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Theorem tendofset 36585
Description: The set of all trace-preserving endomorphisms on the set of translations for a lattice  K. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
tendofset  |-  ( K  e.  V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
Distinct variable groups:    w, H    w, s, f, g, K
Allowed substitution hints:    H( f, g, s)    .<_ ( w, f, g, s)    V( w, f, g, s)

Proof of Theorem tendofset
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3118 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 tendoset.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2516 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( LTrn `  k )  =  ( LTrn `  K
) )
65fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( LTrn `  k ) `  w )  =  ( ( LTrn `  K
) `  w )
)
76, 6feq23d 5732 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
s : ( (
LTrn `  k ) `  w ) --> ( (
LTrn `  k ) `  w )  <->  s :
( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )
) )
86raleqdv 3060 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  <->  A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) ) ) )
96, 8raleqbidv 3068 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
) ) )
10 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( trL `  k )  =  ( trL `  K
) )
1110fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( trL `  k
) `  w )  =  ( ( trL `  K ) `  w
) )
1211fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( trL `  k
) `  w ) `  ( s `  f
) )  =  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) ) )
13 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  =  ( le `  K
) )
14 tendoset.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
1513, 14syl6eqr 2516 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( le `  k )  = 
.<_  )
1611fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( trL `  k
) `  w ) `  f )  =  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) )
1712, 15, 16breq123d 4470 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )  <->  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) )
186, 17raleqbidv 3068 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. f  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( ( ( trL `  k
) `  w ) `  ( s `  f
) ) ( le
`  k ) ( ( ( trL `  k
) `  w ) `  f )  <->  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) )
197, 9, 183anbi123d 1299 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
)  <->  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) ) )
2019abbidv 2593 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
) }  =  {
s  |  ( s : ( ( LTrn `  K ) `  w
) --> ( ( LTrn `  K ) `  w
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) } )
214, 20mpteq12dv 4535 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
) } )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
22 df-tendo 36582 . . 3  |-  TEndo  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  k
) `  w ) --> ( ( LTrn `  k
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  k ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  k
) `  w )
( ( ( trL `  k ) `  w
) `  ( s `  f ) ) ( le `  k ) ( ( ( trL `  k ) `  w
) `  f )
) } ) )
23 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
243, 23eqeltri 2541 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2524mptex 6144 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( ( LTrn `  K
) `  w ) --> ( ( LTrn `  K
) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w ) A. g  e.  (
( LTrn `  K ) `  w ) ( s `
 ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( ( ( trL `  K ) `  w
) `  ( s `  f ) )  .<_  ( ( ( trL `  K ) `  w
) `  f )
) } )  e. 
_V
2621, 22, 25fvmpt 5956 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
271, 26syl 16 1  |-  ( K  e.  V  ->  ( TEndo `  K )  =  ( w  e.  H  |->  { s  |  ( s : ( (
LTrn `  K ) `  w ) --> ( (
LTrn `  K ) `  w )  /\  A. f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  w ) A. g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  w )
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  /\  A. f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  w ) ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  ( s `  f
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  w ) `  f ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594   lecple 14718   LHypclh 35809   LTrncltrn 35926   trLctrl 35984   TEndoctendo 36579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-tendo 36582
This theorem is referenced by:  tendoset  36586
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