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Theorem tendoplass 34421
Description: The endomorphism sum operation is associative. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendoplass  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S P U ) P V )  =  ( S P ( U P V ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    S( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendoplass
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 464 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpr1 1036 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  S  e.  E )
3 simpr2 1037 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  U  e.  E )
4 tendopl.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 tendopl.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
6 tendopl.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
7 tendopl.p . . . . 5  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
84, 5, 6, 7tendoplcl 34419 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  U  e.  E
)  ->  ( S P U )  e.  E
)
91, 2, 3, 8syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S P U )  e.  E )
10 simpr3 1038 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  V  e.  E )
114, 5, 6, 7tendoplcl 34419 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S P U )  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( ( S P U ) P V )  e.  E
)
121, 9, 10, 11syl3anc 1292 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S P U ) P V )  e.  E )
134, 5, 6, 7tendoplcl 34419 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U P V )  e.  E
)
141, 3, 10, 13syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U P V )  e.  E )
154, 5, 6, 7tendoplcl 34419 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  ( U P V )  e.  E )  ->  ( S P ( U P V ) )  e.  E
)
161, 2, 14, 15syl3anc 1292 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S P ( U P V ) )  e.  E )
17 coass 5361 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  g
)  o.  ( U `
 g ) )  o.  ( V `  g ) )  =  ( ( S `  g )  o.  (
( U `  g
)  o.  ( V `
 g ) ) )
18 simplr1 1072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
19 simplr2 1073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
20 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
217, 5tendopl2 34415 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( S P U ) `  g
)  =  ( ( S `  g )  o.  ( U `  g ) ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S P U ) `  g )  =  ( ( S `
 g )  o.  ( U `  g
) ) )
2322coeq1d 5001 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U ) `  g
)  o.  ( V `
 g ) )  =  ( ( ( S `  g )  o.  ( U `  g ) )  o.  ( V `  g
) ) )
24 simplr3 1074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
257, 5tendopl2 34415 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  E  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( U P V ) `  g
)  =  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g ) ) )
2619, 24, 20, 25syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( U P V ) `  g )  =  ( ( U `
 g )  o.  ( V `  g
) ) )
2726coeq2d 5002 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S `  g
)  o.  ( ( U P V ) `
 g ) )  =  ( ( S `
 g )  o.  ( ( U `  g )  o.  ( V `  g )
) ) )
2817, 23, 273eqtr4a 2531 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U ) `  g
)  o.  ( V `
 g ) )  =  ( ( S `
 g )  o.  ( ( U P V ) `  g
) ) )
299adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S P U )  e.  E )
307, 5tendopl2 34415 . . . . 5  |-  ( ( ( S P U )  e.  E  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( S P U ) P V ) `  g
)  =  ( ( ( S P U ) `  g )  o.  ( V `  g ) ) )
3129, 24, 20, 30syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U ) P V ) `  g )  =  ( ( ( S P U ) `
 g )  o.  ( V `  g
) ) )
3214adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( U P V )  e.  E )
337, 5tendopl2 34415 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  E  /\  ( U P V )  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  (
( S P ( U P V ) ) `  g )  =  ( ( S `
 g )  o.  ( ( U P V ) `  g
) ) )
3418, 32, 20, 33syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S P ( U P V ) ) `  g )  =  ( ( S `
 g )  o.  ( ( U P V ) `  g
) ) )
3528, 31, 343eqtr4d 2515 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U ) P V ) `  g )  =  ( ( S P ( U P V ) ) `  g ) )
3635ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  A. g  e.  T  ( ( ( S P U ) P V ) `  g
)  =  ( ( S P ( U P V ) ) `
 g ) )
374, 5, 6tendoeq1 34402 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( S P U ) P V )  e.  E  /\  ( S P ( U P V ) )  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( ( S P U ) P V ) `  g )  =  ( ( S P ( U P V ) ) `  g ) )  -> 
( ( S P U ) P V )  =  ( S P ( U P V ) ) )
381, 12, 16, 36, 37syl121anc 1297 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S P U ) P V )  =  ( S P ( U P V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    |-> cmpt 4454    o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   HLchlt 32987   LHypclh 33620   LTrncltrn 33737   TEndoctendo 34390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-riotaBAD 32589
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-undef 7038  df-map 7492  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tendo 34393
This theorem is referenced by:  erngdvlem1  34626  erngdvlem1-rN  34634
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