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Theorem tendoipl 35468
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoicl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoicl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendoicl.i  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
tendoi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tendoi.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
tendoi.o  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
tendoipl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  =  O )
Distinct variable groups:    E, s    f, s, T    f, W, s    B, f    t, E   
f, H    f, K    t, f, s, T    t, W
Allowed substitution hints:    B( t, s)    P( t, f, s)    S( t, f, s)    E( f)    H( t, s)    I( t, f, s)    K( t, s)    O( t, f, s)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 tendoicl.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoicl.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendoicl.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
5 tendoicl.i . . . 4  |-  I  =  ( s  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  `' ( s `  f ) ) )
62, 3, 4, 5tendoicl 35467 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( I `  S )  e.  E
)
7 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  S  e.  E )
8 tendoi.p . . . 4  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
92, 3, 4, 8tendoplcl 35452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( I `  S )  e.  E  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  e.  E
)
101, 6, 7, 9syl3anc 1223 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  e.  E
)
11 tendoi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 tendoi.o . . . 4  |-  O  =  ( f  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 35461 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  E )
1413adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  O  e.  E )
155, 3tendoi2 35466 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( I `  S ) `  g
)  =  `' ( S `  g ) )
1615adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( I `  S
) `  g )  =  `' ( S `  g ) )
1716coeq1d 5155 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( S `
 g ) )  =  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g ) ) )
18 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
192, 3, 4tendocl 35438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( S `  g )  e.  T
)
20193expa 1191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g )  e.  T )
2111, 2, 3ltrn1o 34795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S `  g )  e.  T
)  ->  ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B
)
2218, 20, 21syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B )
23 f1ococnv1 5835 . . . . . 6  |-  ( ( S `  g ) : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g ) )  =  (  _I  |`  B ) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( `' ( S `  g )  o.  ( S `  g )
)  =  (  _I  |`  B ) )
2517, 24eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) `  g
)  o.  ( S `
 g ) )  =  (  _I  |`  B ) )
266adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
I `  S )  e.  E )
27 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
28 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
298, 3tendopl2 35448 . . . . 5  |-  ( ( ( I `  S
)  e.  E  /\  S  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( I `
 S ) P S ) `  g
)  =  ( ( ( I `  S
) `  g )  o.  ( S `  g
) ) )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( ( ( I `  S ) `
 g )  o.  ( S `  g
) ) )
3112, 11tendo02 35458 . . . . 5  |-  ( g  e.  T  ->  ( O `  g )  =  (  _I  |`  B ) )
3231adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  ( O `  g )  =  (  _I  |`  B ) )
3325, 30, 323eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( O `  g ) )
3433ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  A. g  e.  T  ( (
( I `  S
) P S ) `
 g )  =  ( O `  g
) )
352, 3, 4tendoeq1 35435 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( I `  S ) P S )  e.  E  /\  O  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( ( I `  S ) P S ) `  g )  =  ( O `  g ) )  -> 
( ( I `  S ) P S )  =  O )
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1228 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E
)  ->  ( (
I `  S ) P S )  =  O )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    |-> cmpt 4498    _I cid 4783   `'ccnv 4991    |` cres 4994    o. ccom 4996   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   Basecbs 14479   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LTrncltrn 34772   TEndoctendo 35423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-undef 6992  df-map 7412  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tendo 35426
This theorem is referenced by:  tendoipl2  35469  erngdvlem1  35659  erngdvlem1-rN  35667
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