Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoipl Structured version   Unicode version

Theorem tendoipl 34749
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoicl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoicl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoicl.i  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
tendoi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendoi.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
tendoi.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
tendoipl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  =  O )
Distinct variable groups:    E, s    f, s, T    f, W, s    B, f    t, E   
f, H    f, K    t, f, s, T    t, W
Allowed substitution hints:    B( t, s)    P( t, f, s)    S( t, f, s)    E( f)    H( t, s)    I( t, f, s)    K( t, s)    O( t, f, s)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 tendoicl.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoicl.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendoicl.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
5 tendoicl.i . . . 4  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
62, 3, 4, 5tendoicl 34748 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
7 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  S  e.  E )
8 tendoi.p . . . 4  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
92, 3, 4, 8tendoplcl 34733 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  S )  e.  E  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  e.  E
)
101, 6, 7, 9syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  e.  E
)
11 tendoi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 tendoi.o . . . 4  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 34742 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
1413adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  O  e.  E )
155, 3tendoi2 34747 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  g
)  =  `' ( S `  g ) )
1615adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
1716coeq1d 5101 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( S `
 g ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g ) ) )
18 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
192, 3, 4tendocl 34719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( S `  g )  e.  T
)
20193expa 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g )  e.  T )
2111, 2, 3ltrn1o 34076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B
)
2218, 20, 21syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B )
23 f1ococnv1 5769 . . . . . 6  |-  ( ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g ) )  =  (  _I  |`  B ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g )
)  =  (  _I  |`  B ) )
2517, 24eqtrd 2492 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( S `
 g ) )  =  (  _I  |`  B ) )
266adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
I `  S )  e.  E )
27 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
28 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
298, 3tendopl2 34729 . . . . 5  |-  ( ( ( I `  S
)  e.  E  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( I `
 S ) P S ) `  g
)  =  ( ( ( I `  S
) `  g )  o.  ( S `  g
) ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( ( ( I `  S ) `
 g )  o.  ( S `  g
) ) )
3112, 11tendo02 34739 . . . . 5  |-  ( g  e.  T  ->  ( O `  g )  =  (  _I  |`  B ) )
3231adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( O `  g )  =  (  _I  |`  B ) )
3325, 30, 323eqtr4d 2502 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( O `  g ) )
3433ralrimiva 2822 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  A. g  e.  T  ( (
( I `  S
) P S ) `
 g )  =  ( O `  g
) )
352, 3, 4tendoeq1 34716 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( I `  S ) P S )  e.  E  /\  O  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( O `  g ) )  -> 
( ( I `  S ) P S )  =  O )
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1224 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  =  O )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    |-> cmpt 4450    _I cid 4731   `'ccnv 4939    |` cres 4942    o. ccom 4944   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194   Basecbs 14278   HLchlt 33303   LHypclh 33936   LTrncltrn 34053   TEndoctendo 34704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-riotaBAD 32912
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-undef 6894  df-map 7318  df-poset 15220  df-plt 15232  df-lub 15248  df-glb 15249  df-join 15250  df-meet 15251  df-p0 15313  df-p1 15314  df-lat 15320  df-clat 15382  df-oposet 33129  df-ol 33131  df-oml 33132  df-covers 33219  df-ats 33220  df-atl 33251  df-cvlat 33275  df-hlat 33304  df-llines 33450  df-lplanes 33451  df-lvols 33452  df-lines 33453  df-psubsp 33455  df-pmap 33456  df-padd 33748  df-lhyp 33940  df-laut 33941  df-ldil 34056  df-ltrn 34057  df-trl 34111  df-tendo 34707
This theorem is referenced by:  tendoipl2  34750  erngdvlem1  34940  erngdvlem1-rN  34948
  Copyright terms: Public domain W3C validator