F  =  G ) ) ) )
50493imp 1190 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  ->  F  =  G ) )
51 fveq2 5864 . 2  |-  ( F  =  G  ->  ( S `  F )  =  ( S `  G ) )
5250, 51impbid1 203 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  S  =/= 
O )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  ->  ( ( S `  F )  =  ( S `  G )  <->  F  =  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   `'ccnv 4998    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5586   Basecbs 14486   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   TEndoctendo 35548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-map 7419  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tendo 35551
This theorem is referenced by:  dihmeetlem13N  36116
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