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Theorem tendodi2 35599
Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendopl.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendopl.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
tendopl.p  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
Assertion
Ref Expression
tendodi2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S P U )  o.  V
)  =  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, E    f, s, t, T   
f, W, s, t
Allowed substitution hints:    P( t, f, s)    S( t, f, s)    U( t, f, s)    E( f)    H( t, f, s)    K( t, f, s)    V( t, f, s)

Proof of Theorem tendodi2
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  S  e.  E )
3 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  U  e.  E )
4 tendopl.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 tendopl.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
6 tendopl.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
7 tendopl.p . . . . 5  |-  P  =  ( s  e.  E ,  t  e.  E  |->  ( f  e.  T  |->  ( ( s `  f )  o.  (
t `  f )
) ) )
84, 5, 6, 7tendoplcl 35595 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  U  e.  E
)  ->  ( S P U )  e.  E
)
91, 2, 3, 8syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S P U )  e.  E )
10 simpr3 1004 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  V  e.  E )
114, 6tendococl 35586 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S P U )  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( ( S P U )  o.  V )  e.  E
)
121, 9, 10, 11syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S P U )  o.  V
)  e.  E )
134, 6tendococl 35586 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( S  o.  V )  e.  E
)
141, 2, 10, 13syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( S  o.  V
)  e.  E )
154, 6tendococl 35586 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E
)  ->  ( U  o.  V )  e.  E
)
161, 3, 10, 15syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( U  o.  V
)  e.  E )
174, 5, 6, 7tendoplcl 35595 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  o.  V )  e.  E  /\  ( U  o.  V
)  e.  E )  ->  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V
) )  e.  E
)
181, 14, 16, 17syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) )  e.  E )
19 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
20 simplr1 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  S  e.  E )
21 simplr2 1039 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  U  e.  E )
2219, 20, 21, 8syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S P U )  e.  E )
23 simplr3 1040 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  V  e.  E )
24 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
254, 5, 6tendocoval 35580 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( S P U )  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U )  o.  V
) `  g )  =  ( ( S P U ) `  ( V `  g ) ) )
2619, 22, 23, 24, 25syl121anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U )  o.  V
) `  g )  =  ( ( S P U ) `  ( V `  g ) ) )
27 simplll 757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  K  e.  HL )
28 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  W  e.  H )
294, 5, 6tendocoval 35580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
3027, 28, 20, 23, 24, 29syl221anc 1239 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S  o.  V
) `  g )  =  ( S `  ( V `  g ) ) )
314, 5, 6tendocoval 35580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  V  e.  E )  /\  g  e.  T )  ->  (
( U  o.  V
) `  g )  =  ( U `  ( V `  g ) ) )
3227, 28, 21, 23, 24, 31syl221anc 1239 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( U  o.  V
) `  g )  =  ( U `  ( V `  g ) ) )
3330, 32coeq12d 5167 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  V ) `  g
)  o.  ( ( U  o.  V ) `
 g ) )  =  ( ( S `
 ( V `  g ) )  o.  ( U `  ( V `  g )
) ) )
3419, 20, 23, 13syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( S  o.  V )  e.  E )
3519, 21, 23, 15syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( U  o.  V )  e.  E )
367, 5tendopl2 35591 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  o.  V
)  e.  E  /\  ( U  o.  V
)  e.  E  /\  g  e.  T )  ->  ( ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V
) ) `  g
)  =  ( ( ( S  o.  V
) `  g )  o.  ( ( U  o.  V ) `  g
) ) )
3734, 35, 24, 36syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) `  g )  =  ( ( ( S  o.  V ) `
 g )  o.  ( ( U  o.  V ) `  g
) ) )
384, 5, 6tendocl 35581 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  V  e.  E  /\  g  e.  T
)  ->  ( V `  g )  e.  T
)
3919, 23, 24, 38syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  ( V `  g )  e.  T )
407, 5tendopl2 35591 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  ( V `  g )  e.  T )  -> 
( ( S P U ) `  ( V `  g )
)  =  ( ( S `  ( V `
 g ) )  o.  ( U `  ( V `  g ) ) ) )
4120, 21, 39, 40syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S P U ) `  ( V `
 g ) )  =  ( ( S `
 ( V `  g ) )  o.  ( U `  ( V `  g )
) ) )
4233, 37, 413eqtr4rd 2519 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( S P U ) `  ( V `
 g ) )  =  ( ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) `  g ) )
4326, 42eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E )
)  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( S P U )  o.  V
) `  g )  =  ( ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) `  g ) )
4443ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  ->  A. g  e.  T  ( ( ( S P U )  o.  V ) `  g
)  =  ( ( ( S  o.  V
) P ( U  o.  V ) ) `
 g ) )
454, 5, 6tendoeq1 35578 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( S P U )  o.  V )  e.  E  /\  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) )  e.  E )  /\  A. g  e.  T  (
( ( S P U )  o.  V
) `  g )  =  ( ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) `  g ) )  -> 
( ( S P U )  o.  V
)  =  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) )
461, 12, 18, 44, 45syl121anc 1233 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  E  /\  U  e.  E  /\  V  e.  E ) )  -> 
( ( S P U )  o.  V
)  =  ( ( S  o.  V ) P ( U  o.  V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   HLchlt 34165   LHypclh 34798   LTrncltrn 34915   TEndoctendo 35566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-undef 7002  df-map 7422  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tendo 35569
This theorem is referenced by:  erngdvlem3  35804  erngdvlem3-rN  35812
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