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Theorem tendoex 31457
Description: Generalization of Lemma K of [Crawley] p. 118, cdlemk 31456. TODO: can this be used to shorten uses of cdlemk 31456? (Contributed by NM, 15-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoex.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoex.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoex.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoex.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoex.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tendoex  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Distinct variable groups:    u, E    u, F    u, K    u, N    u, R    u, T    u, W
Allowed substitution hints:    H( u)    .<_ ( u)

Proof of Theorem tendoex
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  HL )
2 hlop 29845 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  K  e.  OP )
4 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simpl2r 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  N  e.  T )
6 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 tendoex.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 tendoex.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 tendoex.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
106, 7, 8, 9trlcl 30646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( R `  N )  e.  (
Base `  K )
)
114, 5, 10syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )
12 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)
13 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
14 tendoex.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
15 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
16 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
176, 14, 15, 16leat 29776 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
183, 11, 12, 13, 17syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
19 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )
20 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R `  F )  =  ( 0. `  K )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( R `  F )  <->  ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
2119, 20syl5ibcom 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  =  ( 0.
`  K )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) ) )
2221imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K ) )
23 simpl1l 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  HL )
2423, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  K  e.  OP )
25 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
26 simpl2r 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  e.  T )
2725, 26, 10syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  e.  ( Base `  K ) )
286, 14, 15ople0 29670 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( R `  N )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  N
)  .<_  ( 0. `  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
2924, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  .<_  ( 0.
`  K )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
3022, 29mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) )
3130olcd 383 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N
)  .<_  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )  -> 
( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
32 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
33 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  F  e.  T )
3415, 16, 7, 8, 9trlator0 30653 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
3618, 31, 35mpjaodan 762 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  (
( R `  N
)  =  ( R `
 F )  \/  ( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
37363expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  ( ( R `
 N )  =  ( R `  F
)  \/  ( R `
 N )  =  ( 0. `  K
) ) )
38 eqcom 2406 . . . . 5  |-  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  <->  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )
39 tendoex.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
407, 8, 9, 39cdlemk 31456 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
41403expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  F )  =  ( R `  N ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
4238, 41sylan2b 462 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( R `  F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
43 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
446, 7, 8, 39, 43tendo0cl 31272 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E )
4544ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  e.  E )
46 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  F  e.  T )
4743, 6tendo02 31269 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  T  ->  (
( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
496, 15, 7, 8, 9trlid0b 30660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  N  e.  T
)  ->  ( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  N
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
5049adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T ) )  -> 
( N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <->  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )
5150biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  N  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
5248, 51eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  ( (
h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `
 F )  =  N )
53 fveq1 5686 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( u `  F )  =  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F ) )
5453eqeq1d 2412 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (
u `  F )  =  N  <->  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) `  F )  =  N ) )
5554rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  E  /\  ( ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) `  F )  =  N )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5645, 52, 55syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
5742, 56jaodan 761 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( ( R `  N )  =  ( R `  F )  \/  ( R `  N )  =  ( 0. `  K ) ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
5837, 57syldan 457 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )
)  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `
 F ) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F
)  =  N )
59583impa 1148 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  N  e.  T )  /\  ( R `  N )  .<_  ( R `  F
) )  ->  E. u  e.  E  ( u `  F )  =  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    _I cid 4453    |` cres 4839   ` cfv 5413   Basecbs 13424   lecple 13491   0.cp0 14421   OPcops 29655   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640   TEndoctendo 31234
This theorem is referenced by:  dva1dim  31467  dihjatcclem4  31904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237
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