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Theorem tendoplcl 36923
Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoplcl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendoplcl
Dummy variables  g  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendopl.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendopl.t . 2  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2454 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendopl.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simp1 994 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simpl1 997 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simpl2 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
9 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
102, 3, 5tendocl 36909 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( U `  g )  e.  T
)
117, 8, 9, 10syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( U `  g )  e.  T )
12 simpl3 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
132, 3, 5tendocl 36909 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( V `  g )  e.  T
)
147, 12, 9, 13syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( V `  g )  e.  T )
152, 3ltrnco 36861 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  g )  e.  T  /\  ( V `  g
)  e.  T )  ->  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) )  e.  T
)
167, 11, 14, 15syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) )  e.  T )
17 eqid 2454 . . . 4  |-  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) ) )
1816, 17fmptd 6031 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) : T --> T )
19 tendopl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
2019, 3tendopl 36918 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U P V )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) )
21203adant1 1012 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) ) ) )
2221feq1d 5699 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( ( U P V ) : T --> T  <->  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) : T --> T ) )
2318, 22mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V ) : T --> T )
24 simp11 1024 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simp12 1025 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  U  e.  E )
26 simp13 1026 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  V  e.  E )
27 3simpc 993 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  (
h  e.  T  /\  i  e.  T )
)
282, 3, 5, 19tendoplco2 36921 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  i  e.  T )
)  ->  ( ( U P V ) `  ( h  o.  i
) )  =  ( ( ( U P V ) `  h
)  o.  ( ( U P V ) `
 i ) ) )
2924, 25, 26, 27, 28syl121anc 1231 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  ( h  o.  i ) )  =  ( ( ( U P V ) `
 h )  o.  ( ( U P V ) `  i
) ) )
30 simpl1 997 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31 simpl2 998 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  U  e.  E )
32 simpl3 999 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  V  e.  E )
33 simpr 459 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  h  e.  T )
342, 3, 5, 19, 1, 4tendopltp 36922 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( U P V ) `  h
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  h ) )
3530, 31, 32, 33, 34syl121anc 1231 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( U P V ) `  h
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  h ) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 29, 35istendod 36904 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   lecple 14794   HLchlt 35491   LHypclh 36124   LTrncltrn 36241   trLctrl 36299   TEndoctendo 36894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-riotaBAD 35100
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-undef 6994  df-map 7414  df-preset 15759  df-poset 15777  df-plt 15790  df-lub 15806  df-glb 15807  df-join 15808  df-meet 15809  df-p0 15871  df-p1 15872  df-lat 15878  df-clat 15940  df-oposet 35317  df-ol 35319  df-oml 35320  df-covers 35407  df-ats 35408  df-atl 35439  df-cvlat 35463  df-hlat 35492  df-llines 35638  df-lplanes 35639  df-lvols 35640  df-lines 35641  df-psubsp 35643  df-pmap 35644  df-padd 35936  df-lhyp 36128  df-laut 36129  df-ldil 36244  df-ltrn 36245  df-trl 36300  df-tendo 36897
This theorem is referenced by:  tendoplcom  36924  tendoplass  36925  tendodi1  36926  tendodi2  36927  tendo0pl  36933  tendoipl  36939  erngdvlem1  37130  erngdvlem3  37132  erngdvlem1-rN  37138  erngdvlem3-rN  37140  dvalveclem  37168  dvhvaddcl  37238  dicvaddcl  37333
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