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Theorem tendoset 33997
Description: The set of trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a fiducial co-atom  W. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoset.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoset  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
Distinct variable groups:    f, s,
g, K    T, f,
g, s    W, s,
f, g
Allowed substitution hints:    R( f, g, s)    E( f, g, s)    H( f, g, s)    .<_ ( f, g, s)    V( f, g, s)

Proof of Theorem tendoset
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoset.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
2 tendoset.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 tendoset.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3tendofset 33996 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
54fveq1d 5681 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) `  W ) )
6 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( LTrn `  K ) `  w )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
76, 6feq23d 5542 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  <->  s :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
) )
86raleqdv 2913 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) ) )
96, 8raleqbidv 2921 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
) ) )
10 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (
( trL `  K
) `  w )  =  ( ( trL `  K ) `  W
) )
11 tendoset.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1210, 11syl6eqr 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (
( trL `  K
) `  w )  =  R )
1312fveq1d 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  =  ( R `  ( s `
 f ) ) )
1412fveq1d 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( trL `  K
) `  w ) `  f )  =  ( R `  f ) )
1513, 14breq12d 4293 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )  <->  ( R `  ( s `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
) ) )
166, 15raleqbidv 2921 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) )
177, 9, 163anbi123d 1282 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
)  <->  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) ) )
1817abbidv 2547 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) }  =  {
s  |  ( s : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) } )
19 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) } )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } )
20 fvex 5689 . . . . . . . 8  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
2120, 20mapval 7214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  ^m  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  =  { s  |  s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W ) }
22 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  ^m  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  e.  _V
2321, 22eqeltrri 2504 . . . . . 6  |-  { s  |  s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W ) }  e.  _V
24 simp1 981 . . . . . . 7  |-  ( ( s : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( R `
 ( s `  f ) )  .<_  ( R `  f ) )  ->  s :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2524ss2abi 3412 . . . . . 6  |-  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) } 
C_  { s  |  s : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W ) }
2623, 25ssexi 4425 . . . . 5  |-  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) }  e.  _V
2718, 19, 26fvmpt 5762 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) `  W )  =  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) } )
28 tendoset.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
2928, 28feq23i 5541 . . . . . 6  |-  ( s : T --> T  <->  s :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3028raleqi 2911 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) )
3128, 30raleqbii 2735 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
) )
3228raleqi 2911 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f ) )  .<_  ( R `  f )  <->  A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( R `
 ( s `  f ) )  .<_  ( R `  f ) )
3329, 31, 323anbi123i 1169 . . . . 5  |-  ( ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  <-> 
( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) )
3433abbii 2545 . . . 4  |-  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) }  =  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) }
3527, 34syl6eqr 2483 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) `  W )  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
365, 35sylan9eq 2485 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( ( TEndo `  K
) `  W )  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
371, 36syl5eq 2477 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   {cab 2419   A.wral 2705   _Vcvv 2962   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    o. ccom 4831   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^m cmap 7202   lecple 14228   LHypclh 33222   LTrncltrn 33339   trLctrl 33396   TEndoctendo 33990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-map 7204  df-tendo 33993
This theorem is referenced by:  istendo  33998
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