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Theorem tendoplass 34785
Description: The endomorphism sum operation is associative. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h |- H = ( LHyp ` K )
tendopl.t |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendopl.e |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendopl.p |- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoplass |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S P U ) P V ) = ( S P ( U P V ) ) )
Distinct variable groups:   t, s, E   f, s, t, T   f, W, s, t
Allowed substitution hints:   P( t, f, s)   S( t, f, s)   U( t, f, s)   E( f)   H( t, f, s)   K( t, f, s)   V( t, f, s)
Proof of Theorem tendoplass
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2 simpr1 994 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> S e. E )
3 simpr2 995 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> U e. E )
4 tendopl.h . . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
5 tendopl.t . . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
6 tendopl.e . . . . 5 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
7 tendopl.p . . . . 5 |- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
84, 5, 6, 7tendoplcl 34783 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ U e. E ) -> ( S P U ) e. E )
91, 2, 3, 8syl3anc 1219 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S P U ) e. E )
10 simpr3 996 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> V e. E )
114, 5, 6, 7tendoplcl 34783 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S P U ) e. E /\ V e. E ) -> ( ( S P U ) P V ) e. E )
121, 9, 10, 11syl3anc 1219 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S P U ) P V ) e. E )
134, 5, 6, 7tendoplcl 34783 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ V e. E ) -> ( U P V ) e. E )
141, 3, 10, 13syl3anc 1219 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U P V ) e. E )
154, 5, 6, 7tendoplcl 34783 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( U P V ) e. E ) -> ( S P ( U P V ) ) e. E )
161, 2, 14, 15syl3anc 1219 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S P ( U P V ) ) e. E )
17 coass 5467 . . . . 5 |- ( ( ( S ` g ) o. ( U ` g ) ) o. ( V ` g ) ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
18 simplr1 1030 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> S e. E )
19 simplr2 1031 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> U e. E )
20 simpr 461 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> g e. T )
217, 5tendopl2 34779 . . . . . . 7 |- ( ( S e. E /\ U e. E /\ g e. T ) -> ( ( S P U ) ` g ) = ( ( S ` g ) o. ( U ` g ) ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1219 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S P U ) ` g ) = ( ( S ` g ) o. ( U ` g ) ) )
2322coeq1d 5112 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) ` g ) o. ( V ` g ) ) = ( ( ( S ` g ) o. ( U ` g ) ) o. ( V ` g ) ) )
24 simplr3 1032 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> V e. E )
257, 5tendopl2 34779 . . . . . . 7 |- ( ( U e. E /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
2619, 24, 20, 25syl3anc 1219 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) )
2726coeq2d 5113 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S ` g ) o. ( ( U P V ) ` g ) ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) )
2817, 23, 273eqtr4a 2521 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) ` g ) o. ( V ` g ) ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U P V ) ` g ) ) )
299adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S P U ) e. E )
307, 5tendopl2 34779 . . . . 5 |- ( ( ( S P U ) e. E /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( ( S P U ) ` g ) o. ( V ` g ) ) )
3129, 24, 20, 30syl3anc 1219 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( ( S P U ) ` g ) o. ( V ` g ) ) )
3214adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U P V ) e. E )
337, 5tendopl2 34779 . . . . 5 |- ( ( S e. E /\ ( U P V ) e. E /\ g e. T ) -> ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U P V ) ` g ) ) )
3418, 32, 20, 33syl3anc 1219 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U P V ) ` g ) ) )
3528, 31, 343eqtr4d 2505 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) )
3635ralrimiva 2830 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> A. g e. T ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) )
374, 5, 6tendoeq1 34766 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ( S P U ) P V ) e. E /\ ( S P ( U P V ) ) e. E ) /\ A. g e. T ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) ) -> ( ( S P U ) P V ) = ( S P ( U P V ) ) )
381, 12, 16, 36, 37syl121anc 1224 1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S P U ) P V ) = ( S P ( U P V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   |-> cmpt 4461   o. ccom 4955   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   |-> cmpt2 6205   HLchlt 33353   LHypclh 33986   LTrncltrn 34103   TEndoctendo 34754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-riotaBAD 32962
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-undef 6905  df-map 7329  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-llines 33500  df-lplanes 33501  df-lvols 33502  df-lines 33503  df-psubsp 33505  df-pmap 33506  df-padd 33798  df-lhyp 33990  df-laut 33991  df-ldil 34106  df-ltrn 34107  df-trl 34161  df-tendo 34757
This theorem is referenced by:  erngdvlem1  34990  erngdvlem1-rN  34998
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