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Theorem tendoset 35848
Description: The set of trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a fiducial co-atom  W. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoset.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoset  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
Distinct variable groups:    f, s,
g, K    T, f,
g, s    W, s,
f, g
Allowed substitution hints:    R( f, g, s)    E( f, g, s)    H( f, g, s)    .<_ ( f, g, s)    V( f, g, s)

Proof of Theorem tendoset
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoset.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
2 tendoset.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 tendoset.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3tendofset 35847 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
54fveq1d 5873 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) `  W ) )
6 fveq2 5871 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( LTrn `  K ) `  w )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
76, 6feq23d 5731 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  (
s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  <->  s :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
) )
86raleqdv 3069 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) ) )
96, 8raleqbidv 3077 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
) ) )
10 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (
( trL `  K
) `  w )  =  ( ( trL `  K ) `  W
) )
11 tendoset.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1210, 11syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  W  ->  (
( trL `  K
) `  w )  =  R )
1312fveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  =  ( R `  ( s `
 f ) ) )
1412fveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( trL `  K
) `  w ) `  f )  =  ( R `  f ) )
1513, 14breq12d 4465 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )  <->  ( R `  ( s `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
) ) )
166, 15raleqbidv 3077 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) )
177, 9, 163anbi123d 1299 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
)  <->  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) ) )
1817abbidv 2603 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) }  =  {
s  |  ( s : ( ( LTrn `  K ) `  W
) --> ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) } )
19 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) } )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } )
20 fvex 5881 . . . . . . . 8  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
2120, 20mapval 7442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  ^m  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  =  { s  |  s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W ) }
22 ovex 6319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  ^m  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  e.  _V
2321, 22eqeltrri 2552 . . . . . 6  |-  { s  |  s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W ) }  e.  _V
24 simp1 996 . . . . . . 7  |-  ( ( s : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) ( R `
 ( s `  f ) )  .<_  ( R `  f ) )  ->  s :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2524ss2abi 3577 . . . . . 6  |-  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) } 
C_  { s  |  s : ( (
LTrn `  K ) `  W ) --> ( (
LTrn `  K ) `  W ) }
2623, 25ssexi 4597 . . . . 5  |-  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) }  e.  _V
2718, 19, 26fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) `  W )  =  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) } )
28 tendoset.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
2928, 28feq23i 5730 . . . . . 6  |-  ( s : T --> T  <->  s :
( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3028raleqi 3067 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) )
3128, 30raleqbii 2912 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
) )
3228raleqi 3067 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f ) )  .<_  ( R `  f )  <->  A. f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( R `
 ( s `  f ) )  .<_  ( R `  f ) )
3329, 31, 323anbi123i 1185 . . . . 5  |-  ( ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  <-> 
( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) )
3433abbii 2601 . . . 4  |-  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) }  =  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  W ) --> ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f ) ) }
3527, 34syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( W  e.  H  ->  (
( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) `  W )  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
365, 35sylan9eq 2528 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( ( TEndo `  K
) `  W )  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
371, 36syl5eq 2520 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   _Vcvv 3118   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510    o. ccom 5008   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    ^m cmap 7430   lecple 14574   LHypclh 35073   LTrncltrn 35190   trLctrl 35247   TEndoctendo 35841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-map 7432  df-tendo 35844
This theorem is referenced by:  istendo  35849
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