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Theorem tendoplcl 35577
Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoplcl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendoplcl
Dummy variables  g  h  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 tendopl.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendopl.t . 2  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 eqid 2467 . 2  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendopl.e . 2  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
6 simp1 996 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simpl1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
9 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
102, 3, 5tendocl 35563 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( U `  g )  e.  T
)
117, 8, 9, 10syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( U `  g )  e.  T )
12 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
132, 3, 5tendocl 35563 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( V `  g )  e.  T
)
147, 12, 9, 13syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( V `  g )  e.  T )
152, 3ltrnco 35515 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  g )  e.  T  /\  ( V `  g
)  e.  T )  ->  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) )  e.  T
)
167, 11, 14, 15syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) )  e.  T )
17 eqid 2467 . . . 4  |-  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) ) )
1816, 17fmptd 6043 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) : T --> T )
19 tendopl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
2019, 3tendopl 35572 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  ->  ( U P V )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) )
21203adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  =  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) ) ) )
2221feq1d 5715 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( ( U P V ) : T --> T  <->  ( g  e.  T  |->  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) ) : T --> T ) )
2318, 22mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V ) : T --> T )
24 simp11 1026 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simp12 1027 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  U  e.  E )
26 simp13 1028 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  V  e.  E )
27 3simpc 995 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  (
h  e.  T  /\  i  e.  T )
)
282, 3, 5, 19tendoplco2 35575 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  (
h  e.  T  /\  i  e.  T )
)  ->  ( ( U P V ) `  ( h  o.  i
) )  =  ( ( ( U P V ) `  h
)  o.  ( ( U P V ) `
 i ) ) )
2924, 25, 26, 27, 28syl121anc 1233 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T  /\  i  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  ( h  o.  i ) )  =  ( ( ( U P V ) `
 h )  o.  ( ( U P V ) `  i
) ) )
30 simpl1 999 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
31 simpl2 1000 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  U  e.  E )
32 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  V  e.  E )
33 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  h  e.  T )
342, 3, 5, 19, 1, 4tendopltp 35576 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( U P V ) `  h
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  h ) )
3530, 31, 32, 33, 34syl121anc 1233 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  h  e.  T )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( U P V ) `  h
) ) ( le
`  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  h ) )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 23, 29, 35istendod 35558 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   lecple 14558   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   trLctrl 34954   TEndoctendo 35548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-map 7419  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tendo 35551
This theorem is referenced by:  tendoplcom  35578  tendoplass  35579  tendodi1  35580  tendodi2  35581  tendo0pl  35587  tendoipl  35593  erngdvlem1  35784  erngdvlem3  35786  erngdvlem1-rN  35792  erngdvlem3-rN  35794  dvalveclem  35822  dvhvaddcl  35892  dicvaddcl  35987
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